Kalkulator trójkątów rozwiązuje trójkąt na podstawie dowolnych trzech z sześciu wymiarów, jego trzech boków i trzech kątów i zwraca pozostałe wartości, powierzchnię, obwód i oznaczony diagram narysowany według wprowadzonych wymiarów. Nazywa wykryty przypadek, pokazuje, które twierdzenie rozwiązało każdy krok i obsługuje niejednoznaczny przypadek, w którym dwa różne trójkąty pasują do tych samych wymiarów.
Trzy pomiary ustalają trójkąt, z jednym ważnym wyjątkiem opisanym poniżej. Wpisz to, co wiesz, a kalkulator znajdzie resztę, pokazując działanie, aby wynik można było sprawdzić ręcznie.
Rozwiąż trójkąt na podstawie dowolnych trzech pomiarów
Trójkąt ma sześć wymiarów: trzy długości boków i trzy kąty wewnętrzne. Znajomość trzech z nich, o ile przynajmniej jeden jest bokiem, wyznacza cały trójkąt. Dlatego każde zadanie z trójkątem daje dokładnie trzy informacje.
Wprowadź dowolną prawidłową kombinację: trzy boki, dwa boki i kąt lub dwa kąty i bok. Kalkulator określa, jaką posiada kombinację, wybiera pasującą metodę i rozwiązuje pozostałe trzy pomiary. Zwraca również pole powierzchni, obwód, trzy wysokości, środkowe oraz promienie okręgów wpisanych i opisanych.
Każdy pomiar ma swoją własną jednostkę, a kąty można wprowadzać w stopniach lub radianach. Diagram zostanie przerysowany, aby dopasować liczby, z etykietami każdej strony i kąta, dzięki czemu kształt będzie widoczny, a nie abstrakcyjny.
Określ, jaki masz przypadek
To, która metoda rozwiąże trójkąt, zależy od tego, jakie trzy pomiary są znane. Matematycy nazywają te przypadki na podstawie ich układu boków (S) i kątów (A), a identyfikacja przypadku jest pierwszym krokiem w każdym rozwiązaniu.
| Case | You know | Method |
|---|---|---|
| SSS | three sides | law of cosines |
| SAS | dwie strony i kąt między nimi | law of cosines, then law of sines |
| ASA | dwa kąty i bok między nimi | angle sum, then law of sines |
| AAS | dwa kąty i bok nie znajdujący się pomiędzy nimi | angle sum, then law of sines |
| SSA | dwa boki i kąt nie znajdujący się pomiędzy nimi | twierdzenie sinusów, przypadek niejednoznaczny |
Litery oznaczają kolejność pomiarów wokół trójkąta. SAS oznacza, że znany kąt znajduje się *pomiędzy* dwoma znanymi bokami; SSA oznacza, że tak nie jest. Ta różnica ma większe znaczenie, niż się wydaje, ponieważ SSA to jedyny przypadek, który może mieć dwie odpowiedzi.
Kalkulator automatycznie wykrywa przypadek i nadaje mu nazwę, więc metody nigdy nie można zgadywać.
Rozwiąż za pomocą twierdzenia sinusów
Prawo sinusów wiąże każdą stronę z sinusem jej przeciwnego kąta i rozwiązuje przypadki, w których znany jest zarówno bok, jak i jego przeciwny kąt, czyli ASA, AAS i SSA.
a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)Każdy bok podzielony przez sinus kąta skierowanego ku niemu daje ten sam stosunek. Zatem znajomość jednego boku i jego przeciwnego kąta wyznacza stosunek całego trójkąta, a każdy inny znany kąt daje następnie jego przeciwny bok.
W przypadku trójkąta ASA lub AAS trzeci kąt jest pierwszy z sumy kątów, wszystkie trzy kąty wewnętrzne wynoszą łącznie 180 stopni, a następnie twierdzenie sinusów znajduje dwa nieznane boki. Metoda jest bezpośrednia i daje jedną odpowiedź.
