SEO-заголовок (58): Стандартный калькулятор отклонения, пример и SD популяции
Схема: WebApplication + FAQPage + BreadcrumbList
Калькулятор стандартного отклонения измеряет, насколько далеко значения в наборе данных находятся от среднего, возвращая либо стандартное отклонение выборки, либо стандартное отклонение в популяции в зависимости от того, что представляют данные. Вставляйте значения, разделённые запятыми, пробелами или разрывами строк, и калькулятор возвращает результат вместе с дисперсией, средним значением, суммой квадратов и пошаговой таблицей, показывающей каждое использованное отклонение.
Таблица шагов важнее числа. Большинству приезжающих сюда приходится воспроизводить расчёт вручную для учебных заданий, а результат без работы ничего не учит.
Вычислите стандартное отклонение от набора данных
Стандартное отклонение отвечает на один вопрос: насколько рассеяны эти данные? Небольшое стандартное отклонение означает, что значения плотно скопятся вокруг среднего. Большое, значит, они рассеиваются. Два набора данных могут иметь одинаковое среднее и описывать совершенно разные ситуации, и именно стандартное отклонение их разделяет.
Вставьте значения в поле данных. Запятые, пробелы, вкладки и разрывы строк, всё работает, поэтому столбец, скопированный прямо из таблицы, не требует переформатирования. Калькулятор показывает, сколько значений он показал прямо под полем, проверьте это значение с тем, что вы вставили перед чтением результата, потому что случайный символ, самая частая причина неправильного ответа.
Калькулятор сортирует данные, вычисляет среднее значение и начинает работать дальше. Отображается каждое промежуточное значение, так что вы можете следить за расчётом или проверять вручную на любом этапе.
Выбирайте между выборкой и популяцией
Этот выбор меняет ответ, и это единственное, что на этой странице стоит узнать, прежде всего. Эти две формулы различаются только знаменателем, но на небольших наборах данных разрыв значительный. Используйте стандартное отклонение популяции (σ), когда ваши данные включают всех членов группы, которую вы хотите описать.
Результаты тестов всех учеников 24 в одном классе, когда вам важен этот класс. Каждое измерение из завершённой партии. Знаменатель, N, полный счёт.
Используйте выборку стандартных отклонений (отклонения), когда ваши данные являются подмножеством из более крупной группы, и вы хотите оценить распределение этой более крупной группы. Опрос избирателей 200, представляющих национальный электорат. Тридцать измеренных компонентов, представляющих производственный цикл. Знаменатель, n − 1.
Выборка, более распространённый случай на практике, поэтому этот калькулятор по умолчанию использует его. Большинство реальных данных, это выборка чего-то, и если рассматривать выборку как популяцию, это систематически слишком малая величина.
Если вы работаете с учебной задачей, в вопросе почти всегда сказано, какую именно задачу вы хотите. Ищите слова «популяция» или «выборка», или фразу вроде «все» против «случайного выбора».
Применим стандартную формулу отклонения
Обе формулы следуют одним и тем же пяти шагам и расходятся только на четвёртом.
Population: σ = √( Σ(x − x̄)² / N )
Sample: s = √( Σ(x − x̄)² / (n − 1) )Работая над этим:
1. Найдите среднее. Сложите все значения и делите на счёт. 2. Найдите каждое отклонение. Вычтите среднее значение из каждого значения. Некоторые из них отрицательны. 3. Выделяйте в квадрат каждое отклонение. Это убирает отрицательные значения и придаёт больше веса значениям, далеким от среднего. Суммарное, это сумма квадратов. 4. Делим. На N для популяции, на n − 1 для выборки. В результате получается дисперсия. 5. Возьмём квадратный корень. Это возвращает ответ исходным единицам.
Шаг 3, это когда отрицательные значения исчезают, а шаг 5 объясняет, почему квадратный корень вообще существует. Выравнивание отклонений в квадрат смещает результат в квадраты, квадратные знаки, квадратные сантиметры, которые нельзя интерпретировать напрямую. Квадратный корень возвращает его к чему-то сопоставимому с исходными измерениями.
