Tajuk SEO (58): Kalkulator Sisihan Piawai, Sampel & Populasi SD Penerangan meta (155): Kira sisihan piawai sampel atau populasi daripada mana-mana set data. Kalkulator Sisihan Piawai menunjukkan jadual sisihan dan setiap langkah kerja.
Skema: WebApplication + FAQPage + BreadcrumbList
Kalkulator Sisihan Piawai mengukur sejauh mana nilai dalam set data berada berbanding min mereka, mengembalikan sama ada sisihan piawai sampel atau sisihan piawai populasi bergantung pada apa yang diwakili oleh data tersebut. Tampal nilai yang dipisahkan oleh koma, ruang atau pemisahan baris, dan kalkulator mengembalikan hasil bersama varians, min, jumlah kuasa dua dan jadual langkah yang menunjukkan setiap sisihan yang digunakan.
Jadual langkah lebih penting daripada nombor. Kebanyakan orang yang tiba di sini perlu mengulangi pengiraan secara manual untuk kerja kursus, dan hasil tanpa kerja tidak mengajar apa-apa.
Kira sisihan piawai daripada set data
Sisihan piawai menjawab satu soalan: sejauh manakah data ini tersebar? Sisihan piawai kecil bermaksud nilai-nilai berkumpul rapat di sekitar purata. Sisihan piawai bermakna ia tersebar. Dua set data boleh berkongsi min yang sama dan menerangkan situasi yang sangat berbeza, dan sisihan piawai itulah yang membezakannya.
Tampal nilai anda ke dalam medan data. Koma, ruang, tab dan pemisah baris semuanya berfungsi, jadi lajur yang disalin terus dari hamparan tidak perlu diformat semula. Kalkulator melaporkan berapa banyak nilai yang dibaca terus di bawah medan, periksa sama ada dikira berbanding apa yang anda tampal sebelum membaca hasilnya, kerana aksara yang tersasar adalah punca paling biasa bagi jawapan yang salah.
Kalkulator kemudian menyusun data, mengira purata, dan bekerja ke luar dari situ. Setiap nilai perantaraan dipaparkan, jadi anda boleh mengikuti atau mengesahkan pengiraan tangan pada mana-mana langkah.
Pilih antara sampel dan populasi
Pilihan ini mengubah jawapan, dan ia adalah satu-satunya perkara di halaman ini yang berbaloi untuk diperbaiki sebelum apa-apa yang lain. Kedua-dua formula ini berbeza hanya dari segi penyebut mereka, tetapi pada set data kecil, jurangnya adalah besar. Gunakan sisihan piawai populasi (σ) apabila data anda merangkumi setiap ahli kumpulan yang ingin anda terangkan.
Skor ujian semua pelajar 24 dalam satu kelas, apabila kelas itu adalah apa yang anda pedulikan. Setiap ukuran dari kumpulan yang lengkap. Penyebut adalah N, kiraan penuh.
Gunakan sisihan piawai sampel apabila data anda adalah subset yang diambil dari kumpulan yang lebih besar, dan anda ingin menganggarkan penyebaran kumpulan yang lebih besar itu. Satu tinjauan pengundi 200 yang mewakili pengundi nasional. Tiga puluh komponen yang diukur mewakili satu larian pengeluaran. Penyebutnya ialah n − 1.
Sampel adalah kes yang lebih biasa dalam amalan, sebab itulah kalkulator ini secara lalai menggunakannya. Kebanyakan data sebenar adalah sampel sesuatu, dan menganggap sampel sebagai populasi menghasilkan angka yang secara sistematik terlalu kecil.
Jika anda bekerja dari masalah buku teks, soalan hampir selalu menyatakan yang mana satu yang diinginkan. Cari perkataan "populasi" atau "sampel", atau frasa seperti "semua" berbanding "pemilihan rawak".
Gunakan formula sisihan piawai
Kedua-dua formula mengikuti lima langkah yang sama dan hanya berbeza pada langkah keempat.
