Metabeskrivning (155): Beräkna stickprovs- eller populationsstandardavvikelse från vilken datamängd som helst. Standardavvikelsekalkylatorn visar avvikelsetabellen och varje steg i arbetet.
Standardavvikelsekalkylatorn mäter hur långt värdena i en datamängd ligger från sitt medelvärde, och returnerar antingen stickprovets standardavvikelse eller populationsstandardavvikelsen beroende på vad datan representerar. Klistra in värden separerade med kommatecken, mellanslag eller radbrytningar, och kalkylatorn returnerar resultatet tillsammans med variansen, medelvärdet, summan av kvadrater och en stegtabell som visar varje avvikelse den använde.
Stegtabellen är viktigare än siffran. De flesta som kommer hit behöver återskapa beräkningen för hand för kursarbetet, och ett resultat utan arbete lär sig ingenting.
Beräkna standardavvikelse från en datamängd
Standardavvikelse besvarar en fråga: hur utspridda är dessa data? En liten standardavvikelse innebär att värdena samlas tätt kring medelvärdet. En stor betyder att de sprids. Två datamängder kan dela ett identiskt medelvärde och beskriva helt olika situationer, och standardavvikelsen är det som skiljer dem åt.
Klistra in dina värden i datafältet. Kommatecken, mellanslag, tabulatorer och radbrytningar fungerar alla, så en kolumn som kopierats direkt från ett kalkylblad behöver inte formateras om. Kalkylatorn rapporterar hur många värden den läste direkt under fältet, kontrollera det mot vad du klistrade in innan du läste resultatet, eftersom ett felaktigt tecken är den vanligaste orsaken till fel svar.
Kalkylatorn sorterar sedan datan, beräknar medelvärdet och arbetar utåt därifrån. Varje mellanvärde visas, så du kan följa med eller verifiera en handberäkning i vilket steg som helst.
Välj mellan urval och population
Detta val ändrar svaret, och det är det enda på denna sida som är värt att få rätt innan något annat. De två formlerna skiljer sig bara åt i sin nämnare, men på små datamängder är gapet betydande. Använd populationsstandardavvikelse (σ) när dina data inkluderar varje medlem i gruppen du vill beskriva.
Testresultaten för alla 24-elever i en klass, när klassen är det du bryr dig om. Varje mätning från en färdig omgång. Nämnaren är N, hela antalet.
Använd stickprovsstandardavvikelse(n) när dina data är en delmängd hämtade från en större grupp, och du vill uppskatta den större gruppens spridning. En undersökning av 200 väljare som ställer upp för en nationell valkrets. Trettio uppmätta komponenter som representerar en produktionsomgång. Nämnaren är n − 1.
Urval är det vanligaste fallet i praktiken, vilket är anledningen till att denna kalkylator använder det som standard. De flesta verkliga data är ett urval av något, och att behandla ett urval som en population ger en siffra som systematiskt är för liten.
Om du arbetar utifrån ett läroboksproblem står det nästan alltid vilket den vill ha. Leta efter orden "population" eller "urval", eller efter en fras som "alla" jämfört med "ett slumpmässigt urval av".
Använd standardavvikelseformeln
Båda formlerna följer samma fem steg och skiljer sig först vid det fjärde.
Population: σ = √( Σ(x − x̄)² / N )
Sample: s = √( Σ(x − x̄)² / (n − 1) )Att ta sig igenom det:
1. Hitta medelvärdet. Lägg till varje värde och dela med räkningen. 2. Hitta varje avvikelse. Subtrahera medelvärdet från varje värde. Vissa är negativa. 3. Kvadrera varje avvikelse. Detta tar bort de negativa och ger mer vikt åt värden långt från medelvärdet. Totalen är summan av kvadrater. 4. Dividera. Med N för en population, med n − 1 för ett urval. Resultatet är variansen. 5. Ta kvadratroten. Detta returnerar svaret till de ursprungliga enheterna.
Steg 3 är där negativen försvinner, och steg 5 är anledningen till att kvadratroten överhuvudtaget existerar. Att kvadrera avvikelserna skjuter resultatet upp i kvadrerade enheter, kvadratmarker, kvadratcentimeter, vilket inte kan tolkas direkt. Kvadratroten för det tillbaka till något jämförbart med de ursprungliga mätningarna.