Вычислите стандартное отклонение для 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9
Это восьмизначное множество даёт стандартное отклонение популяции ровно 2 и примерное стандартное отклонение 2.138. Каждый следующий шаг можно проверить вручную. 1. Найдите среднее значения. 2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 40 40 ÷ 8 = 5
2. Найдите каждое отклонение и вычислите его в квадрат.
| x | x − x̄ | (x − x̄)² |
|---|---|---|
| 2 | −3 | 9 |
| 4 | −1 | 1 |
| 4 | −1 | 1 |
| 4 | −1 | 1 |
| 5 | 0 | 0 |
| 5 | 0 | 0 |
| 7 | 2 | 4 |
| 9 | 4 | 16 |
| Σ = 0 | Σ = 32 |
3. Делите, затем берите квадратный корень.
Население: 32 ÷ 8 = 4, и √4 = 2 Пример: 32 ÷ 7 = 4.571, и √4.571 = 2.138
Стоит обратить внимание на два момента. Столбец отклонений суммируется ровно до нуля, и это всегда будет, это свойство среднего и полезное подтверждение, что вы не сделали арифметический срыв. И оба ответа различаются на 6.9% по восьми значениям. Этот разрыв не округляется. Это коррекция, описанная в следующем разделе.
Прочитайте таблицу шагов отклонения
Таблица шагов показывает каждое значение, его отклонение от среднего и это отклонение в квадрате, с суммой столбцов внизу. Калькулятор строит её для любых введённых данных. Прочитайте слева направо, и вся формула видна.
Средний столбец показывает, какие значения тянут среднее вверх, а какие, вниз, и итог всегда равен нулю. Правый столбец показывает, какие значения доминируют в результате; в приведённом выше примере единственное значение 9 вносит 16 из суммы 32, что составляет половину разбора от одного наблюдения из восьми.
Последнее наблюдение стоит изучить, потому что оно объясняет, почему стандартное отклонение чувствительно к выбросам. Выравнивание в квадрат означает, что значение на три единицы от среднего вносит в девять раз больше, чем значение в одной единице от него. Одно экстремальное наблюдение может существенно изменить результат, поэтому коробочный график или анализ исходных данных должны сопровождать любое стандартное отклонение, на которое вы опираетесь.
Для наборов данных выше значений 30 таблица сжимается до первой и последней пяти строк с сохранением суммы. Полная таблица остаётся доступной и копируется в виде значений с разделёнными вкладками для вставки в таблицу или отчет.
Понять, почему формула выборки делит на n − 1
Это самый часто задаваемый вопрос о стандартном отклонении, и обычный ответ «это исправляет смещение» ничего не объясняет. Вот что на самом деле происходит. Когда вы рассчитываете стандартное отклонение выборки, вы не знаете среднее значение генеральной суммы. Вместо этого вы используете среднее значение выборки.
Но среднее по выборке вычисляется *из тех же значений*, что означает, что оно ближе к ним, чем истинное среднее по популяции. По конструкции именно эта точка минимизирует сумму квадратов отклонений для конкретной выборки.
Так что каждое отклонение, которое вы измеряете, немного слишком мало. Не слишком мало, систематично, в одном направлении, каждый раз. Деление на n даёт дисперсию, которая постоянно недооценивает дисперсию популяции.
Деление на n 1 компенсирует это. Корректировка называется корректировкой Бесселя, а n − 1, степени свободы: после фиксации среднего значения только n − 1 отклонений могут изменяться независимо, потому что последнее вынуждается требованием суммировать к нулю.
Размер коррекции полностью зависит от размера выборки:
| Размер выборки | Разница между делением на n − 1 и n |
|---|---|
| 5 | 25% большей дисперсии |
| 10 | 11% |
| 30 | 3.4% |
| 100 | 1.0% |
| 1,000 | 0.1% |
При n = 5 выбор существенно меняет ответ. После нескольких сотен значений это перестаёт иметь значение в каком-либо практическом смысле. Вот почему это различие отрабатывается на вводных курсах, где примеры небольшие, и почему практики, работающие с большими наборами данных, редко об этом задумываются.
