Metabeskrivning (154): Beräkna prov- eller populationsvarians från valfri datamängd. Varianskalkylatorn visar summan av kvadrater, varje kvadratavvikelse och båda formlerna.
Varianskalkylatorn mäter hur långt värden i en datamängd ligger från deras medelvärde i kvadratenheter, och returnerar antingen provvariansen eller populationsvariansen beroende på vad datan representerar. Klistra in värden separerade med kommatecken, mellanslag eller radbrytningar, och kalkylatorn returnerar variansen tillsammans med summan av kvadrater, medelvärdet och en stegtabell för varje kvadratavvikelse.
Varians är storheten under kvadratroten i en standardavvikelse. De flesta kursarbeten kräver det ena eller det andra, och att visa både kvadrat enhetsresultatet och de steg som gav det är det som gör en handkontroll möjlig.
Beräkna varians från en datamängd
Varians besvarar en enda fråga: hur brett sprids dessa värden kring sitt medelvärde, mätt i kvadratenheter? En liten varians innebär att punkterna samlas tätt. En stor betyder att de sprids. Två mängder kan dela samma medelvärde och ändå beskriva helt olika situationer när deras varianser skiljer sig åt.
Klistra in värden i datafältet. Kommatecken, mellanslag, flikar och radbrytningar fungerar alla, så en kolumn kopierad från ett kalkylblad behöver inte formateras. Kalkylatorn visar hur många värden den läste under fältet. Kontrollera den räkningen mot det du klistrat in innan du litar på resultatet, eftersom ett felaktigt tecken är den vanliga orsaken till fel svar.
Välj urval eller population innan du läser talet. Det valet ändrar nämnaren och, på små mängder, själva svaret.
Använd variansformeln
Båda formlerna delar de tre första stegen och divergerar endast när summan av kvadrater divideras. Hitta medelvärdet, subtrahera det från varje värde, kvadrera dessa avvikelser och dela sedan med N för en population eller med n minus 1 för ett urval.
Kvoten är variansen i kvadraterade enheter; Standardavvikelsekalkylatorn tar kvadratroten som ett ytterligare steg.
Population: σ² = Σ(x − x̄)² / N
Sample: s² = Σ(x − x̄)² / (n − 1)Att ta sig igenom det:
1. Hitta medelvärdet. Lägg till varje värde och dela med räkningen. 2. Hitta varje avvikelse. Subtrahera medelvärdet från varje värde. Vissa är negativa. 3. Kvadrera varje avvikelse. Negativa försvinner. Kolumnens totala summa är summan av kvadrater (SS). 4. Dividera. Med N för en population, med n − 1 för ett urval. Den kvoten är variansen.
Standardavvikelsekalkylatorn tar ytterligare ett steg: kvadratroten. Variansen slutar vid steg 4, vilket är anledningen till att dess enheter kvadreraseras. För valet av urval kontra populationen och Bessels korrigering, se den sidan; denna sida äger kvadratsummans mekanik.
Läs summan av kvadrater
Summan av kvadrater är summan av varje kvadratavvikelse från medelvärdet och täljaren av båda variansformlerna. Råa avvikelser före kvadrering summeras alltid till noll när medelvärdet kommer från samma värden, vilket är en snabb aritmetisk kontroll. Summan av kvadrater är aldrig negativ och är noll endast när varje värde är lika med medelvärdet.
SS = Σ(x − x̄)²Två egenskaper är viktiga i praktiken. För det första summerar de råa avvikelserna (innan kvadrering) alltid till noll när medelvärdet beräknas från samma värden. Den kolumnsumman är en snabb aritmetisk kontroll. För det andra är SS i sig aldrig negativ, eftersom varje term är en kvadrat. SS är noll endast när varje värde är lika med medelvärdet.
På data med stor magnitud föredrar man tvåpassmetoden som visas här (medelvärde först, sedan avvikelser) framför enpassgenvägen Σx² − (Σx)²/n. Genvägen avbryts katastrofalt när värden är stora och nästan lika, vilket är en känd numerisk felfunktion snarare än en teoretisk kuriositet.
Förstå varför avvikelser är kvadraterade
Utan kvadrering tar positiva och negativa avvikelser ut. En mängd som ligger tre enheter över medelvärdet på hälften av sina punkter och tre under på den andra halvan skulle rapportera en total avvikelse på noll, vilket låtsas att det inte finns någon spridning alls.
Absoluta värden skulle också stoppa utjämningen, och medelabsolut avvikelse är ett verkligt alternativt mått. Kvadratering föredras i klassisk statistik av två praktiska skäl. Det straffar stora avvikelser hårdare än små: en komma tre enheter från medelvärdet bidrar nio gånger så mycket som en komma en enhet bort. Och kvadratfunktioner är deriverbara, vilket gör varians till grunden för minsta kvadraters regression och många inferensiella metoder.
Den påföljden är också anledningen till att varians (och standardavvikelse) reagerar starkt på avvikare. En extrem observation kan dominera SS. En boxdiagram eller en titt på råvärdena bör ligga bredvid eventuell varians du planerar att rapportera.
Beräkna varians för 4, 6, 6, 6, 7, 7, 9, 11
Denna åttavärdiga mängd ger en populationsvarians på exakt 4 och en provvarians på 4.571. Varje steg nedan kan kontrolleras för hand. (En annan datamängd från standardavvikelsekalkylatorn fungerade exempel, så de två sidorna duplicerar inte samma genomgång.)
