三角形計算機

三角形計算機は、6 つの測定値のいずれか 3 つ、3 つの辺と 3 つの角度から三角形を解き、残りの値、面積、周囲長、および入力された寸法に描画されたラベル付きの図を返します。検出したケースに名前を付け、どの定理が各ステップを解決したかを示し、2 つの異なる三角形が同じ測定値に適合するあいまいなケースを処理します。

3 つの測定により三角形が修正されますが、1 つの重要な例外は以下で説明します。わかっていることを入力すると、電卓が残りを見つけて動作を表示するため、結果を手動で確認できます。

任意の 3 つの測定値から三角形を解きます

三角形には、3 つの辺の長さと 3 つの内角の 6 つの寸法があります。そのうち 3 つを知っていれば、少なくとも 1 つが辺である限り、三角形全体が決まります。すべての三角形の問題で正確に 3 つの情報が得られるのはこのためです。

有効な組み合わせ (3 つの側面、2 つの側面と 1 つの角度、または 2 つの角度と 1 つの側面) を入力します。計算機は、どの組み合わせがあるかを特定し、適合する方法を選択し、他の 3 つの測定値を解きます。また、内接円と外接円の面積、周囲長、3 つの高さ、中央値、半径も返します。

各測定値には独自の単位があり、角度は度またはラジアンで入力できます。図は数値に一致するように再描画され、すべての側面と角度にラベルが付けられるため、形状が抽象的ではなく視覚的にわかります。

どのケースに該当するかを特定する

どの方法で三角形を解くかは、どの 3 つの測定値がわかっているかによって決まります。数学者はこれらのケースを辺 (S) と角度 (A) のパターンによって名前付けしており、ケースを特定することがあらゆる解決策の最初のステップとなります。

Case	You know	Method
SSS	three sides	law of cosines
SAS	2 つの辺とそれらの間の角度	余弦の法則、次に正弦の法則
ASA	2 つの角とそれらの間の辺	角度の和、そして正弦の法則
AAS	2 つの角とそれらの間にない辺	角度の和、そして正弦の法則
SSA	2 つの辺とその間にない角度	サインの法則、曖昧なケース

文字は、三角形の周囲の測定値の順序を記録します。 SAS は、既知の角度が既知の 2 つの側面の間であることを意味します。 SSA はそうではないことを意味します。 SSA は 2 つの答えが得られるケースの 1 つであるため、この違いは見た目よりも重要です。

計算機はケースを自動的に検出して名前を付けるため、この方法は決して推測ではありません。

正弦の法則で解く

正弦の法則は、各辺をその反対角の正弦に関連付け、辺とその反対角の両方が既知である ASA、AAS、SSA の場合を解決します。

a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)

各辺をそれに面する角度の正弦で割ると、同じ比率になります。したがって、一方の辺とその反対側の角度がわかれば、三角形全体の比率が設定され、その他の既知の角度があれば、その反対側の辺が得られます。

ASA または AAS 三角形の場合、最初に 3 番目の角度が角度の合計から求められ、3 つの内角すべての合計が 180 度になり、次に正弦の法則により 2 つの未知の辺が見つかります。この方法は直接的であり、答えは 1 つだけです。

余弦の法則で解く

余弦の法則は、ピタゴラスの定理を任意の三角形に一般化し、正弦の法則を開始できないケース (SSS および SAS) を解決します。

c² = a² + b² − 2ab·cos(C)

3 つの辺がすべてわかっている場合 (SSS)、公式は再配置されて各角度が求められます。

cos(C) = (a² + b² − c²) / 2ab

2 つの辺と夾角がわかっている場合 (SAS)、公式は 3 番目の辺を直接見つけ、その後、正弦の法則によって角度が終了します。角度 C が 90 度、cos(C) がゼロで、式が a² + b² = c² になる場合、余弦の法則には直角の特殊な場合としてピタゴラスの定理が含まれることに注意してください。

あいまいな SSA ケースを処理する

SSA は学生と電卓の両方につまずくケースであり、Triangle Calculator がほとんどの競合他社がやっていないことを行う場合です。つまり、最初に見つかった三角形だけでなく、すべての有効な三角形を返します。

2 つの辺と、その間にない角度がわかっている場合、2 つの異なる三角形、1 つの三角形、またはまったく満たさないによって制約を満たすことができます。

その理由は幾何学的なものです。既知の側面はヒンジのようにスイングし、その長さに応じて、反対側のベースラインと 2 点または 1 点で交わるか、または到達しない可能性があります。

2 つの辺と、既知の角度の反対側の辺が他の既知の辺よりも短いが、底面に達するのに十分な長さを含む角度を考慮します。 2 つの三角形がそのギャップを埋めます。1 つは 3 番目の角が鋭角で、もう 1 つは鈍角です。どちらも有効です。 1 つだけを報告する計算機は半分の答えを与えていることになり、試験で 1 つだけを書いた学生は減点されてしまいます。

Triangle Calculator はこれをチェックします。 2 つの三角形が存在する場合、両方を描画し、両方の測定値セットを並べてリストします。構成が不可能な場合、スイング側が短すぎて届かない場合は、間違った番号を返す代わりに、その旨を明確に表示します。答えが一意である場合、その理由が裏付けられます。