Population: σ = √( Σ(x − x̄)² / N )
Sample: s = √( Σ(x − x̄)² / (n − 1) )Mengatasinya:
1. Cari min. Tambah setiap nilai dan bahagi dengan kiraan. 2. Cari setiap penyimpangan. Tolak min dari setiap nilai. Ada yang negatif. 3. Kuasa dua setiap sisihan. Ini menghilangkan negatif dan memberi lebih berat kepada nilai yang jauh dari purata. Jumlah adalah jumlah kuasa dua. 4. Bahagi. Dengan N untuk populasi, dengan n − 1 untuk sampel. Hasilnya ialah varians. 5. Ambil punca kuasa dua. Ini mengembalikan jawapan kepada unit asal.
Langkah 3 adalah di mana negatif hilang, dan langkah 5 adalah sebab punca kuasa dua wujud. Menyimpang kuasa dua menolak hasil kepada unit kuasa dua, tanda kuasa dua, sentimeter kuasa dua, yang tidak boleh ditafsirkan secara langsung. Akar kuasa dua mengembalikannya kepada sesuatu yang setanding dengan ukuran asal.
Kira sisihan piawai untuk 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9
Set lapan nilai ini memberikan sisihan piawai populasi tepat 2 dan sisihan piawai contoh 2.138. Setiap langkah di bawah boleh diperiksa secara manual. 1. Cari purata. 2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 40 40 ÷ 8 = 5
2. Cari setiap penyimpangan dan kuasa empat.
| x | x − x̄ | (x − x̄)² |
|---|---|---|
| 2 | −3 | 9 |
| 4 | −1 | 1 |
| 4 | −1 | 1 |
| 4 | −1 | 1 |
| 5 | 0 | 0 |
| 5 | 0 | 0 |
| 7 | 2 | 4 |
| 9 | 4 | 16 |
| Σ = 0 | Σ = 32 |
3. Bahagi, kemudian ambil punca kuasa dua.
Populasi: 32 ÷ 8 = 4, dan √4 = 2 Contoh: 32 ÷ 7 = 4.571, dan √4.571 = 2.138
Dua perkara yang perlu diperhatikan. Lajur penyimpangan berjumlah tepat sifar, dan ia akan sentiasa begitu, itu adalah sifat purata dan pemeriksaan berguna bahawa anda belum membuat slip aritmetik. Dan kedua-dua jawapan berbeza sebanyak 6.9% pada lapan nilai. Jurang itu bukan pembundaran. Ia adalah pembetulan yang diterangkan dalam bahagian seterusnya.
Baca jadual langkah penyimpangan
Jadual langkah menyenaraikan setiap nilai, penyimpangan dari purata, dan sisihan itu dikuadratkan, dengan jumlah lajur di bahagian bawah. Kalkulator membinanya untuk apa sahaja data yang anda masukkan. Baca dari kiri ke kanan dan keseluruhan formula akan kelihatan.
Lajur tengah menunjukkan nilai mana yang menarik purata ke atas dan mana yang menariknya ke bawah, dan ia sentiasa berjumlah sifar. Lajur kanan menunjukkan nilai mana yang mendominasi hasil, dalam contoh di atas, nilai tunggal 9 menyumbang 16 daripada jumlah 32, separuh daripada sebaran daripada satu pemerhatian daripada lapan.
Pemerhatian terakhir itu berbaloi untuk difikirkan, kerana ia menerangkan mengapa sisihan piawai sensitif kepada pengecualian. Squaring bermaksud nilai tiga unit daripada min menyumbang sembilan kali ganda berbanding nilai satu unit jauhnya. Satu pemerhatian ekstrem boleh mengubah hasil dengan ketara, sebab itulah plot kotak atau melihat data mentah harus disertakan dengan sebarang sisihan piawai yang anda bergantung.
Untuk set data melebihi nilai 30, jadual akan dilipat ke lima baris pertama dan terakhir dengan jumlah keseluruhan. Jadual penuh kekal tersedia dan salin sebagai nilai yang dipisahkan tab untuk ditampal ke dalam hamparan atau laporan.
