Judul SEO (58): Kalkulator Deviasi Standar, Sampel & Populasi SD Deskripsi meta (155): Hitung deviasi standar sampel atau populasi dari set data apa pun. Kalkulator Deviasi Standar menampilkan tabel deviasi dan setiap langkah pengerjaan.
Skema: WebApplication + FAQPage + BreadcrumbList
Kalkulator Deviasi Standar mengukur seberapa jauh nilai dalam satu set data berada dari rata-rata mereka, mengembalikan deviasi standar sampel atau deviasi standar populasi tergantung pada apa yang diwakili data tersebut. Tempelkan nilai yang dipisahkan dengan koma, spasi, atau pemisah baris, dan kalkulator mengembalikan hasilnya bersama varians, rata-rata, jumlah kuadrat, dan tabel langkah yang menunjukkan setiap deviasi yang digunakan.
Tabel langkah lebih penting daripada angkanya. Kebanyakan orang yang datang ke sini perlu mengulang perhitungan secara manual untuk tugas kuliah, dan hasil tanpa pekerjaan tidak mengajarkan apa-apa.
Hitung deviasi standar dari himpunan data
Deviasi standar menjawab satu pertanyaan: seberapa tersebar data ini? Deviasi standar kecil berarti nilai-nilai tersebut mengelompok erat di sekitar rata-rata. Deviasi besar berarti nilai-nilai tersebut tersebar. Dua set data dapat berbagi rata-rata yang identik dan menggambarkan situasi yang benar-benar berbeda, dan deviasi standar itulah yang membedakannya.
Tempel nilai Anda ke dalam bidang data. Koma, spasi, tab, dan pemisah baris semuanya berfungsi, jadi kolom yang disalin langsung dari spreadsheet tidak perlu diformat ulang. Kalkulator melaporkan berapa banyak nilai yang dibaca tepat di bawah bidang, periksa apakah itu dihitung dengan apa yang Anda tempel sebelum membaca hasilnya, karena karakter yang tersesat adalah penyebab paling umum jawaban yang salah.
Kalkulator kemudian mengurutkan data, menghitung rata-rata, dan bekerja ke luar dari sana. Setiap nilai antara ditampilkan, sehingga Anda dapat mengikuti atau memverifikasi perhitungan manual di setiap langkah.
Pilih antara sampel dan populasi
Pilihan ini mengubah jawabannya, dan ini adalah satu hal di halaman ini yang layak untuk diselesaikan sebelum hal lain. Kedua rumus ini hanya berbeda dalam denominatornya, tetapi pada set data kecil kesenjangan cukup besar. Gunakan deviasi standar populasi (σ) ketika data Anda mencakup setiap anggota kelompok yang ingin Anda jelaskan.
Nilai tes semua siswa 24 dalam satu kelas, ketika kelas adalah yang Anda pedulikan. Setiap pengukuran dari batch yang sudah selesai. Penyebut adalah N, hitungan penuh.
Gunakan deviasi standar sampel ketika data Anda adalah subset yang diambil dari kelompok yang lebih besar, dan Anda ingin memperkirakan sebaran kelompok yang lebih besar tersebut. Survei terhadap pemilih 200 yang mewakili pemilih nasional. Tiga puluh komponen terukur mewakili produksi yang dihasilkan. Penyebut adalah n − 1.
Sampel adalah kasus yang lebih umum dalam praktik, itulah sebabnya kalkulator ini secara default menggunakannya. Sebagian besar data nyata adalah sampel dari sesuatu, dan memperlakukan sampel sebagai populasi menghasilkan angka yang secara sistematis terlalu kecil.
Jika Anda bekerja dari soal buku teks, pertanyaannya hampir selalu mengatakan mana yang diinginkan. Cari kata "populasi" atau "sampel", atau frasa seperti "semua dari" versus "seleksi acak dari".
Terapkan rumus deviasi standar
Kedua formula mengikuti lima langkah yang sama dan hanya berbeda pada langkah keempat.
