Der Pythagoras-Theorem-Rechner wendet a² + b² = c² auf ein rechtwinkliges Dreieck an und löst nach der Hypotenuse, einem fehlenden Bein oder einem Ja-oder-Nein-Test, ob drei gegebene Seiten einen rechten Winkel bilden. Geben Sie zwei beliebige der drei Seiten ein, um die dritte zu finden, oder geben Sie alle drei ein, um die umgekehrte Prüfung durchzuführen.
Die Beziehung gilt nur für rechtwinklige Dreiecke, wobei c die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite ist. Der Rechner zeigt die ersetzten Quadrate und die Quadratwurzel an, sodass jeder Schritt manuell überprüft werden kann.
Wenden Sie den Satz des Pythagoras an
Der Satz des Pythagoras besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der beiden Schenkel ist. Mit den üblichen Buchstaben geschrieben, also a² + b² = c², wobei c die längste Seite ist. Der Satz ist der Motor hinter der Entfernung auf einer Koordinatenebene, der Diagonale eines Rechtecks und der Neigungshöhe eines Kegels.
Diese Seite besitzt die reine Beziehung und die Umkehrung. Der Rechner für rechtwinklige Dreiecke verfügt über die vollständige trigonometrische Lösung, wenn auch ein Winkel beteiligt ist. Geben Sie die bekannten Seiten ein, wählen Sie bei Bedarf die Variable aus, nach der gelöst werden soll, und lesen Sie das Ergebnis mit den erweiterten quadrierten Termen im Arbeitsfeld.
Lösen Sie nach der Hypotenuse auf
Wenn beide Schenkel bekannt sind, ist die Hypotenuse die positive Quadratwurzel der Summe ihrer Quadrate. Die Länge ist immer größer als jedes Bein. Die Einheiten bleiben mit den Eingaben konsistent: Wenn a und b in Zentimetern angegeben sind, ist c in Zentimetern angegeben.
c = √(a² + b²)Die exakte Wurzelform wird neben dem Dezimalwert angeboten, wenn die Summe der Quadrate kein perfektes Quadrat ist. Für ganzzahlige Zweige, die ein bekanntes Tripel bilden, ist das Ergebnis eine ganze Zahl. Für andere Zweige meldet der Rechner eine gerundete Dezimalzahl und behält intern die volle Genauigkeit bei.
Suchen Sie nach einem fehlenden Bein
Wenn die Hypotenuse und ein Bein bekannt sind, ordnen Sie den Satz neu, um das unbekannte Bein zu isolieren. Die Hypotenuse muss unbedingt länger sein als das bekannte Bein. Wenn c kleiner oder gleich a ist, existiert kein echtes rechtwinkliges Dreieck mit diesen beiden Längen, und das Tool meldet die Unmöglichkeit, anstatt eine ungültige Wurzel zurückzugeben.
b = √(c² - a²)Die gleiche Neuanordnung funktioniert auch, wenn ein Bein fehlt. Wählen Sie das Feld aus, das mit der Unbekannten übereinstimmt, geben Sie die beiden anderen Längen ein, und der Rechner füllt die Lücke.
Testen Sie, ob ein Dreieck rechtwinklig ist
Die Umkehrung des Satzes des Pythagoras besagt, dass, wenn drei positive Längen a² + b² = c² erfüllen, wenn c am längsten ist, das Dreieck mit diesen Seiten am Scheitelpunkt zwischen a und b rechtwinklig ist. Geben Sie alle drei Seiten ein, um diese Prüfung durchzuführen.
Der Rechner quadriert jede Seite, vergleicht die Summe der beiden kleineren Quadrate mit dem größten Quadrat und gibt den Wert rechtwinklig, spitz oder stumpf an. Eine Gleitkommatoleranz deckt die Rundung der gemessenen Seiten ab, sodass ein Beinahefehler nicht falsch gekennzeichnet wird. Dieser Test ist der Grund dafür, dass die Seite drei Eingaben akzeptiert, auch wenn nichts fehlt.
Lösen Sie nach einem Dreieck mit den Schenkeln 6 und 8
Nehmen Sie die Beine a = 6 und b = 8. Diese Seiten sind ein skaliertes 3-4-5-Tripel, jeweils multipliziert mit 2, sodass die Hypotenuse die ganze Zahl 10 ist und die Arithmetik bei jedem Schritt exakt bleibt.
1. Square each leg. `` 6² = 36 8² = 64 ``
2. Add the squares. `` 36 + 64 = 100 ``
3. Take the square root. `` c = √100 = 10 ``
Die Fläche dieses rechtwinkligen Dreiecks beträgt (1/2) × 6 × 8 = 24, was dem SSS-Arbeitsbeispiel auf der Seite „Dreiecksrechner“ entspricht.
