حاسبة المثلث

تقوم حاسبة المثلث بحل المثلث من أي ثلاثة من قياساته الستة، وأضلاعه الثلاثة وزواياه الثلاثة، وتعيد القيم المتبقية، والمساحة، والمحيط، والرسم التخطيطي المسمى المرسوم للأبعاد المدخلة. فهو يسمي الحالة التي اكتشفها، ويوضح النظرية التي حلت كل خطوة، ويتعامل مع الحالة الغامضة حيث يتناسب مثلثان مختلفان مع نفس القياسات.

ثلاثة قياسات تثبت المثلث، مع استثناء واحد مهم مذكور أدناه. أدخل ما تعرفه وستقوم الآلة الحاسبة بالعثور على الباقي، وإظهار العمل بحيث يمكن التحقق من النتيجة يدويًا.

حل مثلث من أي ثلاثة قياسات

للمثلث ستة قياسات: ثلاثة أطوال أضلاع وثلاث زوايا داخلية. معرفة ثلاثة منها، طالما أن واحدًا منها على الأقل هو أحد الأضلاع، يحدد المثلث بأكمله. ولهذا السبب فإن كل مسألة في المثلث تمنحك ثلاث معلومات بالضبط.

أدخل أي مجموعة صالحة: ثلاثة جوانب، وجهان وزاوية، أو زاويتان وضلع. تحدد الآلة الحاسبة المجموعة التي تحتوي عليها، وتختار الطريقة التي تناسبها، وتحل القياسات الثلاثة الأخرى. كما تقوم أيضًا بإرجاع المساحة والمحيط والارتفاعات الثلاثة والمتوسطات ونصف قطر الدوائر المنقوشة والمحددة.

يحمل كل قياس وحدته الخاصة، ويمكن إدخال الزوايا بالدرجات أو الراديان. يتم إعادة رسم الرسم التخطيطي ليطابق الأرقام، مع تسمية كل جانب وزاوية، بحيث يكون الشكل مرئيًا وليس مجردًا.

تحديد الحالة التي لديك

تعتمد الطريقة التي تحل المثلث على القياسات الثلاثة المعروفة. يسمي علماء الرياضيات هذه الحالات بنمط أضلاعها (S) وزواياها (A)، وتحديد الحالة هو الخطوة الأولى في كل حل.

Case	You know	Method
SSS	three sides	law of cosines
SAS	الجانبين والزاوية بينهما	law of cosines, then law of sines
ASA	زاويتين والضلع بينهما	angle sum, then law of sines
AAS	زاويتان وضلع ليس بينهما	angle sum, then law of sines
SSA	ضلعين وزاوية ليست بينهما	قانون الجيوب، حالة غامضة

تسجل الحروف ترتيب القياسات حول المثلث. SAS تعني أن الزاوية المعلومة تقع *بين* الضلعين المعلومين؛ SSA يعني أنه ليس كذلك. وهذا الاختلاف مهم أكثر مما يبدو، لأن SSA هي الحالة الوحيدة التي يمكن أن يكون لها إجابتان.

تكتشف الآلة الحاسبة الحالة تلقائيًا وتسميها، وبالتالي فإن الطريقة لا يمكن تخمينها أبدًا.

حل مع قانون الجيب

قانون الجيب يربط كل ضلع بجيب الزاوية المقابلة له، وهو يحل الحالات التي يكون فيها الضلع والزاوية المقابلة له معلومين، ASA، AAS، وSSA.

a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)

كل ضلع مقسومًا على جيب الزاوية المقابلة له يعطي نفس النسبة. لذا فإن معرفة أحد الأضلاع والزاوية المقابلة له تحدد النسبة للمثلث بأكمله، وأي زاوية أخرى معروفة تعطي الضلع المقابل لها.

بالنسبة لمثلث ASA أو AAS، تأتي الزاوية الثالثة أولًا من مجموع الزوايا، ويبلغ مجموع الزوايا الداخلية الثلاث 180 درجة، ثم يجد قانون الجيب الضلعين المجهولين. الطريقة مباشرة وتعطي إجابة واحدة.

