Kalkulator segi tiga

Kalkulator Segitiga menyelesaikan segitiga daripada mana-mana tiga daripada enam ukurannya, tiga sisi dan tiga sudut, dan mengembalikan nilai yang tinggal, luas, perimeter dan gambar rajah berlabel yang dilukis pada dimensi yang dimasukkan. Ia menamakan kes yang dikesan, menunjukkan teorem yang menyelesaikan setiap langkah, dan mengendalikan kes samar-samar di mana dua segi tiga berbeza sesuai dengan ukuran yang sama.

Tiga ukuran membetulkan segi tiga, dengan satu pengecualian penting diliputi di bawah. Masukkan apa yang anda tahu dan kalkulator mencari yang lain, menunjukkan kerja supaya hasilnya boleh disemak dengan tangan.

Selesaikan segitiga daripada mana-mana tiga ukuran

Segitiga mempunyai enam ukuran: tiga panjang sisi dan tiga sudut pedalaman. Mengetahui tiga daripada mereka, selagi sekurang-kurangnya satu adalah sisi, menentukan keseluruhan segitiga. Itulah sebabnya setiap masalah segi tiga memberikan anda tepat tiga maklumat.

Masukkan sebarang kombinasi yang sah: tiga sisi, dua sisi dan satu sudut, atau dua sudut dan satu sisi. Kalkulator mengenal pasti gabungan mana yang ada, memilih kaedah yang sesuai dan menyelesaikan untuk tiga ukuran lain. Ia juga mengembalikan luas, perimeter, tiga ketinggian, median, dan jejari bulatan bertulis dan berbatas.

Setiap ukuran membawa unitnya sendiri, dan sudut boleh dimasukkan dalam darjah atau radian. Gambar rajah dilukis semula untuk memadankan nombor, dengan setiap sisi dan sudut dilabelkan, jadi bentuknya kelihatan dan bukannya abstrak.

Kenal pasti kes yang anda ada

Kaedah yang manakah menyelesaikan segitiga bergantung kepada tiga ukuran yang diketahui. Ahli matematik menamakan kes ini dengan corak sisi (S) dan sudut (A), dan mengenal pasti kes adalah langkah pertama dalam setiap penyelesaian.

Case	You know	Method
SSS	three sides	law of cosines
SAS	dua sisi dan sudut di antara mereka	law of cosines, then law of sines
ASA	dua sudut dan sisi di antara mereka	angle sum, then law of sines
AAS	dua sudut dan satu sisi bukan di antara keduanya	angle sum, then law of sines
SSA	dua sisi dan satu sudut bukan di antara mereka	hukum sinus, kes yang tidak jelas

Huruf merekodkan susunan ukuran yang terletak di sekeliling segitiga. SAS bermaksud sudut yang diketahui ialah *antara* dua sisi yang diketahui; SSA bermakna tidak. Perbezaan itu lebih penting daripada yang kelihatan, kerana SSA adalah satu-satunya kes yang boleh mempunyai dua jawapan.

Kalkulator mengesan kes itu secara automatik dan menamakannya, jadi kaedah ini tidak boleh diduga.

Selesaikan dengan hukum sinus

Hukum sinus mengaitkan setiap sisi dengan sinus sudut bertentangannya, dan ia menyelesaikan kes di mana sisi dan sudut bertentangannya diketahui, ASA, AAS, dan SSA.

a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)

Setiap sisi dibahagikan dengan sinus sudut yang menghadapnya memberikan nisbah yang sama. Jadi dengan mengetahui satu sisi dan sudut bertentangannya menetapkan nisbah untuk keseluruhan segi tiga, dan mana-mana sudut lain yang diketahui kemudiannya memberikan sisi bertentangannya.

Untuk segi tiga ASA atau AAS, sudut ketiga datang dahulu daripada jumlah sudut, ketiga-tiga sudut pedalaman berjumlah 180 darjah, dan kemudian hukum sinus mencari dua sisi yang tidak diketahui. Kaedahnya adalah langsung dan memberikan satu jawapan.