Fahami mengapa formula sampel dibahagi dengan n − 1
Ini adalah soalan yang paling kerap ditanya tentang sisihan piawai, dan jawapan biasa, "ia membetulkan bias", tidak menjelaskan apa-apa. Ini adalah apa yang sebenarnya berlaku. Apabila anda mengira sisihan piawai sampel, anda tidak tahu purata populasi. Anda menggunakan min sampel sebaliknya.
Tetapi min sampel dikira *daripada nilai yang sama*, yang bermakna ia lebih dekat dengan nilai tersebut berbanding purata populasi sebenar. Ia, secara pembinaan, adalah titik yang meminimumkan jumlah sisihan kuasa dua untuk sampel tertentu itu.
Jadi setiap penyimpangan yang anda ukur sedikit terlalu kecil. Tidak terlalu kecil secara rawak, secara sistematik, dalam satu arah, setiap kali. Membahagi dengan n memberikan varians yang secara konsisten meremehkan varians populasi.
Membahagi dengan n − 1 sebaliknya mengimbangi perkara itu. Pelarasan ini dipanggil pembetulan Bessel, dan n − 1 ialah darjah kebebasan: setelah min ditetapkan, hanya n − 1 daripada penyimpangan boleh berubah secara bebas, kerana yang terakhir dipaksa oleh keperluan supaya ia dijumlahkan kepada sifar.
Saiz pembetulan bergantung sepenuhnya kepada saiz sampel:
| Saiz sampel | Perbezaan antara membahagi dengan n − 1 dan n |
|---|---|
| 5 | 25% varians lebih besar |
| 10 | 11% |
| 30 | 3.4% |
| 100 | 1.0% |
| 1,000 | 0.1% |
Pada n = 5 pilihan mengubah jawapan secara material. Selepas beberapa ratus nilai, ia tidak lagi penting dalam erti kata praktikal. Itulah sebabnya perbezaan ini ditekankan dalam kursus pengenalan, di mana contoh adalah kecil, dan mengapa pengamal yang bekerja dengan set data besar jarang memikirkannya.
Mentafsir nilai sisihan piawai
Sisihan piawai sahaja tidak bermakna banyak. Ia dinyatakan dalam unit data asal, jadi nilai 12 boleh menjadi sangat besar atau remeh bergantung pada apa yang diukur dan apa maknanya. Dua cara untuk memberikannya konteks.
Bandingkan dengan purata. Pekali variasi membahagikan sisihan piawai dengan min dan menyatakan hasilnya sebagai peratusan. Sisihan piawai 12 berbanding min 500 ialah CV 2.4%, yang ketat. Berbanding min 20, ia adalah 60%, yang sangat besar. CV juga membolehkan anda membandingkan penyebaran antara set data yang diukur dalam unit berbeza, yang mana sisihan piawai mentah tidak boleh.
Gunakan peraturan empirikal. Untuk data yang mengikuti taburan kira-kira normal, kira-kira 68% nilai berada dalam satu sisihan piawai bagi purata, kira-kira 95% dalam dua, dan kira-kira 99.7% dalam tiga bahagian. Jadi ujian dengan min 70 dan sisihan piawai 8 meletakkan kira-kira dua pertiga pelajar antara 62 dan 78, dan skor 94, tiga sisihan piawai ke atas, di atas 0.15%.
Peraturan empirikal hanya terpakai untuk data yang lebih kurang normal. Pada taburan yang sangat condong, ia terpecah dengan teruk, dan data pendapatan adalah contoh standard: purata terletak di atas median, taburan mempunyai ekor kanan yang panjang, dan "dalam dua sisihan piawai" berhenti menerangkan 95% bagi apa-apa. Periksa bentuk data anda dengan histogram sebelum bergantung pada peraturan tersebut.
Kira ralat piawai purata
Ralat piawai mengukur ketepatan min itu sendiri, bukannya penyebaran nilai individu. Ia menjawab soalan yang berbeza: jika sampel ini diambil semula, berapa banyak min akan bergerak?