Интерпретировать стандартное значение отклонения
Само по себе стандартное отклонение мало что значит. Оно выражается в единицах исходных данных, поэтому значение 12 может быть огромным или тривиальным в зависимости от того, что измеряется и каково его среднее. Есть два способа дать ему контекст.
Сравните его со средним значением. Коэффициент вариации делит стандартное отклонение на среднее и выражает результат в процентах. Стандартное отклонение 12 против среднего 500, это CV 2.4%, что является узким. Против среднего 20 оно составляет 60%, что огромно. CV также позволяет сравнивать разброс между наборами данных, измеряемыми в разных единицах, чего не может стандартное отклонение.
Используйте эмпирическое правило. Для данных, которые следуют примерно нормальному распределению, примерно 68% значений попадает в одно стандартное отклонение от среднего, примерно 95% в пределах двух и около 99.7% в пределах трёх. Таким образом, тест со средним 70 и стандартным отклонением 8 ставит примерно две трети учащихся между 62 и 78, а балл 94, три стандартных отклонения вверх, находятся в верхней 0.15%.
Эмпирическое правило справедливо только для примерно нормальных данных. При сильно смещённых распределениях оно сильно разбивается, и стандартным примером являются данные дохода: среднее расположено выше медианы, распределение имеет длинный правый хвост, и «в пределах двух стандартных отклонений» перестаёт описывать 95% чего-либо. Проверьте форму данных с помощью гистограммы, прежде чем опираться на правило.
Вычислим стандартную ошибку среднего значения
Стандартная ошибка измеряет точность самого среднего, а не распределение отдельных значений. Это отвечает на другой вопрос: если бы этот выборку взяли снова, насколько бы среднее изменилось?
SE = s / √nДля примера SE = 2.138 ÷ √8 = 0.756.
Обратите внимание на √n в знаменателе. Учетверение размера выборки уменьшает стандартную ошибку вдвое, что и объясняет, почему большие выборки дают более надёжные оценки, а доходность уменьшается. Переход от 100 до 400 наблюданий уменьшает неопределённость среднего вдвое. Переход от 400 к 800 улучшает его всего на 29%.
Стандартная ошибка, это то, на чём строятся доверительные интервалы, и именно эту цифру приводят при отчёте, насколько хорошо среднее по выборке фиксируется общее среднее значение.
Используйте стандартное отклонение на практике
Четыре места измерения выполняют реальную работу, и о том, какое изменение оно на самом деле сигнализирует. Контроль качества. Производственная линия контролируется по стандартному отклонению измеренного размера, а не только по её среднему. Процесс может сохранять идеальное среднее значение, пока спред расширяется, а расширение означает, что больше деталей выходят за пределы допустимого допуска.
Контрольные таблицы отмечают растущее отклонение стандарта до того, как какая-либо отдельная деталь не пройдет проверку.
Результаты тестов и оценка. Стандартное отклонение преобразует исходный балл в позицию. 78 ничего не значит, пока вы не узнаете, что среднее, 65, а стандартное отклонение, 7, в этот момент балл почти на два стандартных отклонения выше среднего. Именно так и выполняется z-балл.
Инвестиционный риск. Волатильность, это стандартное отклонение доходности. Два фонда, усредняющие 8% в год, не являются эквивалентными инвестициями, если один имеет стандартное отклонение 3%, а другой 22%, второй даст годы, проверяющие нервы инвестора, и последовательность доходности имеет значение для каждого, кто получает доход.
Измерение и приборы. Повторные измерения одного и того же количества рассеяния и их стандартного отклонения количественно определяют точность прибора. Это то, как лаборатория формулирует неопределённость и как сравниваются два прибора, измеряющих одно и то же измерение.
Часто задаваемые вопросы
Что такое стандартное отклонение?
Стандартное отклонение измеряет, насколько далеки значения в наборе данных обычно находятся от своего среднего, выраженного в тех же единицах, что и исходные данные. Небольшое стандартное отклонение означает, что значения собираются рядом со средним; большое, значит, что они широко рассеиваются. Оно вычисляется путём вычисления каждого отклонения в квадрат от среднего, усреднения этих квадратов и взятия квадратного корня.
Стоит ли использовать отклонение по выборке или по стандарту популяции?
