Pythagoras satskalkylator tillämpar a² + b² = c² på en rätvinklig triangel och löser hypotenusan, ett saknat ben eller ett ja-eller-nej-test av om tre givna sidor bildar en rät vinkel. Ange två av de tre sidorna för att hitta den tredje, eller ange alla tre för att köra den omvända kontrollen.
Relationen gäller endast för rätvinkliga trianglar, där c är sidan mitt emot den räta vinkeln. Kalkylatorn visar de ersatta kvadraterna och kvadratroten så att varje steg kan kontrolleras för hand.
Tillämpa Pythagoras sats
Pythagoras sats säger att i en rätvinklig triangel är kvadraten på hypotenusan lika med summan av kvadraterna på de två benen. Skrivet med de vanliga bokstäverna, det vill säga a² + b² = c², där c är den längsta sidan. Satsen är motorn bakom avståndet på ett koordinatplan, diagonalen för en rektangel och lutningshöjden för en kon.
Denna sida äger den rena relationen och det omvända. Rätttriangelkalkylatorn äger hela triglösningen när en vinkel också är inblandad. Ange de kända sidorna, välj vilken variabel som ska lösas för om det behövs, och läs resultatet med de kvadratiska termerna expanderade i arbetspanelen.
Lös för hypotenusan
När båda benen är kända är hypotenusan den positiva kvadratroten av summan av deras kvadrater. Längden är alltid större än båda benen. Enheter förblir konsekventa med indata: om a och b är i centimeter, är c i centimeter.
c = √(a² + b²)Exakt-radikal form erbjuds när summan av kvadrater inte är en perfekt kvadrat, tillsammans med decimalvärdet. För heltalsben som bildar en känd trippel är resultatet ett heltal. För övriga ben rapporterar räknaren en avrundad decimal och håller full precision internt.
Lös för ett saknat ben
När hypotenusan och ena benet är kända, arrangera om satsen för att isolera det okända benet. Hypotenusan måste vara strikt längre än det kända benet. Om c är mindre än eller lika med a, finns det ingen riktig rätvinklig triangel med dessa två längder, och verktyget rapporterar omöjligheten istället för att returnera en ogiltig rot.
b = √(c² - a²)Samma omarrangering fungerar med båda benen saknas. Välj fältet som matchar det okända, ange de andra två längderna, så fyller räknaren ut luckan.
Testa om en triangel är rätvinklig
Motsatsen till Pythagoras sats säger att om tre positiva längder uppfyller a² + b² = c² när c är den längsta, så är triangeln med dessa sidor rätvinklig i spetsen mellan a och b. Ange alla tre sidorna för att köra kontrollen.
Kalkylatorn kvadrerar varje sida, jämför summan av de två mindre kvadraterna med den största kvadraten och rapporterar rätvinklig, spetsig eller trubbig. En flyttalstolerans täcker avrundning av uppmätta sidor så att ett nästan misstag inte är felmärkt. Detta test är anledningen till att sidan accepterar tre ingångar även när ingenting saknas.
Lös för en triangel med ben 6 och 8
Ta benen a = 6 och b = 8. Dessa sidor är en skalad 3-4-5 trippel, var och en multiplicerad med 2, så hypotenusan är heltal 10 och aritmetiken förblir exakt genom varje steg.
1. Square each leg. `` 6² = 36 8² = 64 ``
2. Add the squares. `` 36 + 64 = 100 ``
3. Take the square root. `` c = √100 = 10 ``
Arean av den rätvinkliga triangeln är (1/2) × 6 × 8 = 24, vilket matchar SSS-exemplet på Triangelkalkylator-sidan.
