Titre SEO (58): Calculateur d’écart-type, SD d’échantillons et de population Méta-description (155): Calculer l’écart-type d’échantillon ou de population à partir de tout ensemble de données. Le calculateur d’écart-type affiche la table des écarts et chaque étape du travail. URL : /statistics-calculators/standard-deviation-calculator Schema : WebApplication + FAQPage + BreadcrumbList
Le calculateur d’écart-type mesure la distance des valeurs d’un ensemble de données par rapport à leur moyenne, en retournant soit l’écart-type de l’échantillon, soit l’écart-type de la population selon ce que représentent les données. Collez des valeurs séparées par des virgules, des espaces ou des sauts de ligne, et le calculateur renvoie le résultat aux côtés de la variance, de la moyenne, de la somme des carrés et d’une table d’écarts montrant chaque écart utilisé.
Le tableau d’égrés compte plus que le nombre. La plupart des gens qui arrivent ici doivent reproduire le calcul à la main pour les cours, et un résultat sans le travail n’apprend rien.
Calculer l’écart-type à partir d’un ensemble de données
L’écart-type répond à une question : quelle est la répartition de ces données ? Un faible écart-type signifie que les valeurs se regroupent étroitement autour de la moyenne. Un grand écart-type signifie qu’elles se dispersent. Deux ensembles de données peuvent partager une moyenne identique et décrire des situations complètement différentes, et c’est l’écart-type qui les sépare.
Collez vos valeurs dans le champ de données. Les virgules, espaces, tabulations et sauts de ligne fonctionnent tous, donc une colonne copiée directement d’un tableau ne nécessite pas de reformatage. Le calculateur indique combien de valeurs elle lit directement sous le champ, vérifiez ce compte par rapport à ce que vous avez collé avant de lire le résultat, car un caractère errant est la cause la plus fréquente d’une mauvaise réponse.
Le calculateur trie ensuite les données, calcule la moyenne, puis travaille vers l’extérieur à partir de là. Chaque valeur intermédiaire est indiquée, vous pouvez donc suivre ou vérifier un calcul manuel à n’importe quelle étape.
Choisissez entre l’échantillon et la population
Ce choix change la réponse, et c’est la seule chose sur cette page qui mérite d’être correcte avant tout. Les deux formules ne diffèrent que par leur dénominateur, mais sur de petits ensembles de données, l’écart est important. Utilisez l’écart-type de population (σ) lorsque vos données incluent tous les membres du groupe que vous souhaitez décrire.
Les résultats aux tests de tous les élèves 24 dans une catégorie, quand c’est ce qui vous intéresse. Chaque mesure d’un lot complet. Le dénominateur est N, le nombre complet.
Utilisez l’écart-type (s) d’échantillon lorsque vos données proviennent d’un sous-ensemble d’un groupe plus large, et que vous souhaitez estimer la répartition de ce groupe plus large. Une enquête auprès des électeurs 200 représentant une circonscription nationale. Trente composantes mesurées représentant une production de production. Le dénominateur est n − 1.
L’échantillon est le cas le plus courant en pratique, c’est pourquoi ce calculateur l’utilise par défaut. La plupart des données réelles sont un échantillon de quelque chose, et traiter un échantillon comme une population produit un chiffre systématiquement trop petit.
Si vous travaillez à partir d’un problème manuel, la question indique presque toujours lequel il souhaite. Cherchez les mots « population » ou « échantillon », ou une expression comme « tous les » versus « une sélection aléatoire de ».
Appliquer la formule de l’écart-type
Les deux formules suivent les mêmes cinq étapes et divergent seulement à la quatrième.
Population: σ = √( Σ(x − x̄)² / N )
Sample: s = √( Σ(x − x̄)² / (n − 1) )Travailler à travers :
1. Trouve la moyenne. Ajoute chaque valeur et divise par le compte. 2. Trouve chaque déviation. Soustrais la moyenne de chaque valeur. Certaines sont négatives. 3. Carrer chaque déviation. Cela supprime les négatifs et donne plus de poids aux valeurs éloignées de la moyenne. Le total est la somme des carrés. 4. Divisez. Par N pour une population, par n − 1 pour un échantillon. Le résultat est la variance. 5. Prends la racine carrée. Cela ramène la réponse aux unités originales.
L’étape 3 est là où les négatifs disparaissent, et l’étape 5 est la raison pour laquelle la racine carrée existe. En écartant les écarts, le résultat se réunit en unités carrées, marques carrées, centimètres carrés, qui ne peuvent pas être interprétées directement. La racine carrée ramène à quelque chose de comparable aux mesures originales.