Selesaikan dengan hukum kosinus

Hukum kosinus menyamaratakan teorem Pythagoras kepada mana-mana segi tiga, dan ia menyelesaikan kes di mana hukum sinus tidak boleh bermula: SSS dan SAS.

c² = a² + b² − 2ab·cos(C)

Apabila ketiga-tiga sisi diketahui (SSS), formula disusun semula untuk mencari setiap sudut:

cos(C) = (a² + b² − c²) / 2ab

Apabila dua sisi dan sudut yang disertakan diketahui (SAS), formula mencari sisi ketiga secara langsung, selepas itu hukum sinus menamatkan sudut. Perhatikan bahawa apabila sudut C ialah 90 darjah, cos(C) ialah sifar dan formula runtuh kepada a² + b² = c², hukum kosinus mengandungi teorem Pythagoras sebagai kes khas bersudut tegaknya.

Mengendalikan kes SSA yang ambik

SSA ialah kes yang membingungkan pelajar dan kalkulator, dan di sinilah Kalkulator Segitiga melakukan sesuatu yang kebanyakan pesaing tidak lakukan: ia mengembalikan setiap segi tiga yang sah, bukan hanya yang pertama yang ditemuinya.

Apabila anda mengetahui dua sisi dan sudut yang tidak berada di antara mereka, kekangan boleh dipenuhi oleh dua segi tiga berbeza, satu segi tiga atau tiada langsung.

Sebabnya ialah geometri: sisi yang diketahui berayun seperti engsel, dan bergantung pada panjangnya ia boleh memenuhi garis dasar yang bertentangan pada dua titik, satu titik, atau tidak mencapainya.

Pertimbangkan dua sisi dan sudut tidak termasuk di mana sisi bertentangan dengan sudut yang diketahui adalah lebih pendek daripada sisi lain yang diketahui tetapi cukup panjang untuk mencapai tapak. Dua segi tiga menutup celah itu, satu di mana sudut ketiga adalah akut, satu di mana ia tumpul. Kedua-duanya adalah sah. Kalkulator yang melaporkan hanya satu memberikan separuh jawapan, dan pelajar yang menulis hanya satu pada peperiksaan akan kehilangan markah.

Kalkulator Segitiga menyemak untuk ini. Apabila dua segi tiga wujud, ia melukis kedua-duanya dan menyenaraikan kedua-dua set ukuran bersebelahan. Apabila konfigurasi adalah mustahil, bahagian berayun terlalu pendek untuk dicapai, ia berkata begitu jelas dan bukannya mengembalikan nombor yang salah. Apabila jawapannya unik, ia mengesahkan mengapa.

Ini adalah satu-satunya perkara yang paling berguna yang dilakukan oleh kalkulator, kerana kes yang samar-samar adalah tepat di mana masalah segitiga berlaku.

Kira luas segi tiga

Luas segi tiga boleh ditemui dalam tiga cara, dan kalkulator memilih mana-mana ukuran yang diketahui membenarkan. Dari pangkalan dan ketinggiannya: `` A = ½ × base × height ``

Dari dua sisi dan sudut yang disertakan (SAS): `` A = ½ × a × b × sin(C) ``

Dari ketiga-tiga pihak, menggunakan formula Heron (SSS): `` A = √(s(s − a)(s − b)(s − c)), where s = (a + b + c) / 2 ``

Formula Heron adalah yang perlu dicapai apabila hanya sisi yang diketahui dan tiada ketinggian diberikan. Istilah s ialah separuh perimeter, separuh daripada jumlah sisi. Untuk segi tiga dengan sisi 6, 8 dan 10, separuh perimeter ialah 12, dan luasnya menghasilkan √(12 × 6 × 4 × 2) = √576 = 24.

Selesaikan segi tiga sama sisi dan segi tiga sama kaki

Segi tiga sama sisi dan sama kaki ialah kes khas yang diselesaikan oleh kalkulator daripada input yang lebih sedikit, kerana sisi yang sama membekalkan maklumat yang hilang. segitiga sama sisi mempunyai tiga sisi yang sama dan tiga sudut 60 darjah. Panjang sisi tunggal membetulkan segala-galanya: luasnya ialah (√3 / 4) × a² dan tinggi ialah (√3 / 2) × a.

Enter one number and the whole triangle follows.

Segitiga sama kaki mempunyai dua sisi yang sama dan dua sudut tapak yang sama. Mengetahui sisi dan tapak yang sama, atau tapak dan satu sudut, sudah cukup untuk menyelesaikannya. Luasnya, dengan kaki yang sama a dan tapak b, ialah (b/4) × √(4a² − b²).

