Der Dreiecksrechner berechnet ein Dreieck aus drei beliebigen seiner sechs Maße, seinen drei Seiten und drei Winkeln und gibt die restlichen Werte, die Fläche, den Umfang und ein beschriftetes Diagramm zurück, das auf die eingegebenen Maße gezeichnet wird. Es benennt den erkannten Fall, zeigt an, welches Theorem jeden Schritt gelöst hat, und behandelt den mehrdeutigen Fall, in dem zwei verschiedene Dreiecke zu denselben Messungen passen.
Drei Messungen fixieren ein Dreieck, mit einer wichtigen Ausnahme, die weiter unten behandelt wird. Geben Sie ein, was Sie wissen, und der Rechner ermittelt den Rest und zeigt die Funktionsweise an, sodass das Ergebnis manuell überprüft werden kann.
Lösen Sie ein Dreieck aus drei beliebigen Maßen
Ein Dreieck hat sechs Maße: drei Seitenlängen und drei Innenwinkel. Wenn man drei davon kennt und mindestens eine davon eine Seite ist, bestimmt man das gesamte Dreieck. Deshalb liefert Ihnen jedes Dreiecksproblem genau drei Informationen.
Geben Sie eine beliebige gültige Kombination ein: drei Seiten, zwei Seiten und ein Winkel oder zwei Winkel und eine Seite. Der Rechner ermittelt, welche Kombination vorhanden ist, wählt die passende Methode aus und löst die Berechnung nach den anderen drei Messungen auf. Außerdem werden die Fläche, der Umfang, die drei Höhen, die Mittelwerte und die Radien der ein- und umschriebenen Kreise zurückgegeben.
Jede Messung verfügt über eine eigene Einheit und Winkel können in Grad oder Bogenmaß eingegeben werden. Das Diagramm wird entsprechend den Zahlen neu gezeichnet, wobei jede Seite und jeder Winkel beschriftet ist, sodass die Form sichtbar und nicht abstrakt ist.
Identifizieren Sie, um welchen Fall es sich handelt
Welche Methode ein Dreieck löst, hängt davon ab, welche drei Messungen bekannt sind. Mathematiker benennen diese Fälle nach ihrem Muster aus Seiten (S) und Winkeln (A), und die Identifizierung des Falles ist der erste Schritt jeder Lösung.
| Case | You know | Method |
|---|---|---|
| SSS | three sides | law of cosines |
| SAS | zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen | law of cosines, then law of sines |
| ASA | zwei Winkel und die Seite dazwischen | angle sum, then law of sines |
| AAS | zwei Winkel und eine Seite, die nicht dazwischen liegt | angle sum, then law of sines |
| SSA | zwei Seiten und ein Winkel nicht zwischen ihnen | Sinusgesetz, der mehrdeutige Fall |
Die Buchstaben geben die Reihenfolge an, in der die Maße im Dreieck angeordnet sind. SAS bedeutet, dass der bekannte Winkel *zwischen* den beiden bekannten Seiten liegt; SSA bedeutet, dass dies nicht der Fall ist. Dieser Unterschied ist wichtiger, als er aussieht, denn SSA ist der einzige Fall, der zwei Antworten haben kann.
Der Rechner erkennt den Fall automatisch und benennt ihn, sodass es sich bei der Methode nie um eine Schätzung handelt.
Lösen Sie mit dem Sinusgesetz
Das Sinusgesetz setzt jede Seite mit dem Sinus ihres Gegenwinkels in Beziehung und löst die Fälle, in denen sowohl eine Seite als auch ihr Gegenwinkel bekannt sind: ASA, AAS und SSA.
a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)Jede Seite geteilt durch den Sinus des ihr zugewandten Winkels ergibt das gleiche Verhältnis. Wenn man also eine Seite und ihren Gegenwinkel kennt, bestimmt man das Verhältnis für das gesamte Dreieck, und jeder andere bekannte Winkel ergibt dann die Gegenseite.
Für ein ASA- oder AAS-Dreieck ergibt sich der dritte Winkel zunächst aus der Winkelsumme, alle drei Innenwinkel ergeben zusammen 180 Grad, und dann ermittelt das Sinusgesetz die beiden unbekannten Seiten. Die Methode ist direkt und liefert eine einzige Antwort.