Calculer l’écart-type pour 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9
Cet ensemble de huit valeurs donne un écart-type de population exactement de 2 et un écart-type d’échantillon de 2.138. Chaque étape en dessous peut être vérifiée à la main. 1. Trouvez la moyenne. 2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 40 40 ÷ 8 = 5
2. Trouve chaque déviation et carrée-la.
| x | x − x̄ | (x − x̄)² |
|---|---|---|
| 2 | −3 | 9 |
| 4 | −1 | 1 |
| 4 | −1 | 1 |
| 4 | −1 | 1 |
| 5 | 0 | 0 |
| 5 | 0 | 0 |
| 7 | 2 | 4 |
| 9 | 4 | 16 |
| Σ = 0 | Σ = 32 |
3. Divise, puis prends la racine carrée.
Population : 32 ÷ 8 = 4, et √4 = 2 Exemple : 32 ÷ 7 = 4.571, et √4.571 = 2.138
Deux choses à remarquer. La colonne des écarts est exactement nulle, et elle le sera toujours, c’est-à-dire une propriété de la moyenne et un bon test que vous n’avez pas fait de glissement arithmétique. Et les deux réponses diffèrent de 6.9 % sur huit valeurs. Cet écart n’est pas un arrondi. C’est la correction décrite dans la section suivante.
Lisez le tableau d’écarts
La table à pas affiche chaque valeur, son écart par rapport à la moyenne, et cet écart au carré, avec les totaux des colonnes en bas. Le calculateur construit cela pour les données que vous saisis. Lisez-le de gauche à droite et toute la formule est visible.
La colonne du milieu montre quelles valeurs font monter la moyenne et lesquelles la font descendre, et elle est toujours nulle. La colonne de droite montre quelles valeurs dominent le résultat ; dans l’exemple ci-dessus, la valeur unique de 9 contribue à 16 du total 32, soit la moitié de l’écart d’une observation sur huit.
Cette dernière observation mérite d’être examinée, car elle explique pourquoi l’écart-type est sensible aux valeurs aberrantes. Le squaring signifie qu’une valeur à trois unités de la moyenne contribue neuf fois plus qu’une valeur à une unité de distance. Une observation extrême peut faire évoluer considérablement le résultat, c’est pourquoi un boxplot ou un examen des données brutes devrait accompagner tout écart-type sur lequel vous vous appuyez.
Pour les ensembles de données supérieurs à 30, la table se replie aux cinq première et dernière lignes avec les totaux intacts. La table complète reste disponible et se copie sous forme de valeurs séparées par tabulation pour coller dans un tableur ou un rapport.
Comprendre pourquoi la formule de l’échantillon se divise par n − 1
C’est la question la plus posée sur l’écart-type, et la réponse habituelle, « elle corrige le biais », n’explique rien. Voici ce qui se passe réellement. Lorsque vous calculez un écart-type d’échantillon, vous ne connaissez pas la moyenne de la population. Vous utilisez plutôt la moyenne de l’échantillon.
Mais la moyenne de l’échantillon est calculée *à partir de ces mêmes valeurs*, ce qui signifie qu’elle se situe plus près d’elles que la moyenne réelle de la population. C’est, par construction, le point qui minimise la somme des écarts au carré pour cet échantillon particulier.
Ainsi, chaque déviation mesurée est légèrement trop petite. Pas aléatoirement trop petite, systématiquement, dans une seule direction, à chaque fois. Diviser par n donne une variance qui sous-estime systématiquement la variance de la population.
Diviser par n − 1 compense plutôt cela. L’ajustement s’appelle la correction de Bessel, et le n − 1 correspond aux degrés de liberté : une fois la moyenne fixée, seuls n − 1 des écarts peuvent varier indépendamment, car la dernière est imposée par l’exigence qu’ils soient totalisés à zéro.
La taille de la correction dépend entièrement de la taille de l’échantillon :
| Taille de l’échantillon | Différence entre diviser par n − 1 et n |
|---|---|
| 5 | 25 % plus grande variance |
| 10 | 11% |
| 30 | 3.4% |
| 100 | 1.0% |
| 1,000 | 0.1% |
À n = 5, le choix modifie la réponse de manière significative. Au-delà de quelques centaines de valeurs, cela cesse d’avoir toute importance concrète. C’est pourquoi la distinction est renforcée dans les cours d’introduction, où les exemples sont petits, et pourquoi les praticiens travaillant avec de grands ensembles de données y pensent rarement.