Beräkna standardavvikelse för 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9
Denna åttavärdesmängd ger en populationsstandardavvikelse på exakt 2 och ett exempel på standardavvikelse på 2.138. Varje steg nedan kan kontrolleras för hand. 1. Hitta medelvärdet. 2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 40 40 ÷ 8 = 5
2. Hitta varje avvikelse och kvadrera den.
| x | x − x̄ | (x − x̄)² |
|---|---|---|
| 2 | −3 | 9 |
| 4 | −1 | 1 |
| 4 | −1 | 1 |
| 4 | −1 | 1 |
| 5 | 0 | 0 |
| 5 | 0 | 0 |
| 7 | 2 | 4 |
| 9 | 4 | 16 |
| Σ = 0 | Σ = 32 |
3. Dela upp och ta sedan kvadratroten.
Befolkning: 32 ÷ 8 = 4, och √4 = 2 Exempel: 32 ÷ 7 = 4.571, och √4.571 = 2.138
Två saker att notera. Kolumnen för avvikelser summeras till exakt noll, och det kommer den alltid att göra, det är en egenskap hos medelvärdet och en användbar kontroll att du inte har gjort ett aritmetiskt glid. Och de två svaren skiljer sig åt med 6.9% på åtta värden. Det gapet avrundas inte. Det är korrigeringen som beskrivs i nästa avsnitt.
Läs tabellen för avvikelsesteget
Stegtabellen listar varje värde, dess avvikelse från medelvärdet och den avvikelsen i kvadrat, med kolumnsummor längst ner. Kalkylatorn bygger den för vilken data du än matar in. Läs den från vänster till höger och hela formeln är synlig.
Den mittersta kolumnen visar vilka värden som drar medelvärdet upp och vilka som drar det nedåt, och den blir alltid noll. Den högra kolumnen visar vilka värden som dominerar resultatet, i exemplet ovan bidrar det enskilda värdet av 9 med 16 av 32-totalen, hälften av spridningen från en observation av åtta.
Den sista observationen är värd att sitta med, eftersom den förklarar varför standardavvikelse är känslig för avvikare. Kvadratering innebär att ett värde tre enheter från medelvärdet bidrar nio gånger så mycket som ett värde en enhet bort. En extrem observation kan påverka resultatet avsevärt, vilket är anledningen till att en boxplot eller en titt på rådata bör följa med vilken standardavvikelse du än förlitar dig på.
För datamängder över 30-värden kollapsar tabellen till den första och sista fem raden med totalerna intakta. Den fullständiga tabellen förblir tillgänglig och kopieras som tabusseparerade värden för att klistras in i ett kalkylblad eller en rapport.
Förstå varför exempelformeln dividerar med n − 1
Detta är den mest ställda frågan om standardavvikelse, och det vanliga svaret, "det korrigerar för bias", förklarar ingenting. Här är vad som faktiskt händer. När du beräknar ett urval av standardavvikelse vet du inte populationsmedelvärdet. Du använder istället urvalsmedelvärdet.
Men urvalsmedelvärdet beräknas *från samma värden*, vilket innebär att det ligger närmare dem än det verkliga populationsmedelvärdet. Det är, genom konstruktion, den punkt som minimerar summan av kvadrerade avvikelser för just det urvalet.
Så varje avvikelse du mäter är lite för liten. Inte slumpmässigt för liten, systematiskt, i en riktning, varje gång. Att dividera med n ger en varians som konsekvent underskattar populationens varians.
Att dividera med n − 1 kompenserar istället för det. Justeringen kallas Bessels korrigering, och n − 1 är frihetsgraderna: när medelvärdet är fast kan endast n − 1 av avvikelserna variera oberoende, eftersom den sista tvingas av kravet att de summeras till noll.
Storleken på korrigeringen beror helt på urvalsstorleken:
| Urvalsstorlek | Skillnad mellan att dividera med n − 1 och n |
|---|---|
| 5 | 25% större varians |
| 10 | 11% |
| 30 | 3.4% |
| 100 | 1.0% |
| 1,000 | 0.1% |
Vid n = 5 ändrar valet svaret väsentligt. Efter några hundra värden slutar det spela någon praktisk roll. Det är därför distinktionen övas på i introduktionskurser, där exemplen är små, och varför praktiker som arbetar med stora datamängder sällan tänker på det.
