Kalkulator Teorem Segitiga menyelesaikan segitiga daripada mana-mana tiga ukuran, sisi atau sudut yang diketahui, dengan menggunakan mana-mana teorem klasik yang sesuai dengan kombinasi yang diberikan: teorem jumlah sudut, hukum sinus atau hukum kosinus. Masukkan tiga nilai, dan alat mengenal pasti kes, menamakan teorem yang digunakan dan mengembalikan setiap baki sisi, sudut dan ukuran terbitan.
Geometri segi tiga terletak pada satu set kecil teorem yang, bersama-sama, boleh menyelesaikan sebarang segi tiga daripada tiga ukuran yang diketahui. Mengetahui teorem yang digunakan untuk gabungan yang diketahui adalah kemahiran sebenar; halaman ini menamakan teorem itu pada setiap langkah dan bukannya menyembunyikan kaedah di sebalik satu jawapan kotak hitam.
Gunakan teorem jumlah sudut
Setiap tiga sudut dalaman segitiga menambah sehingga tepat 180 darjah, tanpa mengira bentuk atau saiz segi tiga itu. Ini adalah yang paling mudah daripada tiga teorem dan yang paling cepat digunakan apabila dua sudut sudah diketahui.
A + B + C = 180°Contoh kerja: segitiga mempunyai sudut A = 50° dan B = 60°. Cari sudut C.
C = 180 − 50 − 60 = 70°.
Terapkan hukum sinus
Hukum sinus mengaitkan setiap sisi dengan sinus sudut bertentangannya, berguna apabila kedua-duanya diketahui sisi dan sudut bertentangannya.
a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)Teorem ini menyelesaikan kes ASA, AAS, dan SSA secara langsung. ASA dan AAS sentiasa memberikan satu jawapan apabila teorem jumlah sudut menemui sudut ketiga. SSA ialah kes samar-samar, yang boleh menghasilkan sifar, satu atau dua segi tiga yang sah bergantung pada nilai khusus yang terlibat.
Mengaplikasikan hukum kosinus
Hukum kosinus menyamaratakan teorem Pythagoras kepada mana-mana segi tiga, berguna apabila tiada pasangan sisi sudut tersedia untuk bermula dengan hukum sinus.
c² = a² + b² − 2ab·cos(C)Teorem ini menyelesaikan kes SSS (disusun semula untuk menyelesaikan setiap sudut) dan kes SAS (digunakan terus untuk mencari bahagian yang hilang). Setelah satu pasangan sudut sisi ditemui dengan cara ini, hukum sinus boleh menyelesaikan baki yang tidak diketahui dengan lebih langsung.
Kenal pasti teorem yang digunakan untuk kes anda
| Case | You know | Theorem |
|---|---|---|
| Two angles | mana-mana dua daripada tiga sudut | angle sum theorem |
| ASA / AAS | dua sudut dan satu sisi | law of sines |
| SSA | dua sisi dan sudut tidak termasuk | law of sines (ambiguous) |
| SSS | three sides | law of cosines |
| SAS | dua sisi dan sudut yang disertakan | law of cosines |
Mengenal pasti kes dengan betul sebelum memilih formula ialah langkah yang kebanyakan ralat buku teks langkau, kerana menggunakan teorem yang salah pada kombinasi yang diberikan sama ada gagal secara langsung atau, lebih teruk lagi, menghasilkan nombor yang kelihatan munasabah tetapi bukan segi tiga yang sebenarnya diterangkan.
Bekerja melalui contoh campuran penuh
Segitiga mempunyai sisi a = 7, b = 9, dan sudut C = 40° (sudut di antara mereka, kes SAS). 1. Gunakan hukum kosinus untuk mencari sisi c. c² = 7² + 9² − 2(7)(9)cos(40°) = 49 + 81 − 126 × 0.766 ≈ 130 − 96.5 ≈ 33.5.
2. Take the square root. c ≈ √33.5 ≈ 5.79.
3. Apply the law of sines to find angle A. sin(A) = a × sin(C) / c = 7 × sin(40°) / 5.79 ≈ 7 × 0.643 / 5.79 ≈ 0.777, jadi A ≈ 51.0°.