حل مع قانون جيب التمام

قانون جيب التمام يعمم نظرية فيثاغورس على أي مثلث، ويحل الحالات التي لا يمكن أن يبدأ فيها قانون الجيب: SSS وSAS.

c² = a² + b² − 2ab·cos(C)

عندما تكون الجوانب الثلاثة معروفة (SSS)، يتم إعادة ترتيب الصيغة للعثور على كل زاوية:

cos(C) = (a² + b² − c²) / 2ab

عندما نعرف الضلعين والزاوية المحصورة بينهما (SAS)، فإن الصيغة تجد الضلع الثالث مباشرة، وبعد ذلك ينهي قانون الجيب الزوايا. لاحظ أنه عندما تكون الزاوية C 90 درجة، ويكون cos(C) صفرًا وتنهار الصيغة إلى a² + b² = c²، فإن قانون جيب التمام يحتوي على نظرية فيثاغورس كحالة خاصة للزاوية القائمة.

التعامل مع قضية SSA الغامضة

SSA هي الحالة التي تتعثر فيها كل من الطلاب والآلات الحاسبة، وهي حيث تقوم حاسبة المثلث بشيء لا يفعله معظم المنافسين: فهي تُرجع كل مثلث صالح، وليس فقط المثلث الأول الذي تجده.

عندما تعرف ضلعين وزاوية ليست بينهما، يمكن تلبية القيود عن طريق مثلثين مختلفين، أو مثلث واحد، أو لا شيء على الإطلاق.

والسبب هندسي: الجانب المعروف يتأرجح مثل المفصلة، ​​وعلى حسب طوله يمكن أن يلتقي بخط الأساس المقابل عند نقطتين أو نقطة واحدة، أو لا يصل إليه.

لنفترض ضلعين وزاوية غير محصورة بينهما، حيث يكون الضلع المقابل للزاوية المعلومة أقصر من الضلع المعلوم الآخر ولكنه طويل بما يكفي للوصول إلى القاعدة. يغلق مثلثان هذه الفجوة، أحدهما تكون فيه الزاوية الثالثة حادة، والآخر تكون فيه الزاوية منفرجة. كلاهما صالح. الآلة الحاسبة التي تقدم إجابة واحدة فقط تعطي نصف الإجابة، والطالب الذي كتب إجابة واحدة فقط في الاختبار سيفقد العلامات.

تتحقق حاسبة المثلث من ذلك. عند وجود مثلثين، فإنه يرسم كليهما ويدرج مجموعتي القياسات جنبًا إلى جنب. عندما يكون التكوين مستحيلاً، يكون الجانب المتأرجح قصيرًا جدًا بحيث لا يمكن الوصول إليه، فهو يقول ذلك بوضوح بدلاً من إرجاع رقم خاطئ. عندما تكون الإجابة فريدة، فهذا يؤكد السبب.

هذا هو الشيء الوحيد الأكثر فائدة الذي تفعله الآلة الحاسبة، لأن الحالة الغامضة هي بالضبط المكان الذي تسوء فيه مسائل المثلث.

احسب مساحة المثلث

يمكن العثور على مساحة المثلث بثلاث طرق، وتختار الآلة الحاسبة ما تسمح به القياسات المعروفة. من القاعدة وارتفاعها: `` A = ½ × base × height ``

من الجانبين والزاوية المحصورة (SAS): `` A = ½ × a × b × sin(C) ``

من الجوانب الثلاثة، باستخدام صيغة هيرون (SSS): `` A = √(s(s − a)(s − b)(s − c)), where s = (a + b + c) / 2 ``

صيغة هيرون هي التي يجب الوصول إليها عندما تكون الجوانب معروفة فقط ولا يتم تحديد الارتفاع. المصطلح s هو نصف المحيط، أي نصف مجموع الجوانب. في المثلث الذي أضلاعه 6 و8 و10، نصف المحيط هو 12، ومساحته √(12 × 6 × 4 × 2) = √576 = 24.

حل المثلثات متساوية الأضلاع ومتساوية الساقين

المثلثات متساوية الأضلاع ومتساوية الساقين هي حالات خاصة تحلها الآلة الحاسبة من خلال مدخلات أقل، لأن أضلاعها المتساوية توفر المعلومات المفقودة. المثلث متساوي الأضلاع له ثلاثة أضلاع متساوية وثلاث زوايا قياسها 60 درجة. طول ضلع واحد يصلح كل شيء: المساحة هي (√3 / 4) × a² والارتفاع هو (√3 / 2) × a.

Enter one number and the whole triangle follows.

المثلث متساوي الساقين له ضلعان متساويان وزاويتان متساويتان للقاعدة. ومعرفة الضلع المتساوي والقاعدة، أو القاعدة وزاوية واحدة، تكفي لحلها. مساحته، ذات الأرجل المتساوية a والقاعدة b، هي (b/4) × √(4a² − b²).

كلاهما وضعان لنفس الحل، وتطبق الآلة الحاسبة قيد الجانب المتساوي وتحتاج إلى مدخلات أقل نتيجة لذلك.

