Triangelkalkylator

Triangelberäknaren löser en triangel från tre av dess sex mått, dess tre sidor och tre vinklar, och returnerar de återstående värdena, arean, omkretsen och ett märkt diagram ritat till de angivna måtten. Den namnger fallet den upptäckte, visar vilken sats som löste varje steg och hanterar det tvetydiga fallet där två olika trianglar passar samma mått.

Tre mätningar fixerar en triangel, med ett viktigt undantag som beskrivs nedan. Skriv in det du vet så hittar kalkylatorn resten och visar hur det fungerar så att resultatet kan kontrolleras för hand.

Lös en triangel från valfria tre mått

En triangel har sex mått: tre sidlängder och tre inre vinklar. Att känna till tre av dem, så länge minst en är en sida, avgör hela triangeln. Det är därför varje triangelproblem ger dig exakt tre delar av information.

Ange valfri giltig kombination: tre sidor, två sidor och en vinkel, eller två vinklar och en sida. Kalkylatorn identifierar vilken kombination den har, väljer den metod som passar och löser för de övriga tre mätningarna. Den returnerar också arean, omkretsen, de tre höjderna, medianerna och radierna för de inskrivna och omskrivna cirklarna.

Varje mått har sin egen enhet och vinklar kan anges i grader eller radianer. Diagrammet ritas om för att matcha siffrorna, med varje sida och vinkel märkta, så att formen är synlig snarare än abstrakt.

Identifiera vilket fall du har

Vilken metod som löser en triangel beror på vilka tre mått som är kända. Matematiker namnger dessa fall efter deras mönster av sidor (S) och vinklar (A), och att identifiera fallet är det första steget i varje lösning.

Case	You know	Method
SSS	three sides	law of cosines
SAS	två sidor och vinkeln mellan dem	law of cosines, then law of sines
ASA	två vinklar och sidan mellan dem	angle sum, then law of sines
AAS	två vinklar och en sida inte mellan dem	angle sum, then law of sines
SSA	två sidor och en vinkel inte mellan dem	sinuslagen, det tvetydiga fallet

Bokstäverna registrerar i vilken ordning måtten sitter runt triangeln. SAS betyder att den kända vinkeln är *mellan* de två kända sidorna; SSA betyder att det inte är det. Den skillnaden är viktigare än den ser ut, eftersom SSA är det enda fallet som kan ha två svar.

Kalkylatorn upptäcker fallet automatiskt och namnger det, så metoden är aldrig en gissning.

Lös med sinuslagen

Sinuslagen relaterar varje sida till sinus för dess motsatta vinkel, och den löser de fall där en sida och dess motsatta vinkel båda är kända, ASA, AAS och SSA.

a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)

Varje sida dividerad med sinus för vinkeln mot den ger samma förhållande. Så att känna till en sida och dess motsatta vinkel sätter förhållandet för hela triangeln, och vilken annan känd vinkel som helst ger sedan dess motsatta sida.

För en ASA- eller AAS-triangel kommer den tredje vinkeln först från vinkelsumman, alla tre inre vinklarna totalt 180 grader, och sedan hittar sinuslagen de två okända sidorna. Metoden är direkt och ger ett enda svar.

Lös med cosinuslagen

Cosinuslagen generaliserar Pythagoras sats till vilken triangel som helst, och den löser de fall där sinuslagen inte kan börja: SSS och SAS.

c² = a² + b² − 2ab·cos(C)

När alla tre sidorna är kända (SSS), arrangeras formeln om för att hitta varje vinkel:

cos(C) = (a² + b² − c²) / 2ab

När två sidor och den ingående vinkeln är kända (SAS), hittar formeln den tredje sidan direkt, varefter sinuslagen avslutar vinklarna. Lägg märke till att när vinkeln C är 90 grader, cos(C) är noll och formeln kollapsar till a² + b² = c², innehåller cosinuslagen Pythagoras sats som dess rätvinkliga specialfall.

Hantera det tvetydiga SSA-fallet

SSA är fallet som slår både elever och miniräknare, och det är där triangelkalkylatorn gör något som de flesta konkurrenter inte gör: den returnerar varje giltig triangel, inte bara den första den hittar.

När du känner till två sidor och en vinkel som inte är mellan dem, kan begränsningarna uppfyllas av två olika trianglar, en triangel eller ingen alls.

Anledningen är geometrisk: den kända sidan svänger som ett gångjärn, och beroende på dess längd kan den möta den motsatta baslinjen vid två punkter, en punkt, eller inte nå den.

Betrakta två sidor och en icke-inkluderad vinkel där sidan mitt emot den kända vinkeln är kortare än den andra kända sidan men tillräckligt lång för att nå basen. Två trianglar stänger det gapet, en där den tredje vinkeln är spetsig, en där den är trubbig. Båda är giltiga. En miniräknare som bara rapporterar en ger halva svaret, och en student som bara skrev en på ett prov skulle förlora betyg.

Triangelkalkylatorn kontrollerar detta. När två trianglar finns, ritar den båda och listar båda uppsättningarna av mått sida vid sida. När konfigurationen är omöjlig är den svängande sidan för kort för att nås, det säger så tydligt istället för att returnera ett fel nummer. När svaret är unikt bekräftar det varför.