Kedua-duanya adalah mod penyelesai yang sama, kalkulator menggunakan kekangan sisi yang sama dan memerlukan input yang kurang sebagai hasilnya.

Selesaikan segitiga dengan sisi 6, 8 dan 10

Ambil bekas SSS dengan sisi 6, 8 dan 10, yang ternyata menjadi segi tiga tepat. 1. Kenal pasti kes. Tiga sisi diketahui, jadi ini adalah SSS dan hukum kosinus mencari sudut. 2. Cari sudut terbesar dahulu. Sudut terbesar menghadap sisi terpanjang, 10.

Menggunakan hukum kosinus: `` cos(C) = (6² + 8² − 10²) / (2 × 6 × 8) = (36 + 64 − 100) / 96 = 0 / 96 = 0 `` cos(C) = 0 bermakna C = 90 darjah. Segitiga itu bersudut tegak, yang mana sisi 6-8-10, berskala 3-4-5, mengesahkan.

3. Find a second angle. `` cos(A) = (8² + 10² − 6²) / (2 × 8 × 10) = (64 + 100 − 36) / 160 = 128 / 160 = 0.8 `` A = 36.87 degrees.

4. Find the third by the angle sum. B = 180 − 90 − 36.87 = 53.13 darjah.

5. Cari luas dengan formula Heron. s = (6 + 8 + 10) / 2 = 12, jadi A = √(12 × 6 × 4 × 2) = √576 = 24.

Setiap langkah ditunjukkan oleh kalkulator, dan gambar rajah menandakan sudut tepat dengan segi empat sama supaya hasilnya kelihatan sepintas lalu.

Soalan lazim

Ringkasan

Kalkulator Segitiga menyelesaikan sebarang segi tiga daripada tiga ukuran yang diketahui, dengan syarat sekurang-kurangnya satu adalah sisi, dan mengembalikan setiap sisi dan sudut yang tinggal bersama-sama dengan luas, perimeter dan gambar rajah berlabel.

Ia mengesan kes, SSS, SAS, ASA, AAS atau SSA dan menggunakan hukum kosinus untuk sisi yang diketahui atau hukum sinus apabila sisi dan sudut bertentangannya digandingkan.

Ciri yang paling penting ialah pengendalian yang betul bagi kes SSA yang samar-samar, di mana dua sisi dan sudut tidak disertakan boleh menerangkan dua segi tiga yang sah: kalkulator mengembalikan kedua-duanya, dan bukannya jawapan tunggal yang diberikan oleh kebanyakan alat. Kawasan datang daripada tapak dan ketinggian, formula dua sisi dan sudut, atau formula Heron untuk tiga sisi yang diketahui, dan segi tiga sama sisi dan sama kaki menyelesaikan daripada input yang lebih sedikit berkat sisi yang sama.

Bina nota

• Contoh yang berfungsi ialah lekapan ujian: SSS 6-8-10 → sudut tepat pada C, sudut 90/53.13/36.87, luas 24.
• Kes samar-samar SSA ialah ciri ketepatan tajuk. Enjin mesti mengembalikan KEDUA-DUA segi tiga apabila dua wujud (lekapan: a=7, b=10, A=30°), benderakan konfigurasi mustahil (a=2, b=10, A=30°), dan mengesahkan keunikan sebaliknya. Setiap 01-ENGINE-SPEC.md §1.
• Kes yang dikesan dan teorem yang digunakan pada setiap langkah adalah output enjin yang diberikan dalam kad kes, tidak ditulis ke dalam halaman.
• Triangle-inequality violations (1,2,5) are blocked with an explanation.
• Angka itu menandakan sudut tepat dengan segi empat sama, sisi yang sama dengan tanda kutu, dan melabelkan setiap ukuran dengan nilai penyelesaiannya.
• Contoh kerja bangau (6-8-10 → 24) ialah lekapan.
• Mod yang diserap: hukum sinus, hukum kosinus, sama sisi, isosceles, masing-masing dipaparkan dengan contoh kerja mereka sendiri dan tidak boleh menduplikasi halaman kendiri yang mereka gantikan.
• Semua formula daripada data/geometry-reference.json → triangle, tiada kod keras.
• Word count 2,050.