Population: σ = √( Σ(x − x̄)² / N )
Sample: s = √( Σ(x − x̄)² / (n − 1) )Menjalani proses ini:
1. Cari rata-rata. Tambahkan setiap nilai dan bagi dengan hitungan. 2. Cari setiap deviasi. Kurangi rata-rata dari setiap nilai. Beberapa negatif. 3. Kuadratkan setiap deviasi. Ini menghilangkan negatif dan memberikan bobot lebih pada nilai yang jauh dari rata-rata. Total adalah jumlah kuadrat. 4. Bagi. Dengan N untuk populasi, dengan n − 1 untuk sampel. Hasilnya adalah varians. 5. Ambil akar kuadrat. Ini mengembalikan jawaban ke satuan asli.
Langkah 3 adalah di mana negatif hilang, dan langkah 5 adalah alasan akar kuadrat ada. Membentuk deviasi kuadrat mendorong hasilnya menjadi satuan kuadrat, tanda kuadrat, sentimeter kuadrat, yang tidak dapat diinterpretasikan secara langsung. Akar kuadrat mengembalikannya ke sesuatu yang sebanding dengan pengukuran asli.
Hitung standar deviasi untuk 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9
Set delapan nilai ini memberikan deviasi standar populasi tepat 2 dan deviasi standar sampel 2.138. Setiap langkah di bawah ini dapat diperiksa secara manual. 1. Temukan rata-rata. 2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 40 40 ÷ 8 = 5
2. Temukan setiap penyimpangan dan kuadratkan.
| x | x − x̄ | (x − x̄)² |
|---|---|---|
| 2 | −3 | 9 |
| 4 | −1 | 1 |
| 4 | −1 | 1 |
| 4 | −1 | 1 |
| 5 | 0 | 0 |
| 5 | 0 | 0 |
| 7 | 2 | 4 |
| 9 | 4 | 16 |
| Σ = 0 | Σ = 32 |
3. Bagi, lalu ambil akar kuadrat.
Populasi: 32 ÷ 8 = 4, dan √4 = 2 Contoh: 32 ÷ 7 = 4.571, dan √4.571 = 2.138
Dua hal yang perlu diperhatikan. Kolom deviasi berjumlah tepat nol, dan akan selalu demikian, itu adalah sifat dari rata-rata dan pemeriksaan berguna bahwa Anda belum melakukan kesalahan aritmatika. Dan kedua jawaban berbeda sebesar 6.9% pada delapan nilai. Celah itu bukan pembulatan. Itu adalah koreksi yang dijelaskan di bagian berikutnya.
Baca tabel langkah deviasi
Tabel langkah mencantumkan setiap nilai, penyimpangan dari rata-rata, dan deviasi itu dikuadratkan, dengan total kolom di bagian bawah. Kalkulator membangunnya untuk data apa pun yang Anda masukkan. Baca dari kiri ke kanan dan seluruh rumus akan terlihat.
Kolom tengah menunjukkan nilai mana yang menarik rata-rata naik dan mana yang menariknya turun, dan selalu totalnya nol. Kolom kanan menunjukkan nilai mana yang mendominasi hasil, dalam contoh di atas, satu nilai 9 menyumbang 16 dari total 32, setengah dari sebaran dari satu pengamatan dari delapan.
Pengamatan terakhir ini layak dipikirkan, karena menjelaskan mengapa deviasi standar sensitif terhadap outlier. Squaring berarti nilai tiga satuan dari rata-rata menyumbang sembilan kali lebih banyak dibandingkan nilai satu unit jauhnya. Satu pengamatan ekstrem dapat mengubah hasil secara signifikan, itulah sebabnya boxplot atau melihat data mentah harus menyertai deviasi standar yang Anda andalkan.
Untuk set data di atas nilai 30, tabel akan dilipat ke lima baris pertama dan terakhir dengan total tetap utuh. Tabel lengkap tetap tersedia dan menyalin sebagai nilai yang dipisahkan tab untuk ditempelkan ke spreadsheet atau laporan.