Interpréter une valeur d’écart-type
Un écart-type à lui seul signifie peu. Il est exprimé en unités des données originales, donc une valeur de 12 peut être énorme ou triviale selon ce qui est mesuré et la moyenne. Deux façons de donner un contexte.
Comparez-la à la moyenne. Le coefficient de variation divise l’écart-type par la moyenne et exprime le résultat en pourcentage. Un écart-type de 12 contre une moyenne de 500 est un CV de 2.4 %, ce qui est serré. Face à une moyenne de 20, c’est 60 %, ce qui est énorme. Le CV permet également de comparer la répartition entre ensembles de données mesurés en différentes unités, ce qu’un écart-type brut ne peut pas.
Utilisez la règle empirique. Pour les données suivant une distribution approximativement normale, environ 68 % des valeurs se situent à un écart-type de la moyenne, environ 95 % à deux, et environ 99.7 % à trois. Ainsi, un test avec une moyenne de 70 et un écart-type de 8 place environ deux tiers des élèves entre 62 et 78, avec un score de 94, trois écarts-types au-dessus, dans le top 0.15 %.
La règle empirique ne tient que pour des données à peu près normales. Sur les distributions fortement asymétriques, elle se décompose mal, et les données de revenu sont l’exemple standard : la moyenne est au-dessus de la médiane, la distribution a une longue queue droite, et « dans deux écarts-types » cesse de décrire 95 % de quoi que ce soit. Vérifiez la forme de vos données avec un histogramme avant de vous appuyer sur la règle.
Calculer l’erreur standard de la moyenne
L’erreur standard mesure la précision de la moyenne elle-même, plutôt que la dispersion des valeurs individuelles. Cela répond à une autre question : si cet échantillon était à nouveau tiré, dans quelle mesure la moyenne se déplacerait-elle ?
SE = s / √nPour l’ensemble d’exemple, SE = 2.138 ÷ √8 = 0.756.
Notez le √n dans le dénominateur. Quadrupler la taille de l’échantillon divise par deux l’erreur standard, ce qui explique mathématiquement pourquoi les échantillons plus grands donnent des estimations plus fiables, et la raison pour laquelle les rendements diminuent. Passer de 100 à 400 réduit de moitié l’incertitude de la moyenne. Passer de 400 à 800 ne l’améliore que de 29 %.
L’erreur standard est la base des intervalles de confiance, et c’est le chiffre à citer pour indiquer dans quelle mesure une moyenne d’échantillon fixe une moyenne de population.
Utiliser l’écart-type en pratique
Quatre endroits où la mesure fait un vrai travail, et ce qu’un changement en elle signale réellement. Contrôle qualité. Une chaîne de production est surveillée sur l’écart-type d’une dimension mesurée, pas seulement sur sa moyenne. Un procédé peut contenir une moyenne parfaite tandis que l’écart s’élargit, et l’élargissement signifie que plus de pièces sortent de la tolérance.
Les cartes de contrôle signalent un écart type croissant avant qu’une pièce ne ne soit inspectée.
Scores de test et notation. L’écart-type convertit un score brut en une position. Un 78 ne signifie rien tant que vous ne connaissez pas la moyenne est 65 et l’écart-type est 7, moment auquel le score est près de deux écarts-types au-dessus de la moyenne. C’est exactement le calcul qu’effectue un score z.
Risque d’investissement. La volatilité est l’écart-type des rendements. Deux fonds ayant en moyenne 8 % par an ne sont pas des investissements équivalents si l’un a un écart-type de 3 % et l’autre 22 %, le second produira des années qui mettront à l’épreuve le nerf de l’investisseur, et la séquence des rendements est importante pour toute personne percevant un revenu.
Mesure et instrumentation. Les mesures répétées de la même quantité de dispersion, et leur écart-type, quantifient la précision de l’instrument. C’est ainsi qu’un laboratoire déclare l’incertitude, et comment deux instruments mesurant la même chose sont comparés.
Questions fréquentes
Qu’est-ce que l’écart-type ?
L’écart-type mesure à quel point les valeurs d’un ensemble de données se situent généralement par rapport à leur moyenne, exprimées dans les mêmes unités que les données originales. Un petit écart-type signifie que les valeurs se regroupent près de la moyenne ; un grand écart signifie qu’elles se dispersent largement. Il est calculé en faisant un carré de chaque déviation par rapport à la moyenne, en moyennant ces carrés, puis en prenant la base carrée.
Dois-je utiliser l’écart-type d’échantillon ou de population ?