حل المثلث الذي أضلاعه 6 و8 و10

خذ حالة SSS ذات الأضلاع 6 و8 و10، والتي تبين أنها مثلث قائم الزاوية. 1. حدد الحالة. هناك ثلاثة جوانب معروفة، لذلك هذا هو SSS وقانون جيب التمام يجد الزوايا. 2. أوجد الزاوية الأكبر أولًا. الزاوية الأكبر تواجه الضلع الأطول، 10.

باستخدام قانون جيب التمام: `` cos(C) = (6² + 8² − 10²) / (2 × 6 × 8) = (36 + 64 − 100) / 96 = 0 / 96 = 0 `` cos(C) = 0 يعني C = 90 درجة. المثلث قائم الزاوية، وهو ما تؤكده الأضلاع 6-8-10 بمقياس 3-4-5.

3. Find a second angle. `` cos(A) = (8² + 10² − 6²) / (2 × 8 × 10) = (64 + 100 − 36) / 160 = 128 / 160 = 0.8 `` A = 36.87 degrees.

4. Find the third by the angle sum. ب = 180 − 90 − 36.87 = 53.13 درجة.

5. أوجد المنطقة باستخدام صيغة هيرون. s = (6 + 8 + 10) / 2 = 12، لذا A = √(12 × 6 × 4 × 2) = √576 = 24.

يتم عرض كل خطوة بواسطة الآلة الحاسبة، ويحدد الرسم التخطيطي الزاوية اليمنى بمربع بحيث تكون النتيجة مرئية في لمحة.

الأسئلة الشائعة

ملخص

تقوم حاسبة المثلث بحل أي مثلث من ثلاثة قياسات معروفة، بشرط أن يكون أحد الأضلاع واحدًا على الأقل، وتقوم بإرجاع كل جانب وزاوية متبقية بالإضافة إلى المساحة والمحيط والرسم التخطيطي المسمى.

يكتشف الحالة، SSS، SAS، ASA، AAS أو SSA، ويطبق قانون جيب التمام للأضلاع المعروفة أو قانون الجيب عندما يتم إقران الجانب والزاوية المقابلة له.

الميزة الأكثر أهمية هي التعامل الصحيح مع حالة SSA الغامضة، حيث يمكن لجانبين وزاوية غير متضمنة وصف مثلثين صالحين: تقوم الآلة الحاسبة بإرجاع كليهما، بدلاً من الإجابة الفردية التي تقدمها معظم الأدوات. تأتي المساحات من القاعدة والارتفاع، أو صيغة الجانبين والزاوية، أو صيغة هيرون لثلاثة جوانب معروفة، ويتم حل المثلثات متساوية الأضلاع ومتساوية الساقين من مدخلات أقل بفضل جوانبها المتساوية.

الآلات الحاسبة ذات الصلة

حاسبة المثلث القائم · حاسبة نظرية فيثاغورس · حاسبة المضلع · حاسبة شبه المنحرف

بناء الملاحظات

• المثال العملي هو أداة اختبار: SSS 6-8-10 → الزاوية القائمة عند C، الزوايا 90/53.13/36.87، المساحة 24.
• حالة SSA الغامضة هي ميزة صحة العنوان. يجب أن يقوم المحرك بإرجاع كلا المثلثين عند وجود اثنين (التركيب: a=7، b=10، A=30°)، ووضع علامة على التكوينات المستحيلة (a=2، b=10، A=30°)، وتأكيد التفرد بخلاف ذلك. لكل 01-ENGINE-SPEC.md §1.
• الحالة المكتشفة والنظرية المستخدمة في كل خطوة هي مخرجات المحرك المقدمة في بطاقة الحالة، وليست مكتوبة في الصفحة.
• Triangle-inequality violations (1,2,5) are blocked with an explanation.
• يحدد الشكل الزوايا القائمة بمربع، والأضلاع المتساوية بعلامات التجزئة، ويسمي كل قياس بقيمته التي تم حلها.
• مثال عمل هيرون (6-8-10 → 24) هو لاعبا أساسيا.
• الأوضاع المستوعبة: قانون الجيب، وقانون جيب التمام، ومتساوي الأضلاع، ومتساوي الساقين، يتم عرض كل منها بمثال عملي خاص بها ويجب ألا يكرر الصفحات المستقلة التي تم استبدالها.
• جميع الصيغ من data/geometry-reference.json → المثلث، لا توجد ترميز ثابت.
• Word count 2,050.