Känn igen vanliga Pythagoras trippel
En pythagoras trippel är tre positiva heltal a, b, c med a² + b² = c². Primitiva trippel har ingen gemensam faktor. De vanligaste eleverna möter listas nedan. Varje positiv heltalsmultipel av en trippel är också en rätvinklig triangel: 6-8-10, 9-12-15 och 10-24-26 är skalade kopior.
| Triple | Check |
|---|---|
| 3-4-5 | 9 + 16 = 25 |
| 5-12-13 | 25 + 144 = 169 |
| 8-15-17 | 64 + 225 = 289 |
| 7-24-25 | 49 + 576 = 625 |
| 20-21-29 | 400 + 441 = 841 |
| 9-40-41 | 81 + 1600 = 1681 |
Att känna igen en trippel sparar tid vid undersökningar eftersom hypotenusan inte behöver någon miniräknare när mönstret har upptäckts.
Använd satsen i koordinatgeometri
Placera två punkter på ett plan och de horisontella och vertikala gapen mellan dem bildar benen i en rätvinklig triangel. Det raka avståndet är hypotenusan. Den identiteten är därför avståndsformeln ser ut som Pythagoras sats med Δx och Δy i stället för a och b.
d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)Avståndskalkylatorn äger hela 2D- och 3D-behandlingen. Lutningsberäknaren äger stigning över körning för samma två poäng. Den här sidan är platsen för att se varför dessa formler fungerar: rutnätet ritar en rätvinklig triangel och c är avståndet.
Vanliga frågor
Vad är Pythagoras sats?
Pythagoras sats säger att för en rätvinklig triangel med benen a och b och hypotenusan c, a² + b² = c². Kvadraten på den längsta sidan är lika med summan av kvadraterna på de andra två.
Hur hittar jag hypotenusan?
Kvadra båda benen, addera resultaten och ta den positiva kvadratroten: c = √(a² + b²). För ben 6 och 8, c = √(36 + 64) = √100 = 10.
Hur hittar jag ett saknat ben?
Ordna om till b = √(c² - a²), där c är hypotenusan och a är det kända benet. Hypotenusan måste vara längre än det kända benet annars finns ingen verklig lösning.
Hur vet jag om tre sidor bildar en rätvinklig triangel?
Ordna sidorna så att c är längst, kontrollera sedan om a² + b² är lika med c². Om den gör det är triangeln rätvinklig. Om a² + b² är större är triangeln spetsig. Om den är mindre är den trubbig.
Vilka är de vanligaste Pythagoras trippel?
Trippeleleverna som träffas först är 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25, 20-21-29 och 9-40-41. Multiplar som 6-8-10 är lika giltiga rätvinkliga trianglar.
Fungerar satsen för icke-räta trianglar?
Nej. Likheten a² + b² = c² gäller endast när vinkeln mellan a och b är 90 grader. För andra trianglar använd cosinuslagen, som reduceras till Pythagoras sats när den ingående vinkeln är en rät vinkel.
Hur är satsen relaterad till avståndsformeln?
Avståndet mellan två punkter är hypotenusan av den räta triangeln som bildas av deras horisontella och vertikala separationer. Att expandera den hypotenusan producerar √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²).
Kan kalkylatorn lösa endera variabeln?
Ja. Ange två av a, b och c för att hitta den tredje, eller skriv in alla tre för att testa det omvända. Lös-för-valfri-variabel är inbyggd i motorrelationerna.
Varför måste c vara den längsta sidan?
I en rätvinklig triangel är hypotenusan vänd mot den största vinkeln, så den är strikt längre än båda benen. Att märka ett ben som c bryter formeln och det omvända testet.
Sammanfattning
Pythagoras satskalkylator tillämpar a² + b² = c² för att hitta en hypotenusa eller ett saknat ben, och använder det omvända för att testa om tre sidor bildar en rät vinkel. Ben 6 och 8 ger hypotenusa 10. Vanliga heltalstrippel som 3-4-5 och 5-12-13 är listade för snabb igenkänning. Samma relation ligger till grund för koordinatavståndsformeln.
Relaterade miniräknare
Räknare för höger triangel · Triangelkalkylator · Avståndskalkylator · Rektangelkalkylator