Используйте стандартное отклонение популяции, когда ваши данные охватывают всех членов описываемой группы, и делите на N. Используйте стандартное отклонение выборки, если ваши данные представляют более крупную группу, и делите на n − 1. Выборка более распространена на практике, так как большинство реальных данных, это выборка чего-то. В учебниках почти всегда уточняется, какой из них нужен.
Почему формула выборки делит на n − 1?
Поскольку среднее значение выборки рассчитывается из тех же значений, с которыми вы измеряете отклонения, оно ближе к ним, чем истинное среднее по популяции. Каждое отклонение систематически слишком мало, и деление на n постоянно недооценивает дисперсию популяции. Деление на n − 1, известное как коррекция Бесселя, компенсирует. При n = 10 разница составляет 11%; при n = 1,000, 0.1%.
Что такое хорошее стандартное отклонение?
Универсально хорошего значения не существует, потому что стандартное отклонение несёт единицы данных. Оценивайте его по среднему по коэффициенту вариации: стандартное отклонение, равное 5% от среднего, указывает на плотные данные, а 50%, на широкое рассеяние. То, что считается приемлемым, полностью зависит от области, производственная толерантность и набор ответов опроса имеют совершенно разные ожидания.
Чем стандартное отклонение отличается от дисперсии?
Дисперсия, это среднее квадратичное отклонение от среднего; стандартное отклонение, её квадратный корень. Дисперсия измеряется в квадратах единиц, что нельзя интерпретировать напрямую по сравнению с исходными измерениями, поэтому квадратный корень берётся, чтобы вернуть цифру к пригодным единицам. Оба описывают одинаковый разброс, и стандартное отклонение, это то, что вы указываете.
Что говорит эмпирическое правило?
Для примерно нормально распределённых данных примерно 68% значений попадают в одно стандартное отклонение среднего, 95%, в двух и 99.7%, в пределах трёх. Тест со средним 70 и стандартным отклонением 8 размещает примерно две трети результатов между 62 и 78. Правило срабатывает на сильно искаженных данных, поэтому сначала проверьте форму распределения.
Может ли стандартное отклонение быть отрицательным?
Нет. Стандартное отклонение, это квадратный корень из среднего квадрата значений, поэтому оно никогда не может быть меньше нуля. Оно равно ровному нулю только тогда, когда все значения в наборе совпадают, то есть совсем нет разброса. Отрицательный результат указывает на арифметическую ошибку, обычно ошибку знака на шаге отклонения.
Какова стандартная ошибка и чем она отличается?
Стандартное отклонение описывает распределение отдельных значений; стандартная ошибка описывает, как точно среднее отклонение выборки оценивает среднее по генеральной совокупности. Стандартная ошибка равна стандартному отклонению выборки, делённому на квадратный корень размера выборки, поэтому оно уменьшается по мере роста выборки. Доверительные интервалы строятся на основе стандартной ошибки, а не стандартного отклонения.
Как рассчитать стандартное отклонение в Excel?
Используйте =STDEV.S(range) для выборки и =STDEV.P(range) для популяции. Старый =STDEV() ведёт себя как STDEV.S и сохраняется для совместимости. Дисперсионные функции Excel имеют одно и то же название: VAR.S и VAR.P. Уточните, какой из них ожидает ваше присвоение, так как оба возвращают разные числа на небольших наборах данных.
Краткое резюме
Калькулятор стандартных отклонений возвращает либо выборку, либо стандартное отклонение генеральной совокупности из любого вставленного набора данных, а также дисперсию, среднее, сумму квадратов и полную таблицу отклонений.
Обе формулы выставляют в квадрат отклонение каждого значения от среднего, суммируют эти квадраты, делят и берут квадратный корень; они различаются только тем, что делят на n − 1 для выборки или N для генеральной совокупности.
Выбирайте выборку, когда данные представляют большую группу, что обычно бывает, и ожидайте значимую разницу между ними только на небольших наборах данных: 11% при десяти значениях, 1% при сто. Интерпретируем результат относительно среднего с использованием коэффициента вариации или против эмпирического правила, когда данные примерно нормальны, и помните, что вычисление в квадрат делает меру чувствительной к выбросам.