حاسبة نظريات المثلث

تقوم حاسبة نظريات المثلث بحل مثلث من أي ثلاثة قياسات أو أضلاع أو زوايا معروفة، من خلال تطبيق أي نظرية كلاسيكية تناسب المجموعة المحددة: نظرية مجموع الزوايا، أو قانون جيب التمام، أو قانون جيب التمام. أدخل ثلاث قيم، وستقوم الأداة بتعريف الحالة، وتسمية النظرية التي استخدمتها، وإرجاع كل جانب وزاوية وقياس مشتق متبقي.

تعتمد هندسة المثلثات على مجموعة صغيرة من النظريات التي يمكنها مجتمعة حل أي مثلث من خلال ثلاثة قياسات معروفة. معرفة النظرية التي تنطبق على أي مجموعة من المعارف هي المهارة الفعلية؛ تسمي هذه الصفحة هذه النظرية في كل خطوة بدلاً من إخفاء الطريقة خلف إجابة مربع أسود واحد.

تطبيق نظرية مجموع الزوايا

مجموع الزوايا الداخلية الثلاث لكل مثلث يصل إلى 180 درجة بالضبط، بغض النظر عن شكل المثلث أو حجمه. هذه هي أبسط النظريات الثلاثة وأسرعها في التطبيق عندما تكون زاويتان معروفتان بالفعل.

A + B + C = 180°

مثال عملي: المثلث له زوايا A = 50° وB = 60°. أوجد الزاوية C.

ج = 180 − 50 − 60 = 70°.

تطبيق قانون الجيب

قانون الجيب يربط كل ضلع بجيب الزاوية المقابلة له، وهو مفيد عندما يكون الضلع والزاوية المقابلة له معلومين.

a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)

هذه النظرية تحل حالات ASA وAAS وSSA مباشرة. يقدم ASA وAAS دائمًا إجابة واحدة بمجرد أن تجد نظرية مجموع الزوايا الزاوية الثالثة. SSA هي الحالة الغامضة، والتي يمكن أن تنتج صفرًا أو واحدًا أو مثلثين صالحين اعتمادًا على القيم المحددة المعنية.

تطبيق قانون جيب التمام

قانون جيب التمام يعمم نظرية فيثاغورس على أي مثلث، وهو مفيد عندما لا يتوفر زوج من أضلاع الزاوية للبدء بقانون الجيب.

c² = a² + b² − 2ab·cos(C)

تحل هذه النظرية حالة SSS (التي أعيد ترتيبها لحل كل زاوية) وحالة SAS (تُستخدم مباشرة للعثور على الجانب المفقود). بمجرد العثور على زوج من الزوايا الجانبية بهذه الطريقة، يمكن لقانون الجيب أن ينهي العناصر المجهولة المتبقية بشكل مباشر أكثر.

حدد النظرية التي تنطبق على حالتك

Case	You know	Theorem
Two angles	أي زاويتين من الزوايا الثلاث	angle sum theorem
ASA / AAS	زاويتان وضلع	law of sines
SSA	وجهان وزاوية غير متضمنة	law of sines (ambiguous)
SSS	three sides	law of cosines
SAS	الجانبين والزاوية المدرجة	law of cosines

إن تحديد الحالة بشكل صحيح قبل اختيار الصيغة هو الخطوة التي تتخطاها معظم الأخطاء في الكتب المدرسية، حيث أن تطبيق النظرية الخاطئة على مجموعة معينة إما يفشل تمامًا أو، الأسوأ من ذلك، ينتج رقمًا يبدو معقولاً ولكنه ليس المثلث الموصوف بالفعل.

العمل من خلال مثال مختلط كامل

المثلث له أضلاع أ = 7، ب = 9، وزاوية ج = 40 درجة (الزاوية بينهما، في حالة SAS). 1. طبّق قانون جيب التمام لإيجاد الضلع c. c² = 7² + 9² − 2(7)(9)cos(40°) = 49 + 81 − 126 × 0.766 ≈ 130 − 96.5 ≈ 33.5.

2. Take the square root. ج ≈ √33.5 ≈ 5.79.

3. Apply the law of sines to find angle A. الخطيئة(أ) = أ × الخطيئة(ج) / ج = 7 × الخطيئة(40°) / 5.79 ≈ 7 × 0.643 / 5.79 ≈ 0.777، إذن A ≈ 51.0°.

4. Apply the angle sum theorem to find angle B. ب = 180 − 40 − 51.0 = 89.0°.

هذا التسلسل، قانون جيب التمام أولاً، ثم قانون الجيب، ثم نظرية مجموع الزوايا، هو المسار القياسي من خلال مشكلة SAS، ويظهر أن النظريات الثلاثة تعمل معًا في مثلث واحد.

افهم لماذا تكفي ثلاثة قياسات

المثلث له ستة قياسات إجمالاً: ثلاثة جوانب وثلاث زوايا. إن معرفة أي ثلاثة منها، طالما أن واحدًا على الأقل هو ضلع، يؤدي إلى إصلاح المثلث بأكمله (باستثناء حالة SSA الغامضة). ثلاث زوايا وحدها لا تكفي، لأن عددًا لا نهائيًا من المثلثات المتشابهة الشكل ذات الأحجام المختلفة تشترك في نفس الزوايا الثلاث.

الأسئلة الشائعة

ملخص

حل أي مثلث يتلخص في اختيار النظرية الصحيحة للقياسات الثلاثة المعروفة: نظرية مجموع الزوايا لزاويتين معروفتين، وقانون جيب الجيب لزوج من أضلاع الزاوية (ASA، AAS، أو SSA الغامض)، وقانون جيب التمام لـ SSS أو SAS.

مثال SAS مختلط مع الجانبين 7 و 9 وزاوية متضمنة 40 درجة يعمل من خلال النظريات الثلاثة بالتسلسل، ويجد ضلعًا ثالثًا يبلغ حوالي 5.79 والزاويتين المتبقيتين.

الآلات الحاسبة ذات الصلة

حاسبة المثلث · قانون المثلث حاسبة الجيب · قانون المثلث حاسبة جيب التمام