これは、電卓が行う唯一の最も便利な機能です。なぜなら、あいまいなケースはまさに三角形の問題が間違っている場合だからです。

三角形の面積を計算する

三角形の面積は 3 つの方法で求めることができ、計算機は既知の測定値が許可する方を選択します。 底辺とその高さから: `` A = ½ × base × height ``

2 つの側面と夾角 (SAS) から: `` A = ½ × a × b × sin(C) ``

3 つの側面すべてから、ヘロンの公式 (SSS) を使用して次のようにします。 `` A = √(s(s − a)(s − b)(s − c)), where s = (a + b + c) / 2 ``

ヘロンの公式は、側面のみがわかっていて高さが指定されていない場合に到達する公式です。 「s」という用語は半周長であり、辺の合計の半分です。辺が 6、8、10 の三角形の場合、半周長は 12 で、面積は √(12 × 6 × 4 × 2) = √576 = 24 となります。

正三角形と二等辺三角形を解く

正三角形と二等辺三角形は、等しい辺が欠落している情報を提供するため、電卓がより少ない入力から解決する特殊なケースです。 正三角形には、3 つの等しい辺と 3 つの 60 度の角度があります。 1辺の長さですべてが決まります。面積は「(√3 / 4) × a²」、高さは「(√3 / 2) × a」です。

Enter one number and the whole triangle follows.

二等辺三角形には、2 つの等しい辺と 2 つの等しい底角があります。等しい辺と底辺、または底辺と1つの角度がわかれば十分に解けます。脚部 a と底部 b が等しい場合の面積は、(b/4) × √(4a² − b²) です。

どちらも同じソルバーのモードであり、計算機は等辺制約を適用するため、結果として必要な入力が少なくなります。

辺が 6、8、10 の三角形を解く

辺 6、8、10 を持つ SSS ケースを考えてみましょう。これは直角三角形であることがわかります。 1.場合を特定します。 3 つの辺がわかっているため、これは SSS であり、余弦の法則によって角度が求められます。 2.最初に最大の角度を見つけます。 最大の角度は最長の辺 10 に面します。

余弦の法則を使用すると、次のようになります。 `` cos(C) = (6² + 8² − 10²) / (2 × 6 × 8) = (36 + 64 − 100) / 96 = 0 / 96 = 0 `` cos(C) = 0 は C = 90 度を意味します。三角形は直角であり、6-8-10 の辺、つまり 3-4-5 のスケールで確認できます。

3. Find a second angle. `` cos(A) = (8² + 10² − 6²) / (2 × 8 × 10) = (64 + 100 − 36) / 160 = 128 / 160 = 0.8 `` A = 36.87 degrees.

4. Find the third by the angle sum. B = 180 − 90 − 36.87 = 53.13 度。

5. ヘロンの公式で面積を求めます。 s = (6 + 8 + 10) / 2 = 12 なので、A = √(12 × 6 × 4 × 2) = √576 = 24 となります。

すべてのステップは計算機によって表示され、図には直角が正方形でマークされているため、結果が一目でわかります。

よくある質問

まとめ

Triangle Calculator は、少なくとも 1 つが辺である場合に限り、3 つの既知の測定値から任意の三角形を解き、面積、周長、およびラベル付きの図とともに残りのすべての辺と角度を返します。

SSS、SAS、ASA、AAS、SSA の場合を検出し、既知の辺には余弦の法則を適用するか、辺とその反対角がペアになっている場合には正弦の法則を適用します。

その最も重要な機能は、あいまいな SSA ケースを正しく処理することです。このケースでは、2 つの辺と含まれない角で 2 つの有効な三角形を記述することができます。計算機は、ほとんどのツールが与える単一の答えではなく、両方を返します。面積は底辺と高さ、2 辺と角度の公式、または既知の 3 つの辺に対する Heron の公式から得られ、正三角形と二等辺三角形は辺が等しいため、より少ない入力で解決されます。

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ビルドメモ

• 動作例はテスト治具です: SSS 6-8-10 → C で直角、角度 90/53.13/36.87、エリア 24。
• SSA のあいまいなケースは、見出しの正確性機能です。 エンジンは、三角形が 2 つ存在する場合 (フィクスチャ: a=7、b=10、A=30°)、両方の三角形を返し、不可能な構成 (a=2、b=10、A=30°) にフラグを立て、それ以外の場合は一意性を確認する必要があります。 「01-ENGINE-SPEC.md §1」による。
• 検出されたケースと各ステップで使用される定理は、ケース カードにレンダリングされるエンジン出力であり、ページには書き込まれません。
• Triangle-inequality violations (1,2,5) are blocked with an explanation.
• この図では、直角を正方形でマークし、等しい辺を目盛りでマークし、すべての測定値にその解決された値のラベルを付けます。
• ヘロンの活躍例（6-8-10→24）は定着です。
• 吸収されるモード: サインの法則、コサインの法則、等辺、二等辺、それぞれが独自の動作例でレンダリングされ、置き換えられたスタンドアロン ページを複製してはなりません。
• 「data/geometry-reference.json →トライアングル」からのすべての数式はハードコードされていません。
• Word count 2,050.