Lösen Sie mit dem Kosinusgesetz
Das Kosinusgesetz verallgemeinert den Satz des Pythagoras auf jedes Dreieck und löst die Fälle, in denen das Sinusgesetz nicht beginnen kann: SSS und SAS.
c² = a² + b² − 2ab·cos(C)Wenn alle drei Seiten bekannt sind (SSS), wird die Formel neu angeordnet, um jeden Winkel zu ermitteln:
cos(C) = (a² + b² − c²) / 2abWenn zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel bekannt sind (SAS), findet die Formel direkt die dritte Seite, woraufhin das Sinusgesetz die Winkel vervollständigt. Beachten Sie, dass wenn der Winkel C 90 Grad beträgt, cos(C) Null ist und die Formel zu a² + b² = c² zusammenfällt, das Kosinusgesetz den Satz des Pythagoras als rechtwinkligen Sonderfall enthält.
Behandeln Sie den unklaren SSA-Fall
SSA ist der Fall, der sowohl Schüler als auch Taschenrechner aus der Fassung bringt, und hier macht der Dreiecksrechner etwas, was die meisten Konkurrenten nicht tun: Er gibt jedes gültige Dreieck zurück, nicht nur das erste, das er findet.
Wenn Sie zwei Seiten und einen Winkel kennen, der nicht zwischen ihnen liegt, können die Einschränkungen durch zwei verschiedene Dreiecke, ein Dreieck oder gar keines erfüllt werden.
Der Grund ist geometrisch: Die bekannte Seite schwingt wie ein Scharnier und kann je nach Länge an zwei Punkten, an einem Punkt, auf die gegenüberliegende Grundlinie treffen oder diese nicht erreichen.
Betrachten Sie zwei Seiten und einen nicht eingeschlossenen Winkel, wobei die dem bekannten Winkel gegenüberliegende Seite kürzer als die andere bekannte Seite, aber lang genug ist, um die Basis zu erreichen. Zwei Dreiecke schließen diese Lücke, eines, bei dem der dritte Winkel spitz ist, und eines, bei dem er stumpf ist. Beides ist gültig. Ein Taschenrechner, der nur eine Antwort ausgibt, liefert die Hälfte der Antwort, und ein Student, der in einer Prüfung nur eine Antwort geschrieben hat, würde Punkte verlieren.
Der Dreiecksrechner prüft dies. Wenn zwei Dreiecke vorhanden sind, werden beide gezeichnet und beide Maßsätze nebeneinander aufgelistet. Wenn die Konfiguration unmöglich ist, die schwingende Seite zu kurz ist, um sie zu erreichen, wird dies deutlich angezeigt, anstatt eine falsche Zahl zurückzugeben. Wenn die Antwort eindeutig ist, bestätigt sie, warum.
Dies ist die nützlichste Funktion des Rechners, da der mehrdeutige Fall genau der Punkt ist, an dem Dreiecksprobleme schiefgehen.
Berechnen Sie die Fläche eines Dreiecks
Die Fläche eines Dreiecks kann auf drei Arten ermittelt werden, und der Rechner wählt diejenige aus, die die bekannten Maße zulassen. Von einer Basis und ihrer Höhe: `` A = ½ × base × height ``
Von zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (SAS): `` A = ½ × a × b × sin(C) ``
Von allen drei Seiten, unter Verwendung der Heron-Formel (SSS): `` A = √(s(s − a)(s − b)(s − c)), where s = (a + b + c) / 2 ``
Die Formel von Heron ist diejenige, nach der man greifen sollte, wenn nur die Seiten bekannt sind und keine Höhe angegeben ist. Der Begriff „s“ ist der Halbumfang, also die halbe Summe der Seiten. Für ein Dreieck mit den Seiten 6, 8 und 10 beträgt der Halbumfang 12 und die Fläche ergibt sich zu √(12 × 6 × 4 × 2) = √576 = 24.
Lösen Sie gleichseitige und gleichschenklige Dreiecke
Gleichseitige und gleichschenklige Dreiecke sind Sonderfälle, die der Rechner mit weniger Eingaben löst, da ihre gleichen Seiten die fehlenden Informationen liefern. Ein gleichseitiges Dreieck hat drei gleiche Seiten und drei 60-Grad-Winkel. Eine einzelne Seitenlänge legt alles fest: Die Fläche ist „(√3 / 4) × a²“ und die Höhe ist „(√3 / 2) × a“.
Enter one number and the whole triangle follows.