SE = s / √nUntuk set contoh, SE = 2.138 ÷ √8 = 0.756.
Perhatikan √n dalam penyebut. Menggandakan saiz sampel sebanyak empat kali ganda mengurangkan dua ralat piawai, yang merupakan sebab matematik mengapa sampel yang lebih besar memberikan anggaran yang lebih boleh dipercayai, dan sebab pulangan berkurang. Beralih dari pemerhatian 100 ke pemerhatian 400 mengurangkan separuh ketidakpastian dalam purata. Beralih dari 400 ke 800 hanya memperbaikinya dengan 29%.
Ralat piawai adalah daripada apa selang keyakinan dibina, dan ia adalah angka yang perlu dipetik apabila melaporkan sejauh mana min sampel menentukan min populasi.
Gunakan sisihan piawai dalam amalan
Empat tempat ukuran melakukan kerja sebenar, dan apa perubahan yang sebenarnya diisyaratkan. Kawalan kualiti. Satu barisan pengeluaran dipantau berdasarkan sisihan piawai dimensi yang diukur, bukan hanya puratanya. Satu proses boleh mengekalkan purata sempurna sementara penyebaran melebar, dan penyebaran yang melebar bermakna lebih banyak bahagian yang berada di luar toleransi.
Carta kawalan menandakan sisihan piawai yang meningkat sebelum mana-mana bahagian gagal pemeriksaan.
Skor ujian dan penggredan. Sisihan piawai menukar skor mentah kepada kedudukan. 78 tidak bermakna apa-apa sehingga anda tahu min adalah 65 dan sisihan piawai adalah 7, pada ketika itu skor hampir dua sisihan piawai di atas purata. Ini adalah pengiraan tepat yang dilakukan oleh skor z.
Risiko pelaburan. Volatiliti adalah sisihan piawai pulangan. Dua dana yang purata 8% setiap tahun tidak merupakan pelaburan setara jika satu mempunyai sisihan piawai 3% dan satu lagi 22%, yang kedua akan menghasilkan tahun yang menguji keberanian pelabur, dan urutan pulangan penting bagi sesiapa yang menerima pendapatan.
Pengukuran dan instrumentasi. Pengukuran berulang bagi penyebaran kuantiti yang sama, dan sisihan piawainya mengukur ketepatan instrumen. Ia adalah bagaimana makmal menyatakan ketidakpastian, dan bagaimana dua instrumen yang mengukur perkara yang sama dibandingkan.
Soalan lazim
Apakah sisihan piawai?
Sisihan piawai mengukur sejauh mana nilai dalam set data biasanya terletak dari min mereka, dinyatakan dalam unit yang sama seperti data asal. Sisihan piawai kecil bermaksud nilai berkumpul berhampiran min; sisihan besar bermakna ia tersebar luas. Ia dikira dengan mengkuadrat setiap penyimpangan daripada min, mengambil purata kuasa dua tersebut, dan mengambil punca kuasa dua.
Patutkah saya menggunakan sisihan piawai sampel atau populasi?
Gunakan sisihan piawai populasi apabila data anda merangkumi setiap ahli kumpulan yang anda terangkan, dan bahagi dengan N. Gunakan sisihan piawai sampel apabila data anda adalah subset yang mewakili kumpulan yang lebih besar, dan bahagi dengan n − 1. Sampel lebih biasa dalam amalan, kerana kebanyakan data sebenar adalah sampel sesuatu. Soalan buku teks hampir selalu menentukan yang mana dikehendaki.
Mengapa formula sampel membahagi dengan n − 1?
Oleh kerana min sampel dikira daripada nilai yang sama yang anda ukur sisihan, ia lebih dekat dengan nilai tersebut berbanding purata populasi sebenar. Setiap penyimpangan oleh itu secara sistematik terlalu kecil, dan membahagi dengan n akan sentiasa meremehkan varians populasi. Membahagi dengan n − 1, dikenali sebagai pembetulan Bessel, mengimbangi. Pada n = 10 ia menghasilkan perbezaan 11%; pada n = 1,000, 0.1%.
