Sannolikhetskalkylatorn arbetar med två händelser A och B: den matar in P(A) och P(B), anger om de är oberoende eller ger P(A ∩ B), och läser komplementära sannolikheter, snitt, unioner, exklusiv-o och villkor. De separata moden täcker Bayes sats, en serie upprepade försök och areor under en normalkurva
Sannolikheten här är ett tal mellan 0 och 1 (eller 0 % och 100 %). Kalkylatorn visar båda formerna, så ett resultat på 0,2 och 20 % skiljer sig aldrig.
Beräkna sannolikheten för två händelser
Ange P av A och P av B som decimaler eller procentsatser. För fristående händelser tillhandahåller kalkylatorn snittet som en produkt. För beroende händelser anges explicit snittet eller ett villkor så att efterföljande formler förblir förenliga med datahistoriken.
Odds utanför 0 till 1, eller en korsning större än någon av händelserna, stoppas med ett meddelande istället för att hitta på ett nummer.
Ogiltiga innings (odds utanför 0-1, eller en korsning större än någon av händelserna) slutar med ett meddelande istället för att hitta på ett nummer.
Att hitta komplement, snitt och union
Komplementet till A är ett minus P av A. Snittet är sannolikheten att båda inträffar; under oberoende är det lika med produkten av de separata sannolikheterna. Överlappningen är P av A plus P av B minus snittet, vilket förhindrar att överlappningen räknas två gånger.
Dessa tre storheter är de grundläggande blocken för de flesta två-händelse-läxproblem. P(A') = 1 − P(A) P(A ∩ B) = P(A) × P(B) (oberoende fall) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) ```
El complemento es "no A." La intersección es "ambos". La unión es "o bien A o B o ambos." Restar la intersección en la fórmula de unión impide contar dos veces la superposición.
Calcula eventos exclusivos o mutuamente excluyentes
Excluyentes o es la probabilidad de que ocurra exactamente uno de los dos eventos: P de A más P de B menos el doble de la intersección. No pueden ocurrir eventos mutuamente excluyentes, por lo que su intersección es cero y la unión se simplifica a una suma plana.
La exclusividad mutua es una afirmación fuerte sobre los datos; no fijes la intersección en cero a menos que esa afirmación sea cierta.
P(A XOR B) = P(A) + P(B) − 2P(A ∩ B)No pueden ocurrir eventos mutuamente excluyentes, por lo que P(A ∩ B) = 0 y la unión se simplifica a P(A) + P(B). Mutuamente excluyente es más fuerte que "dependiente"; comprueba esa afirmación con la historia de los datos antes de poner intersección en cero.
Calcular la probabilidad condicional
P de A dado B es igual a la intersección dividida por P de B. Léelo como la probabilidad actualizada de A tras saber que B ocurrió. Si A y B son independientes, la condicional es igual a la P original de A.
La división por cero se bloquea cuando P de B es cero, porque condicionar a un evento imposible no está definido en este marco. P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B) ```
Läs P(A | B) som sannolikheten för A givet att B inträffade. Om A och B är oberoende, P(A | B) = P(A). När de är beroende förändras sannolikheten i betingningen, vilket är formelns centralpunkt.
Delning med noll är låst när P(B) = 0: villkoret på en omöjlig händelse är inte definierat.
Tillämpning av Bayes sats
Bayes sats uppdaterar en tidigare sannolikhet på nya bevis med hjälp av sannolikheten i dessa bevis. Det efterföljande P av A givet B är lika med sannolikheten P för B givet A multiplicerat med föregående P av A, allt delat med P av B.
De medicinska testdata nedan visar varför ett mycket exakt test kan lämna en blygsam post-test när den tidigare sjukdomsfrekvensen är låg.
P(A | B) = [P(B | A) × P(A)] / P(B) ```
Reescribe P de B con la ley de probabilidad total cuando solo se conocen condicionales: P de más es igual a P de más enfermedad dada multiplicada por P de enfermedad más P de enfermedad más P de ninguna enfermedad. Saltarse esa expansión y dividir solo por el prior es un error aritmético bayesiano común.
El prior P(A), la verosimilitud P(B | A) y el marginal P(B) se combinan en el posterior P(A | B).
Medical test sketch. Disease prior P(D) = 0.01. Test sensitivity P(+|D) = 0.99. False positive rate P(+|no D) = 0.05. P(+) = 0.99×0.01 + 0.05×0.99 = 0.0099 + 0.0495 = 0.0594. P(D|+) = (0.99×0.01) / 0.0594 ≈ 0.167.
Un test positivo eleva la probabilidad de enfermedad del 1% a aproximadamente el 16,7%, no al 99%. Esa diferencia es la razón por la que Bayes debería estar en una página de probabilidad y no como una nota al pie.
Calcular la probabilidad a lo largo de una serie de eventos
Para n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, la probabilidad de que todos n tengan éxito es p elevado a n, y la probabilidad de al menos un éxito es uno menos uno menos p elevado a n. La forma al menos uno suele ganar a mano porque el complemento de cero éxitos es una potencia única en lugar de una suma binomial larga en k.
P(alla n är framgångsrika) = pⁿ
P(minst en framgång) = 1 − (1 − p)ⁿAl menos uno suele ser más fácil a través del complemento: calcular la probabilidad de cero éxitos y luego restar de 1. Para p = 0,1 y n = 10, P(al menos uno) = 1 − 0,9¹⁰ ≈ 1 − 0,3487 = 0,6513.