1. Hitta medelvägen. 4 + 6 + 6 + 6 + 7 + 7 + 9 + 11 = 56 56 ÷ 8 = 7
2. Hitta varje avvikelse och kvadrera den.
| x | x − x̄ | (x − x̄)² |
|---|---|---|
| 4 | −3 | 9 |
| 6 | −1 | 1 |
| 6 | −1 | 1 |
| 6 | −1 | 1 |
| 7 | 0 | 0 |
| 7 | 0 | 0 |
| 9 | 2 | 4 |
| 11 | 4 | 16 |
| Σ = 0 | Σ = 32 |
3. Dela upp.
Befolkning: 32 ÷ 8 = 4 Exempel: 32 ÷ 7 = 4.571
Avvikelserna summeras till noll, som de måste. Värdet 11 bidrar ensam med 16 av 32-totalen, hälften av summan av kvadrater från en observation av åtta. Det är kvadreringsstraffet i en enda rad.
Förstå variansenheterna
Variansen uttrycks i kvadratenheter av originaldatan. Om mätningarna är markeringar utanför 100 är variansen i kvadratmarker. Om de är centimeter är variansen i kvadratcentimeter. Dessa enheter kan inte jämföras direkt med en enda observation, vilket är anledningen till att praktiker vanligtvis rapporterar standardavvikelsen istället.
Att ta kvadratroten upphäver enhetsproblemet:
σ = √σ² and s = √s²För det arbetade exemplet, √4 = 2 och √4.571 ≈ 2.138. Samma spridning, olika förpackningar. Använd varians när en formel efterfrågar det (ANOVA, många regressionsutdata, vissa finansmodeller). Använd standardavvikelse när du behöver en siffra som en läsare kan placera bredvid råmätningarna.
Varians i senare formler
ANOVA, många regressionsutdata och vissa riskmodeller konsumerar varians direkt istället för standardavvikelse. När en formel skriver sigma i kvadrat, lämna resultatet i kvadraterade enheter. När en rapport behöver en siffra som en läsare kan jämföra med råa mätningar, ta kvadratroten och ange att du rapporterar standardavvikelse.
Att länka de två sidorna undviker medvetet att duplicera Bessels korrigering här. Urval kontra population spelar fortfarande roll för varians; tolkningsavsnittet på Standard Deviation Calculator är fortfarande den djupare behandlingen av varför n minus 1 förekommer.
Vanliga frågor
Vad är varians?
Varians är medelvärdet av de kvadraterade avvikelserna från medelvärdet. Populationsvarians delar summan av kvadrater med N; stickprovsvariansen delar med n − 1. Resultatet är i kvadratenheter av originaldatan, så en varians på 4 på en mängd mätt i centimeter betyder 4 kvadratcentimeter spridning, inte 4 centimeter.
Bör jag använda urvals- eller populationsvarians?
Använd populationsvarians när datan täcker varje medlem i gruppen du beskriver, och dela med N. Använd provvarians när datan är en delmängd som representerar en större grupp, och dela med n − 1. Urval är det vanliga fallet i praktiken. Läroboksfrågor nämner nästan alltid vilken form de vill ha.
Hur skiljer sig variansen från standardavvikelse?
Varians är den genomsnittliga kvadratavvikelsen; standardavvikelsen är dess kvadratrot. Båda beskriver samma spridning. Standardavvikelsen återgår till de ursprungliga enheterna och är den siffra som de flesta rapporterar. Variansen förblir i kvadrater och förekommer i andra formler.
Varför är avvikelserna kvadraterade?
Utan kvadrering tar positiva och negativa avvikelser ut och en spridningsmängd kan se ut som om den saknar spridning. Kvadratering tar bort tecknet, viktar stora avvikelser tyngre och ger en storhet som fungerar rent i senare formler som regression och ANOVA.
Kan variansen vara negativ?
Nej. Varians är ett medelvärde av kvadrater, så det kan inte falla under noll. Det är noll endast när varje värde i mängden är identiskt. Ett negativt resultat innebär ett räknefel, vanligtvis ett teckenfel innan kvadratering.
Vad är summan av kvadrater?
Summan av kvadrater (SS) är Σ(x − x̄)², summan av varje kvadratavvikelse från medelvärdet. Den är täljaren för båda variansformlerna. I det bearbetade exemplet ovan är SS = 32.
Varför dividerar stickprovsvariansen med n − 1?
Eftersom provets medelvärde uppskattas utifrån samma värden är varje avvikelse systematiskt lite för liten. Att dividera med n skulle underskatta populationsvariansen. Att dividera med n − 1 (Bessels korrigering) kompenserar. Standardavvikelsekalkylatorn täcker den korrigeringen mer i detalj.
Hur beräknar jag varians i Excel?
Använd =VAR.S(range) för ett prov och =VAR.P(range) för en population. Den äldre =VAR() beter sig som VAR.S. Bekräfta vilken form din uppgift förväntar sig, eftersom de två är oense om små datamängder.
Betyder en större varians alltid en sämre datamängd?
Inte i sig självt. Variansen bär kvadraterade enheter och måste läsas mot datans skala. En varians på 4 på värden nära 7 är betydande; samma varians på värden nära 700 är trivial. Jämför mot medelvärdet, eller byt till variationskoefficienten på standardavvikelsekalkylatorn, innan du bedömer "bra" eller "dåligt".
Sammanfattning
Varianskalkylatorn returnerar prov- eller populationsvarians från vilken inklistad datamängd som helst, med summan av kvadrater, medelvärde och en fullständig avvikelsetabell. Båda formlerna kvadrerar varje avvikelse från medelvärdet och dividerar; de skiljer sig endast genom att dividera med n − 1 för ett urval eller N för en population.
Variansen finns i kvadratenheter, vilket är anledningen till att kvadratroten (standardavvikelse) vanligtvis rapporteras för tolkning. Använd denna sida för att arbeta med kvadrat summa; använd standardavvikelsekalkylatorn när frågan frågar efter spridning i de ursprungliga enheterna eller för Bessels djupkorrigering.