4. Apply the angle sum theorem to find angle B. B = 180 − 40 − 51.0 = 89.0°.
Urutan ini, hukum kosinus pertama, kemudian hukum sinus, kemudian teorem jumlah sudut, ialah laluan piawai melalui masalah SAS, dan ia menunjukkan ketiga-tiga teorem bekerja bersama pada satu segi tiga.
Fahami mengapa tiga ukuran cukup
Segitiga mempunyai enam ukuran secara keseluruhan: tiga sisi dan tiga sudut. Mengetahui mana-mana tiga daripadanya, selagi sekurang-kurangnya satu adalah sisi, membetulkan keseluruhan segitiga (dengan pengecualian tunggal kes SSA yang samar-samar). Tiga sudut sahaja tidak mencukupi, kerana tak terhingga banyak segi tiga berbentuk serupa dengan saiz berbeza berkongsi tiga sudut yang sama.
Soalan lazim
Apakah teorem segitiga utama yang digunakan untuk menyelesaikan segitiga?
Teorem jumlah sudut (semua sudut berjumlah 180°), hukum sinus (sisi di atas sinus sudut bertentangan adalah malar), dan hukum kosinus (pengertian teorem Pythagoras untuk sebarang segi tiga).
Bagaimana anda tahu teorem mana yang hendak digunakan?
Kenal pasti tiga ukuran yang diberikan. Dua sudut sahaja memerlukan teorem jumlah sudut sahaja. Pasangan sudut sisi dengan sudut atau sisi yang lain memerlukan hukum sinus. Tiga sisi, atau dua sisi dan sudut yang disertakan, memanggil hukum kosinus.
Bolehkah tiga sudut sahaja menyelesaikan segitiga?
Tidak. Tiga sudut menetapkan bentuk segi tiga tetapi bukan saiznya, kerana secara tak terhingga banyak segitiga serupa berkongsi tiga sudut yang sama. Sekurang-kurangnya satu panjang sisi diperlukan untuk menetapkan dimensi sebenar.
Apakah kes yang tidak jelas?
SSA (dua sisi dan sudut tidak termasuk) boleh menghasilkan sifar, satu atau dua segi tiga yang sah daripada tiga ukuran yang sama, kerana hukum langkah sinus songsang sinus boleh mengembalikan dua sudut sah yang berbeza.
Adakah teorem ini berfungsi untuk mana-mana segi tiga, bukan hanya segi tiga tepat?
ya. Hukum sinus dan hukum kosinus kedua-duanya terpakai kepada mana-mana segi tiga. Hukum kosinus secara khusus dikurangkan kepada teorem Pythagoras sebagai kes khas apabila sudut yang disertakan ialah 90°.
Apakah ukuran lain yang boleh didapati setelah segitiga diselesaikan?
Setelah semua enam ukuran utama (tiga sisi, tiga sudut) diketahui, luas, perimeter, tiga ketinggian, median, dan jejari bulatan yang digariskan dan dikelilingi semuanya boleh dikira daripadanya.
Adakah terdapat jalan pintas untuk segi tiga tepat secara khusus?
ya. Segitiga tegak mempunyai satu sudut tetap pada 90°, jadi teorem Pythagoras dan nisbah trigonometri asas menyelesaikannya dengan lebih langsung daripada hukum am sinus atau hukum kosinus, tanpa memerlukan set teorem penuh.
Ringkasan
Menyelesaikan sebarang segi tiga bergantung kepada memilih teorem yang betul untuk tiga ukuran yang diketahui: teorem jumlah sudut untuk dua sudut yang diketahui, hukum sinus untuk pasangan sisi sudut (ASA, AAS, atau SSA samar-samar), dan hukum kosinus untuk SSS atau SAS.
Contoh SAS bercampur dengan sisi 7 dan 9 dan sudut disertakan 40° berfungsi melalui ketiga-tiga teorem dalam urutan, mencari sisi ketiga kira-kira 5.79 dan baki dua sudut.