Rozwiąż za pomocą prawa cosinusów
Prawo cosinusów uogólnia twierdzenie Pitagorasa na dowolny trójkąt i rozwiązuje przypadki, w których twierdzenie sinusów nie może się rozpocząć: SSS i SAS.
c² = a² + b² − 2ab·cos(C)Gdy znane są wszystkie trzy strony (SSS), formuła zmienia się, aby znaleźć każdy kąt:
cos(C) = (a² + b² − c²) / 2abGdy znane są dwa boki i kąt zawarty (SAS), wzór bezpośrednio znajduje trzeci bok, po czym prawo sinusów kończy kąty. Zauważ, że gdy kąt C wynosi 90 stopni, cos(C) wynosi zero, a wzór zawija się do a² + b² = c², twierdzenie cosinusów zawiera twierdzenie Pitagorasa jako jego szczególny przypadek prostokątny.
Zajmij się niejednoznaczną sprawą SSA
SSA to przypadek, który zaskakuje zarówno studentów, jak i kalkulatory, i to właśnie w tym przypadku Kalkulator Trójkątów robi coś, czego nie robi większość konkurentów: zwraca każdy prawidłowy trójkąt, a nie tylko pierwszy znaleziony.
Jeśli znasz dwa boki i kąt, który nie znajduje się między nimi, wiązania mogą być spełnione przez dwa różne trójkąty, jeden trójkąt lub wcale.
Powód jest geometryczny: znany bok odchyla się jak zawias i w zależności od swojej długości może dosięgnąć przeciwnej linii bazowej w dwóch, jednym punkcie lub nie dosięgnąć jej.
Rozważmy dwa boki i kąt niezawarty, gdzie bok przeciwny znanemu kątowi jest krótszy niż drugi znany bok, ale wystarczająco długi, aby sięgnąć podstawy. Dwa trójkąty zamykają tę lukę, jeden, w którym trzeci kąt jest ostry, a drugi rozwarty. Obydwa są ważne. Kalkulator, który podaje tylko jedną, daje połowę odpowiedzi, a student, który napisał na egzaminie tylko jedną, straci punkty.
Kalkulator trójkątów sprawdza to. Jeśli istnieją dwa trójkąty, rysuje oba i wyświetla oba zestawy pomiarów obok siebie. Gdy konfiguracja jest niemożliwa, strona wahadłowa jest zbyt krótka, aby można było do niej dotrzeć, jest to wyraźnie zaznaczone, zamiast zwracać błędną liczbę. Kiedy odpowiedź jest wyjątkowa, potwierdza, dlaczego.
Jest to najbardziej użyteczna rzecz, jaką robi kalkulator, ponieważ niejednoznaczny przypadek to dokładnie ten moment, w którym problemy z trójkątami kończą się niepowodzeniem.
Oblicz pole trójkąta
Pole trójkąta można obliczyć na trzy sposoby, a kalkulator wybiera ten, na który pozwalają znane miary. Od podstawy i jej wysokości: `` A = ½ × base × height ``
Z dwóch stron i kąta zawartego (SAS): `` A = ½ × a × b × sin(C) ``
Ze wszystkich trzech stron, korzystając ze wzoru Herona (SSS): `` A = √(s(s − a)(s − b)(s − c)), where s = (a + b + c) / 2 ``
Ze wzoru Herona warto skorzystać, gdy znane są tylko boki i nie jest podana wysokość. Termin „s” oznacza półobwód, połowę sumy boków. W przypadku trójkąta o bokach 6, 8 i 10 półobwód wynosi 12, a pole wynosi √(12 × 6 × 4 × 2) = √576 = 24.
Rozwiązywanie trójkątów równobocznych i równoramiennych
Trójkąty równoboczne i równoboczne to szczególne przypadki, które kalkulator rozwiązuje na podstawie mniejszej liczby danych wejściowych, ponieważ ich równe boki dostarczają brakujących informacji. Trójkąt równoboczny ma trzy równe boki i trzy kąty po 60 stopni. Długość jednego boku ustala wszystko: powierzchnia wynosi (√3 / 4) × a², a wysokość to (√3 / 2) × a.
Enter one number and the whole triangle follows.
