Tytuł SEO (57): Kalkulator kinematyki, rozwiąż SUVAT z dowolnych wartości 3 Opis meta (156): Wpisz dowolne trzy o przemieszczeniu, prędkości początkowej, prędkości końcowej, przyspieszeniu i czasie. Kalkulator Kinematyki wybiera właściwe równanie i pokazuje, dlaczego ma zastosowanie.
Kalkulator Kinematyki rozwiązuje problemy ruchu przy stałym przyspieszeniu, korzystając z czterech równań kinematycznych. Wpisz dowolne trzy z pięciu zmiennych: przemieszczenie, prędkość początkową, prędkość końcową, przyspieszenie i czas, a kalkulator znajduje pozostałe dwie, podaje, które równanie zastosował i wyjaśnia, dlaczego to równanie pasuje.
Właśnie o to chodzi. Wybór właściwego równania to umiejętność nauczana na każdym kursie wprowadzającym do mechaniki, a kalkulator zwracający liczbę bez podawania nazwy równania niczego nie uczy.
Rozwiąż dowolny problem kinematyczny z trzech znanych wartości
Ruch o stałym przyspieszeniu opisuje się pięcioma wielkością, a znajomość dowolnych trzech ustala pozostałe dwie. To jest cała struktura tematu i dlatego każde podręcznikowe zadanie daje dokładnie trzy liczby.
| Symbol | Ilość | Jednostka SI |
|---|---|---|
| s | Wyporność | Metry (m) |
| u | Prędkość początkowa | Metry na sekundę (m/s) |
| v | Prędkość końcowa | Metry na sekundę (m/s) |
| a | Przyspieszenie | metry na sekundę do kwadratu (m/s²) |
| t | czas | sekundy (s) |
Wypełnij trzy, które znasz, a pozostałe zostaw puste. Kalkulator rozwiązuje oba niewiadome, czasem w jednym kroku, czasem w dwóch, i pokazuje każdy krok z użytym równaniem.
Każde pole ma własny selektor jednostki, więc problem wyrażony w kilometrach na godzinę z czasem w sekundach nie wymaga ręcznej konwersji. Notacja naukowa działa w formie 3.45e9.
Jeśli wpiszesz więcej niż trzy wartości, kalkulator rozwiązuje od trzech i sprawdza resztę z wynikiem. Gdy się nie zgadzają, to jest napisane, co zwykle oznacza literówkę, a nie błąd fizyczny.
Wybierz właściwe równanie kinematyczne
Cztery równania opisują ruch o stałym przyspieszeniu, a każde pomija dokładnie jedną z pięciu zmiennych. Ta pojedyncza obserwacja to cała zasada selekcji.
| Równanie | Listy na zewnątrz | Używaj, gdy nie masz |
|---|---|---|
| v = u + at | s | Wyporność |
| s = ut + ½at² | v | Prędkość końcowa |
| s = ½(u + v)t | a | Przyspieszenie |
| v² = u² + 2as | t | czas |
Metoda jest więc taka: zidentyfikuj zmienną, której nie znasz ani nie potrzebujesz, i użyj równania, które ją pomija.
Przy danej prędkości początkowej, przyspieszeniu i czasie nie mamy przemieszczenia, więc obowiązuje v = u + at. Biorąc pod uwagę prędkość początkową, przyspieszenie i przemieszczenie bez dostępnego czasu, obowiązuje v² = u² + 2as. Równanie nie jest wyborem, wynika z tego, co jest na stronie przed tobą.
Kalkulator przedstawia to rozumowanie dla każdego zadania, które wprowadzasz, w panelu nad wejściami. Przeczytaj kilka razy, a reguła staje się automatyczna, co jest szybsze niż sięganie po kalkulator.
Zastosuj cztery równania kinematyczne
Każde równanie rozwiązuje dla dowolnej zmiennej, którą zawiera, a przemiany są warte posiadania pod ręką. v = u + at `` v = u + at u = v − at a = (v − u)/t t = (v − u)/a ``
s = ut + 1/2at² `` s = ut + ½at² u = (s − ½at²)/t a = 2(s − ut)/t² ``
Rozwiązanie tego dla t wymaga wzoru kwadratowego, ponieważ t pojawia się kwadratowo: `` t = [−u ± √(u² + 2as)] / a ``
Z tego wyłaniają się dwa pierwiastki i oba mogą być fizycznie rzeczywiste. Piłka rzucona w górę przechodzi dowolną wysokość dwa razy, raz w górę, raz schodząc w dół, więc dwa razy pozytywne to poprawna odpowiedź, a nie błąd. Kalkulator pokazuje oba i mówi, który jest który. Ujemne pierwiastki są odrzucane, z notatką wyjaśniającą dlaczego.