Pahami mengapa rumus sampel membagi dengan n − 1
Ini adalah pertanyaan yang paling sering diajukan tentang deviasi standar, dan jawaban biasa, "mengoreksi bias", tidak menjelaskan apa pun. Inilah yang sebenarnya terjadi. Ketika Anda menghitung deviasi standar sampel, Anda tidak mengetahui rata-rata populasi. Anda menggunakan rata-rata sampel sebagai gantinya.
Namun rata-rata sampel dihitung *dari nilai yang sama*, yang berarti nilai-nilai tersebut lebih dekat dengan nilai-nilai tersebut dibandingkan rata-rata populasi sebenarnya. Secara konstruksi, ini adalah titik yang meminimalkan jumlah deviasi kuadrat untuk sampel tertentu tersebut.
Jadi setiap deviasi yang Anda ukur sedikit terlalu kecil. Tidak terlalu kecil secara acak, secara sistematis, ke satu arah, setiap kali. Membagi dengan n memberikan varians yang secara konsisten meremehkan variansi populasi.
Membagi dengan n − 1 justru mengompensasi hal tersebut. Penyesuaian ini disebut koreksi Bessel, dan n − 1 adalah derajat kebebasan: setelah rata-rata ditetapkan, hanya n − 1 dari deviasi yang dapat berubah secara independen, karena yang terakhir dipaksa oleh persyaratan bahwa deviasi tersebut dijumlahkan menjadi nol.
Ukuran koreksi sepenuhnya bergantung pada ukuran sampel:
| Ukuran sampel | Perbedaan antara membagi dengan n − 1 dan n |
|---|---|
| 5 | 25% varians lebih besar |
| 10 | 11% |
| 30 | 3.4% |
| 100 | 1.0% |
| 1,000 | 0.1% |
Pada n = 5 pilihan mengubah jawaban secara material. Setelah beberapa ratus nilai, hal ini tidak lagi penting dalam arti praktis. Itulah sebabnya perbedaan ini ditekankan dalam mata kuliah pengantar, di mana contohnya kecil, dan mengapa praktisi yang bekerja dengan kumpulan data besar jarang memikirkannya.
Interpretasikan nilai deviasi standar
Deviasi standar sendiri tidak berarti banyak. Nilai tersebut dinyatakan dalam satuan data asli, sehingga nilai 12 bisa sangat besar atau sepele tergantung pada apa yang diukur dan apa rata-ratanya. Ada dua cara untuk memberinya konteks.
Bandingkan dengan rata-rata. Koefisien variasi membagi deviasi standar dengan rata-rata dan menyatakan hasilnya sebagai persentase. Deviasi standar 12 terhadap rata-rata 500 adalah CV dari 2.4%, yang ketat. Terhadap rata-rata 20, itu adalah 60%, yang sangat besar. CV juga memungkinkan Anda membandingkan sebaran data yang diukur dalam satuan berbeda, yang tidak dapat dilakukan oleh deviasi standar mentah.
Gunakan aturan empiris. Untuk data yang mengikuti distribusi kira-kira normal, sekitar 68% nilai berada dalam satu deviasi standar dari rata-rata, sekitar 95% dalam dua hal, dan sekitar 99.7% dalam tiga hal. Jadi tes dengan rata-rata 70 dan deviasi standar 8 menempatkan sekitar dua pertiga siswa antara 62 dan 78, dan skor 94, tiga deviasi standar ke atas, di teratas 0.15%.
Aturan empiris hanya berlaku untuk data yang kira-kira normal. Pada distribusi yang sangat miring, data ini rusak parah, dan data pendapatan adalah contoh standar: rata-rata berada di atas median, distribusi memiliki ekor kanan yang panjang, dan "dalam dua deviasi standar" berhenti mendeskripsikan 95% dari apa pun. Periksa bentuk data Anda dengan histogram sebelum bersandar pada aturan.
Hitung kesalahan standar dari rata-rata
Kesalahan standar mengukur presisi rata-rata itu sendiri, bukan penyebaran nilai individual. Ini menjawab pertanyaan berbeda: jika sampel ini diambil lagi, seberapa besar rata-rata akan bergerak?
