Kugelrechner

Der Kugelrechner rechnet aus jeder bekannten Messung zwischen Radius, Durchmesser, Volumen und Oberfläche um. Eine Kugel ist die Menge von Punkten im Raum, die in einem festen Abstand von einem einzigen Mittelpunkt liegen. Jeder Großkreisquerschnitt ist ein Kreis mit demselben Radius, daher wird auf der Seite eine beschriftete Figur neu gezeichnet, wobei der Radius auf den eingegebenen Wert gesetzt ist.

Geben Sie den Radius oder den Durchmesser ein oder beginnen Sie mit dem Volumen oder der Oberfläche, wenn diese stattdessen in einem Arbeitsblatt angegeben sind. Die Antworten können als Dezimalzahlen oder als exakte Vielfache von Pi angezeigt werden, wenn die Prüfungsform bevorzugt wird. Verwandte Volumenseiten behandeln den Hemisphere Calculator und den Cylinder Calculator, wenn nur eine halbe Kugel oder ein kreisförmiges Rohr benötigt wird.

Berechnen Sie das Volumen einer Kugel

Das Volumen einer Kugel skaliert mit der dritten Potenz des Radius und verwendet den Vier-Drittel-Faktor, der in Einführungen in die Physik und Analysis erscheint. Der Kugelrechner erfordert einen positiven Radius; Der eingegebene Durchmesser wird halbiert, bevor das Volumen läuft. Volumeneinheiten sind Kubikeinheiten der für den Radius gewählten Längeneinheit.

V = (4/3) * pi * r^3

Die kubische Abhängigkeit bedeutet, dass eine Verdoppelung des Radius das Volumen mit acht multipliziert. Dieses Wachstum ist der Grund, warum kleine Radiusfehler für das Volumen wichtiger sind als für die Oberfläche. Wenn es sich bei der angegebenen Größe um ein Volumen und nicht um einen Radius handelt, stellt die Engine zunächst den Radius mit einer Kubikwurzelinversion wieder her und aktualisiert dann jedes zweite Feld mit demselben Radius, sodass das Panel konsistent bleibt.

Für einen Klassenraumcheck mit r = 6:

V = (4/3) * pi * 6^3 = (4/3) * pi * 216 = 288 * pi approx 904.78

Die exakte Form 288 * pi entspricht Markierungsschemata, die ein frühes Runden verbieten. Der Dezimalmodus verwendet Pi etwa 3,14159 nur für die Anzeige.

Berechnen Sie die Oberfläche

Die Oberfläche einer Kugel ist die geschlossene Außenhaut ohne flache Flächen. Der Kugelrechner verwendet die Vier-Pi-R-Quadrat-Beziehung, die der Ableitung des Volumens nach r bis auf Konstanten in einem Kalkülkurs entspricht. Einheiten sind quadratische Einheiten der Radiuslängeneinheit.

SA = 4 * pi * r^2

Die Oberfläche wächst mit dem Quadrat des Radius, nicht mit dem Würfel. Durch die Verdoppelung des Radius vervierfacht sich die Oberfläche, während das Volumen um das Achtfache wächst. Diese Diskrepanz tritt auf, wenn sich die Materialkosten an der Beschichtungsfläche orientieren, die Kapazität jedoch am Volumen. Bei alleiniger Betrachtung der Oberfläche errechnet sich der Radius als positive Quadratwurzel von SA dividiert durch 4 pi.

Für r = 6:

SA = 4 * pi * 6^2 = 4 * pi * 36 = 144 * pi approx 452.39

Die Gesamtoberfläche der Halbkugel fügt eine flache kreisförmige Basis hinzu und verwendet einen anderen Koeffizienten. Verwenden Sie die Seite „Halbkugel“, wenn der Körper einschließlich der Schnittfläche nur eine halbe Kugel ist.

Lösen Sie aus einer beliebigen Messung

Die Lösung nach einer beliebigen Variablen ist der Kern des Sphere-Rechners. Radius, Durchmesser, Volumen und Oberfläche sind durch feste Formeln mit Pi verknüpft, sodass jeder positive Wert die anderen drei bestimmt. Die Engine stellt zunächst den Radius wieder her und füllt dann die verbleibenden Ausgaben mit der gleichen internen Präzision, bis die Anzeige gerundet wird.

d = 2 * r
r = d / 2
r = cube root of (3 * V) / (4 * pi)
r = sqrt(SA / (4 * pi))

Teilen Sie den gegebenen Durchmesser d durch zwei, bevor Sie Volumen und Oberfläche berechnen. Nehmen Sie bei gegebenem Volumen den Kubikwurzelpfad. Nehmen Sie bei gegebener Oberfläche den Quadratwurzelpfad. Jeder Pfad endet am selben r, bevor die anderen Ausgaben aktualisiert werden, sodass alle angezeigten Werte mit einem Startwertfeld konsistent bleiben.

Lassen Sie nicht verwendete Felder leer. Das Füllen zweier unabhängiger Felder, die unterschiedliche Radien implizieren, führt zu einem Konflikt, den der Löser ablehnt, anstatt einen Mittelwert zu bilden. Die Einheiten müssen übereinstimmen: Wenn der Radius in Zentimetern angegeben wird, wird das Volumen in Kubikzentimetern und die Oberfläche in Quadratzentimetern angegeben.

Lösen Sie eine Kugel mit Radius 6

Verwenden Sie auf dieser Seite r = 6 als Referenzkugel. Sowohl Volumen als auch Oberfläche werden mit Pi berücksichtigt, sodass exakte und ungefähre Formen zur Überprüfung nebeneinander liegen. Der Durchmesser ergibt sich unmittelbar nach der Verdoppelung. 1. Durchmesser

d = 2 * 6 = 10

2. Volume

V = (4/3) * pi * 216 = 288 * pi approx 904.78

3. Surface area

SA = 4 * pi * 36 = 144 * pi approx 452.39

Ausgehend von V = 288 * pi wird dasselbe r = 6 wiederhergestellt. Ausgehend von SA = 144 * pi wird dasselbe r wiederhergestellt. Ausgehend von d = 12 wird r = 6 wieder wiederhergestellt. Diese vier Seeds sind die Regressionsvorrichtungen für die Sphere-Engine.

Vergleichen Sie es mit einer Halbkugel mit demselben Radius: Das Volumen der Halbkugel beträgt die Hälfte von 288 * Pi, also 144 * Pi, während die Gesamtoberfläche einschließlich der Basis 3 * Pi * r^2 = 108 * Pi beträgt, nicht die Hälfte von 144 * Pi. Allein die Hälfte der gekrümmten Haut wäre 2 * pi * r^2; die flache Scheibe fügt ein weiteres pi * r^2 hinzu.

Häufig gestellte Fragen

Zusammenfassung

Der Kugelrechner gibt Radius, Durchmesser, Volumen und Oberfläche aus jeder bekannten Messung zurück, mit substituierter Arithmetik für jede Formel und einer beschrifteten Zahl, die auf den eingegebenen Radius gezeichnet wird. Die berechneten Zahlen auf dieser Seite stimmen mit der r = 6-Referenz überein: V = 288 * pi und SA = 144 * pi.

Vergleichen Sie Halbkugelprobleme mit dem Hemisphärenrechner und kreisförmige Tanks mit dem Zylinderrechner.