s = 1/2(u + v)t `` s = ½(u + v)t u = 2s/t − v v = 2s/t − u t = 2s/(u + v) ``
v² = u² + 2as `` v = √(u² + 2as) u = √(v² − 2as) a = (v² − u²)/(2s) s = (v² − u²)/(2a) ``
Gdy wielkość pod pierwiastkiem kwadratowym staje się ujemna, obiekt nigdy nie osiąga tego przemieszczenia. Kula wyrzucona z prędkością 10 m/s nie może osiągnąć 20 m, a kalkulator mówi to zamiast zwracać liczbę urojoną.
Rozwiąż dla prędkości końcowej danej u, a i t
Samochód odjeżdża z prędkością 5 m/s i przyspiesza z 2 m/s² przez 3 sekund. Jego prędkość końcowa to 11 m/s. 1. Wypisz to, co jest znane. u = 5 m/s, a = 2 m/s², t = 3 s. Nie jest ani podawana, ani wymagana.
⟦UM0⟧. Wybierz równanie. Brak przemieszczenia, więc równanie, które pomija s, ma zastosowanie: v = u + at.
⟦NUMER0⟧. Zastępca. v = 5 + (2 × 3)
⟦NUMER0⟧. Rozwiązaj. v = 5 + 6 = 11 m/s
Kalkulator zwraca także piątą zmienną. Przy u, a, t i teraz v wszystkie znane, przemieszczenie następuje z s = ½(u + v)t:
s = 1/2(⟦UM0⟧ + ⟦UM1⟧) × ⟦SUM2⟧ = 1/2 × 16 × ⟦SUM4⟧ = 24 m
Samochód pokonuje 24 metrów, osiągając 11 m/s. Oba niewiadome rozwiązane, dwa równania, a drugie wykorzystało odpowiedź z pierwszego.
Rozwiąż dwuetapowy problem
Wiele zadań wymaga dwóch równań w sekwencji, i tu obliczenia ręczne zawodzą, ludzie wybierają jedno równanie, odkrywają, że brakuje wartości i zaczynają od nowa, zamiast ją rozwiązać. Rowerzysta zwalnia z 27 m/s do 9 m/s przy −2 m/s².
Jak daleko podróżują i ile to trwa?
Krok 1: znajdź czas. Znane: u = 27, v = 9, a = −2. Brak przemieszczenia, więc użyj v = u + at przearanżowanego dla t:
t = (v − u)/a = (9 − 27)/(−2) = (−18)/(−2) = 9 s
Krok 2: znajdź przemieszczenie. Teraz u, v, a i t są znane. Użyj s = ½(u + v)t:
s = 1/2(⟦UM0⟧ + ⟦UM1⟧) × ⟦SUM2⟧ = 1/2 × 36 × ⟦SUM4⟧ = 162 m
Zwróć uwagę na dwa ujemne czynniki znoszące się w kroku 1. Ujemne przyspieszenie o malejącej prędkości daje dodatni czas, tak jak musi. Jeśli czas wyjdzie ujemny, znak gdzieś w ustawieniu poszł nie tak.
Kalkulator automatycznie łączy te kroki i pokazuje oba, więc zadanie z dwoma równaniami wymaga nie więcej danych niż zadanie z jednym równaniem.
Przeczytaj wykresy ruchu
Trzy wykresy opisują ten sam ruch, a kształt każdego z nich wynika z równań. Kalkulator pobiera wszystkie trzy z rozwiązanych wartości. Przemieszczenie względem czasu. Przy stałym przyspieszeniu jest to parabola, ponieważ s zależy od t². Jej gradient w dowolnym punkcie to prędkość w danym momencie, stroma krzywa oznacza przyspieszenie.
Prędkość względem czasu. Prosta, ponieważ v = u + at jest liniowa w t. Jej gradient to przyspieszenie, a pionowe przecięcie to prędkość początkowa.
Przyspieszenie względem czasu. Linia pozioma, ponieważ przyspieszenie jest stałe. To założenie, na którym opiera się cały temat.
Zależność warta poznania: pole pod grafem prędkości i czasu równa się przemieszceniu. Dla stałego przyspieszenia ten obszar to trapez o równoległych bokach u i v oraz szerokości t, a jego pole to ½(u + v)t, co jest jednym z czterech równań. Wykres i równanie to to samo stwierdzenie.
Kalkulator zacienia ten obszar na wykresie prędkości i czasu. To standardowe pytanie egzaminowe i łatwiej go zobaczyć raz niż zapamiętać.