Erkennen Sie häufig vorkommende pythagoräische Tripel
Ein pythagoräisches Tripel besteht aus drei positiven ganzen Zahlen a, b, c mit a² + b² = c². Primitive Tripel haben keinen gemeinsamen Faktor. Nachfolgend sind die häufigsten Begegnungen der Studierenden aufgeführt. Jedes positive ganzzahlige Vielfache eines Tripels ist ebenfalls ein rechtwinkliges Dreieck: 6-8-10, 9-12-15 und 10-24-26 sind skalierte Kopien.
| Triple | Check |
|---|---|
| 3-4-5 | 9 + 16 = 25 |
| 5-12-13 | 25 + 144 = 169 |
| 8-15-17 | 64 + 225 = 289 |
| 7-24-25 | 49 + 576 = 625 |
| 20-21-29 | 400 + 441 = 841 |
| 9-40-41 | 81 + 1600 = 1681 |
Das Erkennen eines Tripels spart Zeit bei Prüfungen, da die Hypotenuse keinen Taschenrechner mehr benötigt, sobald das Muster erkannt wurde.
Verwenden Sie den Satz in der Koordinatengeometrie
Platzieren Sie zwei Punkte auf einer Ebene und die horizontalen und vertikalen Lücken zwischen ihnen bilden die Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks. Der geradlinige Abstand ist die Hypotenuse. Diese Identität ist der Grund, warum die Distanzformel wie der Satz des Pythagoras aussieht, mit Δx und Δy anstelle von a und b.
d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)Der Entfernungsrechner verfügt über die vollständige 2D- und 3D-Bearbeitung. Der Steigungsrechner verfügt über Anstieg über Lauf für dieselben zwei Punkte. Auf dieser Seite erfahren Sie, warum diese Formeln funktionieren: Das Gitter zeichnet ein rechtwinkliges Dreieck und c ist der Abstand.
Häufig gestellte Fragen
Was ist der Satz des Pythagoras?
Der Satz des Pythagoras besagt, dass für ein rechtwinkliges Dreieck mit den Schenkeln a und b und der Hypotenuse c a² + b² = c² gilt. Das Quadrat auf der längsten Seite ist gleich der Summe der Quadrate auf den anderen beiden.
Wie finde ich die Hypotenuse?
Quadrieren Sie beide Beine, addieren Sie die Ergebnisse und ziehen Sie die positive Quadratwurzel: c = √(a² + b²). Für die Beine 6 und 8 gilt c = √(36 + 64) = √100 = 10.
Wie finde ich ein fehlendes Bein?
Ordnen Sie zu b = √(c² - a²) um, wobei c die Hypotenuse und a das bekannte Bein ist. Die Hypotenuse muss länger als das bekannte Bein sein, sonst gibt es keine echte Lösung.
Wie kann ich feststellen, ob drei Seiten ein rechtwinkliges Dreieck bilden?
Ordnen Sie die Seiten so an, dass c am längsten ist, und prüfen Sie dann, ob a² + b² gleich c² ist. Wenn ja, ist das Dreieck rechtwinklig. Wenn a² + b² größer ist, ist das Dreieck spitz. Wenn es kleiner ist, ist es stumpf.
Was sind die häufigsten pythagoreischen Tripel?
Die Dreiergruppen, die die Schüler zuerst treffen, sind 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25, 20-21-29 und 9-40-41. Vielfache wie 6-8-10 sind gleichermaßen gültige rechtwinklige Dreiecke.
Funktioniert der Satz für nicht rechtwinklige Dreiecke?
Nein. Die Gleichheit a² + b² = c² gilt nur, wenn der Winkel zwischen a und b 90 Grad beträgt. Für andere Dreiecke verwenden Sie das Kosinusgesetz, das sich auf den Satz des Pythagoras reduziert, wenn der eingeschlossene Winkel ein rechter Winkel ist.
Wie hängt der Satz mit der Distanzformel zusammen?
Der Abstand zwischen zwei Punkten ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks, das durch ihre horizontalen und vertikalen Trennungen gebildet wird. Die Erweiterung dieser Hypotenuse ergibt √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²).
Kann der Rechner nach beiden Variablen auflösen?
Ja. Geben Sie zwei beliebige Werte von a, b und c ein, um den dritten zu finden, oder geben Sie alle drei ein, um die Umkehrung zu testen. Die Lösung für jede Variable ist in die Engine-Beziehungen integriert.
Warum muss c die längste Seite sein?
In einem rechtwinkligen Dreieck weist die Hypotenuse dem größten Winkel zu und ist daher grundsätzlich länger als beide Schenkel. Die Bezeichnung eines Beins als c zerstört die Formel und den umgekehrten Test.
Zusammenfassung
Der Pythagoras-Theorem-Rechner wendet a² + b² = c² an, um eine Hypotenuse oder ein fehlendes Bein zu finden, und verwendet die Umkehrung, um zu testen, ob drei Seiten einen rechten Winkel bilden. Die Schenkel 6 und 8 ergeben die Hypotenuse 10. Häufige ganzzahlige Tripel wie 3-4-5 und 5-12-13 werden zur schnellen Erkennung aufgelistet. Die gleiche Beziehung liegt der Koordinatenentfernungsformel zugrunde.