Ein gleichschenkliges Dreieck hat zwei gleiche Seiten und zwei gleiche Grundwinkel. Um das Problem zu lösen, reicht es aus, die gleiche Seite und die Basis oder die Basis und einen Winkel zu kennen. Seine Fläche mit gleichen Beinen „a“ und gleicher Basis „b“ beträgt „(b/4) × √(4a² − b²)“.
Bei beiden handelt es sich um Modi desselben Lösers. Der Rechner wendet die gleichseitige Einschränkung an und benötigt daher weniger Eingaben.
Lösen Sie ein Dreieck mit den Seiten 6, 8 und 10
Nehmen Sie den SSS-Fall mit den Seiten 6, 8 und 10, der sich als rechtwinkliges Dreieck herausstellt. 1. Identifizieren Sie den Fall. Drei Seiten sind bekannt, das ist also SSS und das Kosinusgesetz bestimmt die Winkel. 2. Finden Sie zuerst den größten Winkel. Der größte Winkel zeigt zur längsten Seite, 10.
Verwendung des Kosinusgesetzes: `` cos(C) = (6² + 8² − 10²) / (2 × 6 × 8) = (36 + 64 − 100) / 96 = 0 / 96 = 0 `` cos(C) = 0 bedeutet C = 90 Grad. Das Dreieck ist rechtwinklig, was die Seiten 6-8-10, eine Skalierung 3-4-5, bestätigen.
3. Find a second angle. `` cos(A) = (8² + 10² − 6²) / (2 × 8 × 10) = (64 + 100 − 36) / 160 = 128 / 160 = 0.8 `` A = 36.87 degrees.
4. Find the third by the angle sum. B = 180 − 90 − 36,87 = 53,13 Grad.
5. Finden Sie den Bereich mit der Heron-Formel. s = (6 + 8 + 10) / 2 = 12, also A = √(12 × 6 × 4 × 2) = √576 = 24.
Jeder Schritt wird vom Rechner angezeigt und das Diagramm markiert den rechten Winkel mit einem Quadrat, sodass das Ergebnis auf einen Blick sichtbar ist.
Häufig gestellte Fragen
Wie löse ich ein Dreieck?
Um ein Dreieck zu lösen, geben Sie drei beliebige seiner sechs Maße, einschließlich mindestens einer Seite, in den Dreiecksrechner ein. Der Rechner identifiziert den Fall, SSS, SAS, ASA, AAS oder SSA, wählt entsprechend das Sinus- oder Kosinusgesetz und gibt die verbleibenden Seiten und Winkel, die Fläche und den Umfang zurück, wobei jeder Schritt angezeigt wird.
Was ist der mehrdeutige SSA-Fall?
Der SSA-Mehrdeutigkeitsfall entsteht, wenn zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel durch zwei verschiedene Dreiecke erfüllt werden können. Die dem bekannten Winkel gegenüberliegende Seite kann schwenken, um an zwei Punkten auf die Basis zu treffen, was eine spitze und eine stumpfe Lösung ergibt. Der Dreiecksrechner gibt beide gültigen Dreiecke zurück oder gibt deutlich an, wenn die Konfiguration nur eines oder keines zulässt.
Wann verwende ich das Sinusgesetz gegenüber dem Kosinusgesetz?
Verwenden Sie das Sinusgesetz, wenn sowohl eine Seite als auch der entgegengesetzte Winkel bekannt sind. Dies deckt die Fälle ASA, AAS und SSA ab. Verwenden Sie das Kosinusgesetz, wenn dies nicht der Fall ist, den SSS-Fall, bei dem drei Seiten bekannt sind, und den SAS-Fall, bei dem zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen bekannt sind. Der Rechner wählt automatisch das richtige Gesetz aus.
Wie finde ich die Fläche eines Dreiecks ohne die Höhe?
Wenn die Höhe unbekannt ist, verwenden Sie die Formel von Heron, die die Fläche allein aus den drei Seitenlängen ermittelt: A = √(s(s−a)(s−b)(s−c)), wobei s der halbe Umfang ist. Wenn stattdessen zwei Seiten und ihr eingeschlossener Winkel bekannt sind, beträgt die Fläche ½ × a × b × sin(C). Der Dreiecksrechner wendet alles an, was die bekannten Messungen zulassen.
Können drei beliebige Messungen ein Dreieck lösen?