Apakah sisihan piawai yang baik?
Tiada nilai yang baik secara universal, kerana sisihan piawai membawa unit data. Nilai berdasarkan min menggunakan pekali variasi: sisihan piawai yang 5% daripada min menunjukkan data yang ketat, manakala 50% menunjukkan taburan yang luas. Apa yang dianggap boleh diterima bergantung sepenuhnya pada bidang, toleransi pembuatan dan satu set jawapan tinjauan mempunyai jangkaan yang sangat berbeza.
Bagaimana sisihan piawai berbeza daripada varians?
Varians adalah sisihan kuasa dua purata dari min; sisihan piawai adalah punca kuasa duanya. Varians adalah dalam unit kuasa dua, yang tidak boleh ditafsirkan secara langsung terhadap ukuran asal, jadi punca kuasa dua diambil untuk mengembalikan angka kepada unit yang boleh digunakan. Kedua-duanya menerangkan penyebaran yang sama, dan sisihan piawai adalah yang anda laporkan.
Apa yang dikatakan oleh peraturan empirikal?
Untuk data yang diedarkan secara kasar normal, kira-kira 68% nilai berada dalam satu sisihan piawai bagi purata, 95% dalam dua sisihan, dan 99.7% dalam tiga. Ujian dengan min 70 dan sisihan piawai 8 oleh itu meletakkan kira-kira dua pertiga skor antara 62 dan 78. Peraturan ini terpecah pada data yang sangat condong, jadi periksa bentuk taburan terlebih dahulu.
Bolehkah sisihan piawai menjadi negatif?
Tidak. Sisihan piawai adalah punca kuasa dua bagi purata nilai kuasa dua, jadi ia tidak boleh kurang daripada sifar. Ia sama dengan sifar tepat hanya apabila setiap nilai dalam set data adalah sama, yang bermakna tiada penyebaran langsung. Keputusan negatif menunjukkan ralat aritmetik, biasanya kesilapan tanda dalam langkah penyimpangan.
Apakah ralat piawai dan bagaimana ia berbeza?
Sisihan piawai menerangkan penyebaran nilai individu; ralat piawai menerangkan bagaimana purata sampel menganggarkan purata populasi dengan tepat. Ralat piawai sama dengan sisihan piawai sampel dibahagi dengan punca kuasa dua saiz sampel, jadi ia mengecil apabila sampel berkembang. Selang keyakinan dibina daripada ralat piawai, bukan sisihan piawai.
Bagaimana saya mengira sisihan piawai dalam Excel?
Gunakan =STDEV.S(range) untuk sampel dan =STDEV.P(range) untuk populasi. =STDEV() yang lebih lama berkelakuan seperti STDEV.S dan disimpan untuk keserasian. Fungsi varians Excel mengikuti penamaan yang sama: VAR.S dan VAR.P. Sahkan yang mana satu dijangka oleh tugasan anda, kerana kedua-duanya mengembalikan nombor yang berbeza pada set data kecil.
Ringkasan
Kalkulator Sisihan Piawai mengembalikan sama ada sisihan piawai sampel atau populasi daripada mana-mana set data yang ditampal, bersama dengan varians, min, jumlah kuasa dua dan jadual sisihan penuh.
Kedua-dua formula mengkuadrat penyimpangan setiap nilai daripada purata, menjumlahkan kuasa dua tersebut, membahagikan, dan mengambil punca kuasa dua; mereka hanya berbeza dalam membahagikan dengan n − 1 untuk sampel atau N untuk populasi.
Pilih sampel apabila data mewakili kumpulan yang lebih besar, yang biasanya berlaku, dan jangkakan perbezaan yang bermakna antara kedua-duanya hanya pada set data kecil, 11% pada sepuluh nilai, 1% pada seratus. Tafsirkan keputusan berdasarkan min menggunakan pekali variasi, atau terhadap peraturan empirikal apabila data adalah kira-kira normal, dan ingat bahawa mengira kuasa dua menjadikan ukuran sensitif kepada outlier.