Calcula una probabilidad de 0,5 y 0,4 para dos eventos
Supongamos independencia con P de A igual a 0,5 y P de B igual a 0,4. La intersección es 0,20, la unión es 0,70, excluyendo o es 0,50, y P de A dado B devuelve 0,50, coincidiendo con P de A según lo requiera la independencia. Cada figura en la tabla puede reproducirse a partir de las fórmulas de las secciones anteriores sin la herramienta interactiva.
| Quantity | Working | Result | |
|---|---|---|---|
| Intersection | 0.5 × 0.4 | 0.20 | |
| Union | 0.5 + 0.4 − 0.2 | 0.70 | |
| XOR | 0.5 + 0.4 − 2×0.2 | 0.50 | |
| Complement of A | 1 − 0.5 | 0.50 | |
| P(A\ | B) | 0.2 / 0.4 | 0.50 |
Independence makes P(A|B) equal P(A), which matches 0.50 here.
Lee el diagrama de Venn
Dos círculos muestran A y B; la superposición es la intersección. Las regiones sombreadas siguen la cantidad que seleccionaste (el tono de unión cubre ambos lóbulos; el sombreado XOR cubre los lóbulos sin solapamiento). Cuando se proporcionan probabilidades, las áreas circulares se dibujan proporcionalmente donde la geometría lo permite, de modo que una intersección diminuta se vea diminuta.
Utiliza el diagrama para captar visualmente entradas imposibles. Si la superposición parece mayor de lo que permite la historia de cualquiera de los círculos, la intersección numérica es inconsistente. El diagrama no reemplaza el álgebra para eventos dependientes por condicionales desordenados; soporta el álgebra.
Los diagramas de Venn no sustituyen las fórmulas. Hacen visible el doble conteo, por eso la unión resta la superposición una vez.
Calcular la probabilidad a partir de una distribución normal
Introduce la media, la desviación estándar y uno o dos límites; la calculadora estandariza a z y devuelve el área bajo la curva normal. Para la media 100 y la desviación estándar 15, la probabilidad de un valor inferior a 115 usa z igual a 1 y área alrededor de 0,8413.
Utiliza este modo para preguntas continuas, por debajo o arriba; utiliza el modo de dos eventos para combinaciones lógicas.
Ejemplo: μ = 100, σ = 15, P(X < 115) → z = (115−100)/15 = 1 → área ≈ 0,8413. Utiliza este modo para preguntas continuas "debajo / arriba / entre"; utiliza el modo de dos eventos para combinaciones lógicas de eventos discretos.
La independencia es una suposición
La independencia debe venir del diseño o de la evidencia, no de la conveniencia. Robar cartas sin reemplazo hace que los corazones sucesivos dependan; los lanzamientos de moneda en una moneda justa son el ejemplo habitual de independencia. Multiplicar probabilidades que en realidad dependen subestima o sobrevalora el riesgo conjunto dependiendo de la dirección de la dependencia.
Cuando solo hay información condicional disponible, reconstruye la intersección como P de B por P de A dado B antes de calcular una unión. La calculadora acepta ese camino, por lo que la misma identidad se cumple tanto para historias independientes como dependientes.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la diferencia entre intersección y sindicato?
La intersección son ambos eventos; la unión es cualquiera de los dos eventos (incluyendo ambos). La unión suma las probabilidades y resta la intersección para que la superposición no se cuente dos veces.
¿Cuándo puedo multiplicar P(A) y P(B)?
Cuando A y B son independientes. Si son dependientes, necesitas P(A ∩ B) o una probabilidad condicional a partir de datos o de un modelo.
¿Qué significa mutuamente excluyente?
Los eventos no pueden ocurrir juntos, por lo que P(A ∩ B) = 0. Una carta no puede ser a la vez un corazón y una espada. Los eventos mutuamente excluyentes dependen salvo en casos triviales.
¿Cómo ayuda el teorema de Bayes?
Actualiza una probabilidad previa tras ver nuevas pruebas, usando la probabilidad de esa evidencia. Las pruebas médicas y el filtrado de spam son aplicaciones estándar.
¿Cómo puedo determinar la probabilidad de al menos un éxito en n ensayos?
Calcular 1 − (1 − p)ⁿ para ensayos independientes con probabilidad de éxito p. Sumar directamente los términos binomiales es equivalente pero más lento manualmente.
Can probabilities exceed 1?
No. Si una fórmula produce un valor fuera de 0-1, una suposición de entrada es incorrecta (a menudo una intersección mayor que uno de los eventos).
¿Son las probabilidades lo mismo que la probabilidad?
No. Las probabilidades comparan los éxitos con los fracasos (por ejemplo, 1:4); la probabilidad son los éxitos sobre posibilidades totales (0,2). La Calculadora de Probabilidades convierte entre ellas.
¿El modo normal asume una curva de campana?
Sí. La traslación de área utiliza el modelo normal. Para datos claramente sesgados, trata el resultado como aproximado o usa una distribución diferente.
Resumen
La Calculadora de Probabilidad devuelve complementos, intersecciones, uniones, resultados XOR y condicionales para dos eventos, con Bayes, ensayos en serie y modos de área normal para preguntas relacionadas. Eventos independientes con P(A) = 0,5 y P(B) = 0,4 dan intersección 0,2, unión 0,7 y XOR 0,5.
Multiplicar solo bajo independencia; restar la superposición en cada unión; y usar Bayes cuando deba actualizarse un prior tras nueva evidencia. Emparejar con la Calculadora de Probabilidades cuando lleguen las entradas como ratios en lugar de probabilidades.