Fast. Alle drei Messungen, die mindestens eine Seite umfassen, lösen ein Dreieck, da drei Winkel allein die Form, nicht aber die Größe festlegen und unendlich viele Dreiecke die gleichen Winkel haben. Die einzige Komplikation ist der SSA-Fall, bei dem drei gültige Messungen immer noch zwei verschiedene Dreiecke beschreiben können.
Warum hat ein Dreieck manchmal zwei gültige Antworten?
Ein Dreieck hat nur im SSA-Fall zwei gültige Antworten, wenn zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel bekannt sind. Die dem angegebenen Winkel gegenüberliegende Seite kann die Basis an zwei verschiedenen Punkten erreichen und so ein Dreieck mit einem spitzen Winkel und ein anderes mit einem stumpfen Winkel bilden. Beide erfüllen die Messungen, sind also korrekt.
Was ist Herons Formel?
Die Formel von Heron berechnet die Fläche eines Dreiecks aus seinen drei Seitenlängen, ohne dass die Höhe erforderlich ist. Es besagt, dass die Fläche gleich √(s(s−a)(s−b)(s−c)) ist, wobei a, b und c die Seiten und s der Halbumfang sind, (a+b+c)/2. Es ist die Standardmethode für den SSS-Fall und ist nach dem Helden von Alexandria benannt.
Ergeben die drei Winkel immer 180 Grad?
Ja. In jedem flachen oder euklidischen Dreieck summieren sich die drei Innenwinkel immer auf genau 180 Grad. Diese Tatsache ermöglicht es dem Rechner, sofort einen dritten Winkel zu finden, wenn zwei bekannt sind. Dies ist der erste Schritt zur Lösung der ASA- und AAS-Fälle. Die Regel gilt nicht für gekrümmte Flächen, Standard-Dreiecksprobleme gehen jedoch von einer flachen Ebene aus.
Zusammenfassung
Der Dreiecksrechner berechnet jedes Dreieck aus drei bekannten Maßen, sofern mindestens eines eine Seite ist, und gibt alle verbleibenden Seiten und Winkel zusammen mit der Fläche, dem Umfang und einem beschrifteten Diagramm zurück.
Es erkennt den Fall SSS, SAS, ASA, AAS oder SSA und wendet das Kosinusgesetz für bekannte Seiten oder das Sinusgesetz an, wenn eine Seite und ihr Gegenwinkel gepaart sind.
Sein wichtigstes Merkmal ist die korrekte Handhabung des mehrdeutigen SSA-Falls, bei dem zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel zwei gültige Dreiecke beschreiben können: Der Rechner gibt beide zurück und nicht die einzige Antwort, die die meisten Tools geben. Flächen ergeben sich aus Basis und Höhe, der Zwei-Seiten-und-Winkel-Formel oder der Heron-Formel für drei bekannte Seiten, und gleichseitige und gleichschenklige Dreiecke lassen sich dank ihrer gleichen Seiten mit weniger Eingaben lösen.
Notizen erstellen
- Ausgearbeitetes Beispiel ist eine Testvorrichtung: SSS 6-8-10 → rechter Winkel bei C, Winkel 90/53,13/36,87, Fläche 24.
- Der SSA-Mehrdeutigkeitsfall ist die Funktion zur Überschriftenkorrektheit. Die Engine muss BEIDE Dreiecke zurückgeben, wenn zwei vorhanden sind (Halterung: a=7, b=10, A=30°), unmögliche Konfigurationen kennzeichnen (a=2, b=10, A=30°) und andernfalls die Eindeutigkeit bestätigen. Gemäß „01-ENGINE-SPEC.md §1“.
- Der erkannte Fall und das bei jedem Schritt verwendete Theorem sind Engine-Ausgaben, die in der Fallkarte gerendert und nicht in die Seite geschrieben werden.
- Triangle-inequality violations (1,2,5) are blocked with an explanation.
- Die Abbildung markiert rechte Winkel mit einem Quadrat, gleiche Seiten mit Häkchen und beschriftet jede Messung mit ihrem gelösten Wert.
- Heron-Arbeitsbeispiel (6-8-10 → 24) ist ein fester Bestandteil.
- Die absorbierten Modi: Sinusgesetz, Kosinusgesetz, gleichseitiges, gleichschenkliges Gesetz, jeweils mit seinem eigenen bearbeiteten Beispiel dargestellt und dürfen die eigenständigen Seiten, die sie ersetzt haben, nicht duplizieren.
- Alle Formeln aus „data/geometry-reference.json → Dreieck“, keine fest codiert.
- Word count 2,050.