SE = s / √nUntuk set contoh, SE = 2.138 ÷ √8 = 0.756.
Perhatikan √n pada penyebut. Menggandakan ukuran sampel menjadi setengah standar error, yang menjadi alasan matematis sampel yang lebih besar memberikan estimasi yang lebih dapat diandalkan, dan alasan pengembalian menurun. Beralih dari pengamatan 100 ke 400 mengurangi ketidakpastian rata-rata setengahnya. Dari 400 ke 800 hanya memperbaikinya 29%.
Kesalahan standar adalah dari mana interval kepercayaan dibangun, dan angka ini digunakan saat melaporkan seberapa baik rata-rata sampel menentukan rata-rata populasi.
Gunakan deviasi standar dalam praktik
Empat tempat ukuran ini benar-benar bekerja dan apa yang sebenarnya ditandai oleh perubahan yang ditimbulkannya. Kontrol kualitas. Sebuah lini produksi dipantau berdasarkan deviasi standar dari dimensi yang diukur, bukan hanya rata-ratanya. Sebuah proses dapat mempertahankan rata-rata sempurna sementara sebaran melebar, dan penyebaran yang semakin lebar berarti lebih banyak bagian yang berada di luar toleransi.
Grafik kontrol menandai deviasi standar yang naik sebelum setiap bagian gagal inspeksi.
Skor tes dan penilaian. Deviasi standar mengubah skor mentah menjadi posisi. 78 tidak berarti apa-apa sampai Anda tahu rata-ratanya 65 dan deviasi standar adalah 7, di mana skor hampir dua deviasi standar di atas rata-rata. Ini persis perhitungan yang dilakukan skor z.
Risiko investasi. Volatilitas adalah deviasi standar dari pengembalian. Dua dana yang rata-rata 8% setiap tahun tidak merupakan investasi yang setara jika satu memiliki deviasi standar 3% dan yang lain 22%, yang kedua akan menghasilkan tahun yang menguji keberanian investor, dan urutan pengembalian penting bagi siapa pun yang menarik pendapatan.
Pengukuran dan instrumentasi. Pengukuran berulang dengan sebaran kuantitas yang sama, dan deviasi standar mereka mengukur presisi instrumen. Ini adalah bagaimana laboratorium menyatakan ketidakpastian, dan bagaimana dua instrumen yang mengukur hal yang sama dibandingkan.
Pertanyaan yang sering diajukan
Apa itu standar deviasi?
Deviasi standar mengukur seberapa jauh nilai-nilai dalam satu set data biasanya berada dari rata-rata mereka, yang dinyatakan dalam satuan yang sama dengan data asli. Deviasi standar kecil berarti nilai berkelompok dekat dengan rata-rata; deviasi besar berarti nilai-nilai tersebut tersebar luas. Deviasi ini dihitung dengan mengkuadratkan setiap deviasi dari rata-rata, merata-ratakan kuadrat-kuadrat tersebut, dan mengambil akar kuadratnya.
Haruskah saya menggunakan deviasi standar sampel atau populasi?
Gunakan deviasi standar populasi ketika data Anda mencakup setiap anggota kelompok yang Anda jelaskan, dan bagi dengan N. Gunakan deviasi standar sampel ketika data Anda adalah subset yang mewakili kelompok yang lebih besar, dan bagi dengan n − 1. Sampel lebih umum dalam praktik, karena sebagian besar data nyata adalah sampel dari sesuatu. Pertanyaan buku teks hampir selalu menentukan mana yang diinginkan.
Mengapa rumus sampel membagi dengan n − 1?
Karena rata-rata sampel dihitung dari nilai yang sama yang Anda ukur deviasinya, maka rata-rata tersebut lebih dekat dengan deviasi tersebut dibandingkan rata-rata populasi sebenarnya. Setiap deviasi secara sistematis terlalu kecil, dan membagi dengan n akan secara konsisten meremehkan variansi populasi. Membagi dengan n − 1, yang dikenal sebagai koreksi Bessel, mengkompensasi. Pada n = 10 terjadi perbedaan 11%; pada n = 1,000, 0.1%.