Tolka ett standardavvikelsevärde
En standardavvikelse i sig betyder lite. Den uttrycks i enheterna av originaldata, så ett värde på 12 kan vara enormt eller trivialt beroende på vad som mäts och medelvärdet. Två sätt att ge det kontext.
Jämför med medelvärdet. Variationskoefficienten delar standardavvikelsen med medelvärdet och uttrycker resultatet som en procent. En standardavvikelse på 12 mot ett medelvärde på 500 är en CV på 2.4%, vilket är snäv. Mot ett medelvärde på 20 är det 60%, vilket är enormt. CV:n låter dig också jämföra spridning mellan dataset mätta i olika enheter, vilket en rå standardavvikelse inte kan.
Använd den empiriska regeln. För data som följer en ungefärlig normalfördelning ligger ungefär 68% av värdena inom en standardavvikelse från medelvärdet, cirka 95% inom två, och ungefär 99.7% inom tre. Så ett test med ett medelvärde på 70 och en standardavvikelse på 8 placerar ungefär två tredjedelar av eleverna mellan 62 och 78, och en poäng på 94, tre standardavvikelser upp, i toppen 0.15%.
Den empiriska regeln gäller bara för ungefär normala data. På starkt snedfördelade fördelningar går det sönder kraftigt, och inkomstdata är standardexemplet: medelvärdet ligger över medianen, fördelningen har en lång höger svans och "inom två standardavvikelser" slutar beskriva 95% av något. Kontrollera formen på dina data med ett histogram innan du lutar dig mot regeln.
Beräkna medelvärdets standardfel
Standardfelet mäter precisionen i medelvärdet självt, snarare än spridningen av de enskilda värdena. Det besvarar en annan fråga: om detta urval togs igen, hur mycket skulle medelvärdet förändras?
SE = s / √nFör exempelmängden är SE = 2.138 ÷ √8 = 0.756.
Notera √n i nämnaren. Att fyrdubbla stickprovsstorleken halverar standardfelet, vilket är den matematiska anledningen till att större urval ger mer tillförlitliga uppskattningar, och anledningen till att avkastningen minskar. Att gå från 100 till 400 observationer halverar osäkerheten i medelvärdet. Att gå från 400 till 800 förbättrar det med endast 29%.
Standardfelet är vad konfidensintervall byggs på, och det är siffran man ska ange när man rapporterar hur väl ett urval av medelvärde fastställer en population.
Använd standardavvikelse i praktiken
Fyra ställen där mätningen gör verkligt arbete, och vad en förändring i den faktiskt signalerar. Kvalitetskontroll. En produktionslinje övervakas utifrån standardavvikelsen av en uppmätt dimension, inte bara dess medelvärde. En process kan hålla ett perfekt medelvärde medan spridningen vidgas, och en bredare spridning innebär att fler delar faller utanför toleransen.
Kontrollkartor markerar en stigande standardavvikelse innan någon enskild del underkänns inspektionen.
Testresultat och betyg. Standardavvikelse omvandlar ett råt resultat till en position. Ett 78 betyder ingenting förrän du vet att medelvärdet är 65 och standardavvikelsen är 7, då poängen är nästan två standardavvikelser över genomsnittet. Detta är exakt den beräkning en z-score utför.
Investeringsrisk. Volatilitet är standardavvikelsen i avkastningen. Två fonder med ett genomsnitt på 8% årligen är inte likvärdiga investeringar om den ena har en standardavvikelse på 3% och den andra 22%, den andra kommer att ge år som prövar investerarens nerver, och avkastningsordningen är viktig för alla som får inkomst.
Mätning och instrumentering. Upprepade mätningar av samma storspridning och deras standardavvikelse kvantifierar instrumentets precision. Det är hur ett laboratorium anger osäkerhet, och hur två instrument som mäter samma sak jämförs.
Vanliga frågor
Vad är standardavvikelse?
Standardavvikelse mäter hur långt värdena i en datamängd vanligtvis ligger från sitt medelvärde, uttryckt i samma enheter som originaldatan. En liten standardavvikelse innebär att värden klustrar nära medelvärdet; en stor betyder att de sprids stort. Den beräknas genom att kvadrera varje avvikelse från medelvärdet, medelvärde av dessa kvadrater och ta kvadratroten.
Bör jag använda urvals- eller populationsstandardavvikelse?