Utilisez l’écart-type de la population lorsque vos données couvrent tous les membres du groupe que vous décrivez, et divisez par N. Utilisez l’écart-type de l’échantillon lorsque vos données représentent un sous-ensemble représentant un groupe plus grand, et divisez par n − 1. L’exemple est plus courant en pratique, car la plupart des données réelles sont un échantillon de quelque chose. Les questions manuelles précisent presque toujours ce qui est recherché.
Pourquoi la formule de l’échantillon se divise-t-elle par n − 1 ?
Parce que la moyenne de l’échantillon est calculée à partir des mêmes valeurs que vous mesurez les écarts, elle s’en rapproche plus que la moyenne réelle de la population. Chaque déviation est donc systématiquement trop petite, et diviser par n sous-estimerait systématiquement la variance de population. Diviser par n − 1, appelé correction de Bessel, compense. À n = 10 cela fait une différence de 11 % ; à n = 1,000, 0.1 %.
Qu’est-ce qu’un bon écart-type ?
Il n’existe pas de valeur universellement bonne, car l’écart-type détient les unités des données. Jugeons-la selon la moyenne en utilisant le coefficient de variation : un écart-type de 5 % de la moyenne indique des données serrées, tandis que 50 % indique une large diffusion. Ce qui est considéré comme acceptable dépend entièrement du domaine, une tolérance de fabrication et un ensemble de réponses à l’enquête ont des attentes très différentes.
En quoi l’écart-type est-il différent de la variance ?
La variance est l’écart quadratique moyen par rapport à la moyenne ; l’écart-type est sa racine carrée. La variance est en unités carrées, qui ne peuvent pas être interprétées directement par rapport aux mesures initiales, donc la racine carrée est prise pour ramener la figure en unités utilisables. Les deux décrivent la même écarture, et l’écart-type est celui que vous rapportez.
Que dit la règle empirique ?
Pour des données approximativement distribuées normalement, environ 68 % des valeurs se situent à un écart type de la moyenne, 95 % à deux, et 99.7 % à trois. Un test avec une moyenne de 70 et un écart-type de 8 place donc environ deux tiers des scores entre 62 et 78. La règle se décompose sur des données fortement asymétriques, donc vérifiez d’abord la forme de la distribution.
L’écart-type peut-il être négatif ?
Non. L’écart-type est la racine carrée d’une moyenne de valeurs carrées, donc elle ne peut jamais être inférieure à zéro. Elle n’est exactement nulle que lorsque chaque valeur de l’ensemble de données est identique, ce qui signifie qu’il n’y a pas du tout d’écartement. Un résultat négatif indique une erreur arithmétique, généralement une erreur de signe à l’étape de déviation.
Quelle est l’erreur standard et en quoi diffère-t-elle ?
L’écart-type décrit la répartition des valeurs individuelles ; l’erreur standard décrit la manière dont la moyenne de l’échantillon estime précisément la moyenne de la population. L’erreur standard est égale à l’écart-type de l’échantillon divisée par la racine carrée de la taille de l’échantillon, donc elle diminue à mesure que l’échantillon grandit. Les intervalles de confiance sont construits à partir de l’erreur standard, et non de l’écart-type.
Comment calculer l’écart-type dans Excel ?
Utilisez =STDEV.S(range) pour un échantillon et =STDEV.P(range) pour une population. L’ancien =STDEV() se comporte comme STDEV.S et est conservé pour la compatibilité. Les fonctions de variance d’Excel suivent le même nom : VAR.S et VAR.P. Confirmez laquelle attend votre affectation, puisque les deux donnent des nombres différents sur de petits ensembles de données.
Résumé
Le calculateur d’écart-type restitue soit l’échantillon, soit l’écart-type de la population à partir de tout ensemble de données collé, ainsi que la variance, la moyenne, la somme des carrés et une table complète des écarts.
Les deux formules carrés la déviation de chaque valeur par rapport à la moyenne, additionnent ces carrés, divisent et prennent la racine carrée ; elles ne diffèrent que par la division par n − 1 pour un échantillon ou N pour une population.
Choisissez l’échantillon lorsque les données représentent un groupe plus large, ce qui est le cas habituel, et attendez-vous à une différence significative entre les deux uniquement sur de petits ensembles de données, 11 % à dix valeurs, 1 % à cent. Interprétez le résultat en fonction de la moyenne en utilisant le coefficient de variation, ou selon la règle empirique lorsque les données sont à peu près normales, et rappelez-vous que le carré rend la mesure sensible aux valeurs aberrantes.
Calculateurs connexes
Calculateur de variance · Calculateur de moyenne, médiane, mode · Calculateur de score Z · Calculateur de statistiques descriptives