Apa standar deviasi yang baik?
Tidak ada nilai universal yang baik, karena deviasi standar membawa satuan data. Nilai berdasarkan rata-rata menggunakan koefisien variasi: deviasi standar yang 5% dari rata-rata menunjukkan data yang ketat, sementara 50% menunjukkan sebaran yang luas. Apa yang dianggap dapat diterima sepenuhnya bergantung pada bidang, toleransi manufaktur, dan serangkaian jawaban survei memiliki ekspektasi yang sangat berbeda.
Bagaimana deviasi standar berbeda dari variansi?
Varians adalah rata-rata deviasi kuadrat dari rata-rata; deviasi standar adalah akar kuadratnya. Varians dalam satuan kuadrat, yang tidak dapat diinterpretasikan langsung terhadap pengukuran asli, sehingga akar kuadrat diambil untuk mengembalikan angka ke satuan yang dapat digunakan. Keduanya menggambarkan sebaran yang sama, dan deviasi standar adalah yang Anda laporkan.
Apa yang dikatakan aturan empiris?
Untuk data yang terdistribusi kira-kira normal, sekitar 68% nilai berada dalam satu deviasi standar dari rata-rata, 95% dalam dua hal, dan 99.7% dalam tiga hal. Tes dengan rata-rata 70 dan deviasi standar 8 oleh karena itu menempatkan sekitar dua pertiga skor antara 62 dan 78. Aturan ini dipecahkan pada data yang sangat miring, jadi periksa bentuk distribusi terlebih dahulu.
Apakah deviasi standar bisa negatif?
Tidak. Deviasi standar adalah akar kuadrat dari rata-rata nilai kuadrat, sehingga tidak pernah boleh kurang dari nol. Nilai ini sama persis dengan nol hanya ketika setiap nilai dalam himpunan data identik, yang berarti tidak ada sebaran sama sekali. Hasil negatif menunjukkan kesalahan aritmatika, biasanya kesalahan tanda pada langkah deviasi.
Apa itu kesalahan standar dan bagaimana perbedaannya?
Deviasi standar menggambarkan sebaran nilai individu; kesalahan standar menggambarkan bagaimana rata-rata sampel secara tepat memperkirakan rata-rata populasi. Kesalahan standar sama dengan deviasi standar sampel dibagi akar kuadrat ukuran sampel, sehingga menyusut seiring pertumbuhan sampel. Interval kepercayaan dibangun dari kesalahan standar, bukan deviasi standar.
Bagaimana cara menghitung deviasi standar di Excel?
Gunakan =STDEV.S(range) untuk sampel dan =STDEV.P(range) untuk populasi. =STDEV() yang lebih lama berperilaku seperti STDEV.S dan dipertahankan untuk kompatibilitas. Fungsi varians Excel menggunakan penamaan yang sama: VAR.S dan VAR.P. Konfirmasi mana yang diharapkan oleh tugas Anda, karena keduanya mengembalikan angka berbeda pada set data kecil.
Ringkasan
Kalkulator Deviasi Standar mengembalikan baik deviasi standar sampel maupun populasi dari set data yang ditempelkan, bersama dengan varians, rata-rata, jumlah kuadrat, dan tabel deviasi penuh.
Kedua rumus mengkuadratkan deviasi nilai dari rata-rata, menjumlahkan kuadrat tersebut, membagi, dan mengambil akar kuadrat; mereka hanya berbeda dalam membagi dengan n − 1 untuk sampel atau N untuk populasi.
Pilih sampel ketika data mewakili kelompok yang lebih besar, yang biasanya terjadi, dan harapkan perbedaan yang berarti antara keduanya hanya pada kumpulan data kecil, 11% pada sepuluh nilai, 1% pada seratus. Interpretasikan hasil terhadap rata-rata menggunakan koefisien variasi, atau melawan aturan empiris ketika data kira-kira normal, dan ingat bahwa kuadrat membuat ukuran sensitif terhadap outlier.