Trójkąt równoramienny ma dwa równe boki i dwa równe kąty przy podstawie. Do rozwiązania wystarczy znajomość równego boku i podstawy lub podstawy i jednego kąta. Jego pole o równych nogach a i podstawie b wynosi (b/4) × √(4a² - b²).
Obydwa są trybami tego samego solwera, kalkulator stosuje ograniczenie równości stron i w rezultacie wymaga mniej danych wejściowych.
Rozwiąż trójkąt o bokach 6, 8 i 10
Weźmy przypadek SSS o bokach 6, 8 i 10, który okazuje się być trójkątem prostokątnym. 1. Określ przypadek. Znane są trzy strony, więc jest to SSS, a twierdzenie cosinusów wyznacza kąty. 2. Najpierw znajdź największy kąt. Największy kąt skierowany jest do najdłuższego boku, 10.
Korzystając z twierdzenia cosinusów: `` cos(C) = (6² + 8² − 10²) / (2 × 6 × 8) = (36 + 64 − 100) / 96 = 0 / 96 = 0 `` cos(C) = 0 oznacza C = 90 stopni. Trójkąt jest prostokątny, co potwierdzają boki 6-8-10 i skala 3-4-5.
3. Find a second angle. `` cos(A) = (8² + 10² − 6²) / (2 × 8 × 10) = (64 + 100 − 36) / 160 = 128 / 160 = 0.8 `` A = 36.87 degrees.
4. Find the third by the angle sum. B = 180 - 90 - 36,87 = 53,13 stopnia.
5. Znajdź obszar za pomocą wzoru Herona. s = (6 + 8 + 10) / 2 = 12, więc A = √(12 × 6 × 4 × 2) = √576 = 24.
Każdy krok jest pokazywany przez kalkulator, a na schemacie zaznaczono kwadratem kąt prosty, dzięki czemu wynik jest widoczny na pierwszy rzut oka.
Najczęściej zadawane pytania
Jak rozwiązać trójkąt?
Aby rozwiązać trójkąt, wprowadź dowolne trzy z sześciu wymiarów, w tym co najmniej jeden bok, do kalkulatora trójkątów. Kalkulator identyfikuje przypadek, SSS, SAS, ASA, AAS lub SSA, wybiera odpowiednio twierdzenie sinusów lub cosinusów i zwraca pozostałe boki i kąty, powierzchnię i obwód dla każdego pokazanego kroku.
Jaki jest niejednoznaczny przypadek SSA?
Niejednoznaczny przypadek SSA ma miejsce, gdy dwa boki i kąt nieuwzględniony mogą być spełnione przez dwa różne trójkąty. Strona przeciwna do znanego kąta może się odchylić, aby zetknąć się z podstawą w dwóch punktach, dając jedno rozwiązanie ostre i jedno rozwarte. Kalkulator trójkątów zwraca oba prawidłowe trójkąty lub wyraźnie stwierdza, gdy konfiguracja pozwala na tylko jeden lub żaden.
Kiedy stosować twierdzenie sinusów, a kiedy twierdzenie cosinusów?
Skorzystaj z twierdzenia sinusów, gdy znany jest bok i jego przeciwny kąt, co dotyczy przypadków ASA, AAS i SSA. Skorzystaj z twierdzenia cosinusów, jeśli tak nie jest, przypadku SSS, gdy znane są trzy strony, oraz przypadku SAS, gdy znane są dwa boki i kąt między nimi. Kalkulator automatycznie wybiera właściwe prawo.
Jak znaleźć pole trójkąta bez wysokości?
Jeśli wysokość nie jest znana, użyj wzoru Herona, który oblicza pole na podstawie samych trzech długości boków: A = √(s(s−a)(s−b)(s−c)), gdzie s to połowa obwodu. Jeśli zamiast tego znane są dwa boki i kąt zawarty w nich, pole wynosi ½ × a × b × sin(C). Kalkulator trójkątów stosuje się w zależności od tego, na co pozwalają znane pomiary.
Czy dowolne trzy pomiary mogą rozwiązać trójkąt?