Använd populationsstandardavvikelse när dina data täcker varje medlem i gruppen du beskriver, och dela med N. Använd stickprovsstandardavvikelse när dina data är en delmängd som representerar en större grupp, och dela med n − 1. Urval är vanligare i praktiken, eftersom de flesta verkliga data är ett urval av något. Läroboksfrågor specificerar nästan alltid vilken som önskas.
Varför dividerar provformeln med n − 1?
Eftersom urvalsmedelvärdet beräknas utifrån samma värden som du mäter avvikelser mot, ligger det närmare dem än det verkliga populationsmedelvärdet. Varje avvikelse är därför systematiskt för liten, och att dividera med n skulle konsekvent underskatta populationsvariansen. Att dividera med n − 1, känt som Bessels korrigering, kompenserar. Vid n = 10 ger det en 11%-skillnad; vid n = 1,000, 0.1%.
Vad är en bra standardavvikelse?
Det finns inget universellt bra värde, eftersom standardavvikelsen bär dataenheterna. Bedöm det mot medelvärdet med hjälp av variationskoefficienten: en standardavvikelse som är 5% av medelvärdet indikerar tight data, medan 50% indikerar bred spridning. Vad som räknas som acceptabelt beror helt på ämnesområde, en tillverkningstolerans och en uppsättning undersökningssvar har mycket olika förväntningar.
Hur skiljer sig standardavvikelse från varians?
Varians är den genomsnittliga kvadrerade avvikelsen från medelvärdet; standardavvikelsen är dess kvadratrot. Variansen är i kvadrerade enheter, vilket inte kan tolkas direkt mot de ursprungliga mätningarna, så kvadratroten tas för att återföra siffran till användbara enheter. Båda beskriver samma spridning, och standardavvikelsen är den du rapporterar.
Vad säger den empiriska regeln?
För ungefär normalfördelade data ligger ungefär 68% av värdena inom en standardavvikelse från medelvärdet, 95% inom två, och 99.7% inom tre. Ett test med ett medelvärde på 70 och en standardavvikelse på 8 placerar därför ungefär två tredjedelar av poängen mellan 62 och 78. Regeln brister på starkt snedvridna data, så kontrollera fördelningens form först.
Kan standardavvikelse vara negativ?
Nej. Standardavvikelse är kvadratroten av ett medelvärde av kvadratvärden, så det kan aldrig vara mindre än noll. Det är exakt noll endast när varje värde i datamängden är identiskt, vilket betyder att det inte finns någon spridning alls. Ett negativt resultat indikerar ett räknefel, vanligtvis ett teckenfel i avvikelsesteget.
Vad är standardfelet och hur skiljer det sig åt?
Standardavvikelse beskriver spridningen av individuella värden; standardfel beskriver hur exakt urvalsmedelvärdet skattar populationsmedelvärdet. Standardfel är lika med urvalets standardavvikelse dividerat med kvadratroten av urvalsstorleken, så det krymper när urvalet växer. Konfidensintervall byggs upp utifrån standardfel, inte standardavvikelse.
Hur beräknar jag standardavvikelse i Excel?
Använd =STDEV.S(range) för ett prov och =STDEV.P(range) för en population. Den äldre =STDEV() beter sig som STDEV.S och sparas för kompatibilitet. Excels variansfunktioner har samma namn: VAR.S och VAR.P. Bekräfta vilken din tilldelning förväntar sig, eftersom de två returnerar olika siffror på små datamängder.
Sammanfattning
Standard Deviation Calculator returnerar antingen urvalet eller populationsstandardavvikelsen från vilken inklistad datamängd som helst, tillsammans med varians, medelvärde, summan av kvadrater och en fullständig avvikelsetabell.
Båda formlerna kvadrerar varje värdes avvikelse från medelvärdet, summerar dessa kvadrater, delar och tar kvadratroten; de skiljer sig endast genom att dividera med n − 1 för ett urval eller N för en population.
Välj urval när datan representerar en större grupp, vilket är vanligt, och förvänta dig en meningsfull skillnad mellan de två endast på små datamängder, 11% vid tio värden, 1% vid hundra. Tolka resultatet mot medelvärdet med hjälp av variationskoefficienten, eller mot den empiriska regeln när data är ungefär normala, och kom ihåg att kvadrering gör måttet känsligt för avvikare.