Detta är det enskilt mest användbara som räknaren gör, eftersom det tvetydiga fallet är exakt där triangelproblem går fel.

Beräkna arean av en triangel

Arean av en triangel kan hittas på tre sätt, och räknaren väljer det som de kända måtten tillåter. Från en bas och dess höjd: `` A = ½ × base × height ``

Från två sidor och den medföljande vinkeln (SAS): `` A = ½ × a × b × sin(C) ``

Från alla tre sidor, med hjälp av Herons formel (SSS): `` A = √(s(s − a)(s − b)(s − c)), where s = (a + b + c) / 2 ``

Herons formel är den man ska sträcka sig efter när bara sidorna är kända och ingen höjd anges. Termen s är halvomkretsen, halva summan av sidorna. För en triangel med sidorna 6, 8 och 10 är halvomkretsen 12 och arean räknas ut till √(12 × 6 × 4 × 2) = √576 = 24.

Lös liksidiga och likbenta trianglar

Liksidiga och likbenta trianglar är specialfall som räknaren löser från färre ingångar, eftersom deras lika sidor ger den information som saknas. En liksidig triangel har tre lika sidor och tre 60-gradersvinklar. En enda sidolängd fixar allt: arean är (√3 / 4) × a² och höjden är (√3 / 2) × a.

Enter one number and the whole triangle follows.

En likbent triangel har två lika sidor och två lika basvinklar. Att känna till den lika sidan och basen, eller basen och en vinkel, är tillräckligt för att lösa det. Dess area, med lika ben a och bas b, är (b/4) × √(4a² − b²).

Båda är lägen för samma lösare, räknaren tillämpar begränsningen på lika sida och behöver mindre input som ett resultat.

Lös en triangel med sidorna 6, 8 och 10

Ta SSS-fallet med sidorna 6, 8 och 10, som visar sig vara en rätvinklig triangel. 1. Identifiera fallet. Tre sidor är kända, så detta är SSS och cosinuslagen hittar vinklarna. 2. Hitta den största vinkeln först. Den största vinkeln är vänd mot den längsta sidan, 10.

Med hjälp av cosinuslagen: `` cos(C) = (6² + 8² − 10²) / (2 × 6 × 8) = (36 + 64 − 100) / 96 = 0 / 96 = 0 `` cos(C) = 0 betyder C = 90 grader. Triangeln är rätvinklig, vilket sidorna 6-8-10, en skala 3-4-5, bekräftar.

3. Find a second angle. `` cos(A) = (8² + 10² − 6²) / (2 × 8 × 10) = (64 + 100 − 36) / 160 = 128 / 160 = 0.8 `` A = 36.87 degrees.

4. Find the third by the angle sum. B = 180 − 90 − 36,87 = 53,13 grader.

5. Hitta området med Herons formel. s = (6 + 8 + 10) / 2 = 12, så A = √(12 × 6 × 4 × 2) = √576 = 24.

Varje steg visas av räknaren, och diagrammet markerar den räta vinkeln med en kvadrat så att resultatet är synligt med en blick.

Vanliga frågor

Sammanfattning

Triangelberäknaren löser vilken triangel som helst från tre kända mätningar, förutsatt att minst en är en sida, och returnerar varje återstående sida och vinkel tillsammans med arean, omkretsen och ett märkt diagram.

Den upptäcker fallet, SSS, SAS, ASA, AAS eller SSA, och tillämpar cosinuslagen för kända sidor eller sinuslagen när en sida och dess motsatta vinkel paras ihop.

Dess viktigaste egenskap är korrekt hantering av det tvetydiga SSA-fallet, där två sidor och en icke-inkluderad vinkel kan beskriva två giltiga trianglar: räknaren returnerar båda, snarare än det enda svar som de flesta verktyg ger. Ytor kommer från bas-och-höjd, formeln med två sidor och vinkel, eller Herons formel för tre kända sidor, och liksidiga och likbenta trianglar löser sig från färre ingångar tack vare deras lika sidor.

Relaterade miniräknare

Räknare för rät triangel · Pythagoras satskalkylator · Polygonkalkylator · Trapetsräknare

Skapa anteckningar

• Arbetat exempel är en testfixtur: SSS 6-8-10 → rät vinkel vid C, vinklar 90/53.13/36.87, area 24.
• SSA-tvetydiga fallet är rubrikens korrekthetsfunktion. Motorn måste returnera BÅDA trianglarna när två finns (fixtur: a=7, b=10, A=30°), flagga omöjliga konfigurationer (a=2, b=10, A=30°), och bekräfta att det är unikt annars. Enligt 01-ENGINE-SPEC.md §1.
• Det detekterade fallet och satsen som används vid varje steg är motorutgångar som återges i fallets kort, inte inskrivna på sidan.
• Triangle-inequality violations (1,2,5) are blocked with an explanation.
• Figuren markerar räta vinklar med en kvadrat, lika sidor med bockar, och märker varje mätning med dess lösta värde.
• Heron arbetat exempel (6-8-10 → 24) är en fixtur.
• De absorberade lägena: sinuslagen, cosinuslagen, liksidiga, likbenta, var och en återges med sitt eget utförda exempel och får inte duplicera de fristående sidorna de ersatte.
• Alla formler från data/geometry-reference.json → triangel, ingen hårdkodad.
• Word count 2,050.