Prawie. Dowolne trzy pomiary, które obejmują co najmniej jeden bok, rozwiążą trójkąt, ponieważ same trzy kąty ustalają kształt, ale nie rozmiar, nieskończenie wiele trójkątów ma te same kąty. Jedyną komplikacją jest przypadek SSA, w którym trzy prawidłowe pomiary nadal mogą opisać dwa różne trójkąty.
Dlaczego trójkąt ma czasami dwie prawidłowe odpowiedzi?
Trójkąt ma dwie prawidłowe odpowiedzi tylko w przypadku SSA, gdy znane są dwa boki i kąt nieuwzględniony. Strona przeciwna do danego kąta może sięgać podstawy w dwóch różnych punktach, tworząc jeden trójkąt o kącie ostrym i drugi o kącie rozwartym. Obydwa spełniają pomiary, więc oba są prawidłowe.
Jaki jest wzór Herona?
Wzór Herona oblicza pole trójkąta na podstawie długości jego trzech boków, bez konieczności podawania wysokości. Stwierdza, że pole wynosi √(s(s−a)(s−b)(s−c)), gdzie a, b i c to boki, a s to półobwód, (a+b+c)/2. Jest to standardowa metoda w przypadku SSS i nosi imię Bohatera Aleksandrii.
Czy te trzy kąty zawsze sumują się do 180 stopni?
Tak. W każdym płaskim, czyli euklidesowym trójkącie, trzy kąty wewnętrzne zawsze sumują się dokładnie 180 stopni. Dzięki temu kalkulator może znaleźć trzeci kąt natychmiast, gdy znane są dwa, co jest pierwszym krokiem do rozwiązania przypadków ASA i AAS. Reguła nie dotyczy zakrzywionych powierzchni, ale standardowe problemy z trójkątami zakładają płaską płaszczyznę.
Podsumowanie
Kalkulator trójkątów rozwiązuje dowolny trójkąt z trzech znanych pomiarów, pod warunkiem, że co najmniej jeden jest bokiem, i zwraca każdy pozostały bok i kąt wraz z polem, obwodem i oznaczonym diagramem.
Wykrywa przypadek SSS, SAS, ASA, AAS lub SSA i stosuje twierdzenie cosinusów dla znanych boków lub twierdzenie sinusów, gdy bok i jego przeciwny kąt są sparowane.
Jego najważniejszą cechą jest poprawna obsługa niejednoznacznego przypadku SSA, w którym dwa boki i kąt nieuwzględniony mogą opisać dwa prawidłowe trójkąty: kalkulator zwraca oba, a nie pojedynczą odpowiedź, jaką daje większość narzędzi. Powierzchnie pochodzą ze wzoru na podstawę i wysokość, wzór na dwa boki i kąt lub wzór Herona na trzy znane boki, a trójkąty równoboczne i równoboczne można rozwiązać przy mniejszej liczbie danych wejściowych dzięki ich równym bokom.
Twórz notatki
- Przykładem zastosowania jest uchwyt testowy: SSS 6-8-10 → kąt prosty w C, kąty 90/53,13/36,87, obszar 24.
- Niejednoznaczny przypadek SSA jest cechą poprawności nagłówka. Silnik musi zwrócić OBYDWA trójkąty, gdy istnieją dwa (urządzenie: a=7, b=10, A=30°), oznaczyć niemożliwe konfiguracje (a=2, b=10, A=30°) i w przeciwnym razie potwierdzić niepowtarzalność. Zgodnie z
01-ENGINE-SPEC.md §1. - Wykryty przypadek i twierdzenie używane na każdym etapie to wyniki silnika renderowane na karcie przypadku, a nie zapisywane na stronie.
- Triangle-inequality violations (1,2,5) are blocked with an explanation.
- Figura zaznacza kąty proste kwadratem, równe boki znacznikami i oznacza każdy pomiar rozwiązaną wartością.
- Przykład przepracowany przez czaplę (6-8-10 → 24) jest stałym elementem.
- Wchłonięte mody: prawo sinusów, prawo cosinusów, równoboczne, równoramienne, każdy renderowany na własnym przykładzie i nie może powielać samodzielnych stron, które zastępował.
- Wszystkie formuły z
data/geometry-reference.json → trójkąt, żadne nie są zakodowane na stałe. - Word count 2,050.