Zrozum ruch przyspieszony równomiernie
Te cztery równania mają zastosowanie tylko wtedy, gdy przyspieszenie jest stałe. To właśnie oznacza "równomiernie przyspieszone" i jest to realne ograniczenie, a nie kwestia techniczna.
Stałe przyspieszenie obejmuje dużą część wprowadzających problemów: obiekt w swobodnym spadku blisko powierzchni Ziemi z zaniedbanym oporem powietrza, pojazd hamujący w stałym tempie, krążek ślizgający się po lodzie przy stałym tarciu.
W każdym przypadku siła wywołująca przyspieszenie nie zmienia się podczas ruchu.
Nie obejmuje ruchu, w którym przyspieszenie się zmienia. Samochód, którego kierowca zwalnia gaz, oscylacja napędzana szyną, gdzie siła zależy od przemieszczenia ruchu, spadający obiekt, gdzie opór rośnie wraz z prędkością, żadna z tych kwestii nie może być rozwiązana za pomocą SUVAT. Wymagają rachunku różniczkowego, inaczej problem musi być podzielony na segmenty, na których przyspieszenie jest mniej więcej stałe.
Przydatna kontrola: jeśli zadanie opisuje siłę zmieniającą się podczas ruchu, cztery równania nie mają zastosowania. Jeśli siła jest stała, to mają zastosowanie.
Użyj standardowej grawitacji do swobodnego spadku
Zadania swobodnego spadku ustawiają przyspieszenie na g, czyli przyspieszenie spowodowane grawitacją Ziemi, które jest zdefiniowane dokładnie jako 9.80665 m/s². Większość podręczników skłania się do 9.81 lub 9.8, i każdy z tych trzech jest odpowiedni do pracy kursowej, o ile jesteś konsekwentny.
Znak zależy od twojej konwencji. Przyjęcie jako dodatnie daje g ujemne przy −9.80665 m/s²; usunięcie jako dodatnie daje dodatni efekt. Obie opcje działają. Ważne jest, że każda wielkość w zadaniu stosuje tę samą konwencję i że określasz, którą wybrałeś.
Obiekt upuszczony z odpoczynku spada z tobą = ⟦UM0⟧. Po ⟦UM1⟧ sekund, usuwając jako dodatni:
s = ut + 1/2at² = 0 + 1/2 × 9.80665 × 3² = 1/2 × 9.80665 × 9 = 44.13 m
To pomija dwie rzeczy. Opór powietrza, który ma znaczenie dla wszystkiego lekkiego lub szybkiego, piórko i młotek spadają razem tylko w próżni, a spadochroniarz osiąga prędkość graniczną właśnie dlatego, że opór rośnie, aż wyrównuje wagę. I lokalne wahania g, które wahają się od około 9.764 do 9.834 m/s² na powierzchni Ziemi z szerokością geograficzną i wysokością. Żadne z tych problemów nie ma znaczenia dla podręcznikowego problemu; oba mają znaczenie dla rzeczywistych pomiarów.
Często zadawane pytania
Czym są równania SUVAT?
SUVAT to mnemotechnika dla pięciu zmiennych w ruchu o stałym przyspieszeniu: przemieszczenie (s), prędkość początkowa (u), prędkość końcowa (v), przyspieszenie (a) i czas (t). Łączą je cztery równania, z których każde pomija jedną zmienną. Znajomość dowolnych trzech pozwala znaleźć pozostałe dwie, dlatego każde zadanie podręcznikowe podaje dokładnie trzy.
Jakiego równania kinematycznego powinienem użyć?
Zidentyfikuj zmienną, której nie znasz ani nie potrzebujesz, a następnie użyj równania, które ją pomija. Bez przemieszczenia użyj v = u + at. Bez prędkości końcowej użyj s = ut + ½at². Bez przyspieszenia użyj s = ½(u + v)t. Bez czasu użyj v² = u² + 2as. Kalkulator Kinematyki podaje nazwę równaniu i przyczynie każdego wpisanego zadania.
Czym jest ruch przyspieszony jednolicie?
Ruch równomiernie przyspieszany to ruch, w którym przyspieszenie pozostaje stałe przez cały czas. Spadek swobodny przy pominięciu oporu powietrza, hamowanie stałe i ruch o stałej sile się kwalifikują. Ruch, w którym siła zmienia się w trakcie interwału, sprężyna oscylująca, obiekt osiągający prędkość końcową, nie zachodzi do niego i nie można do niego zastosować czterech równań kinematycznych.
Czy równania kinematyczne działają przy swobodnym spadaniu?
Tak. Swobodny spadek w pobliżu powierzchni Ziemi ma stałe przyspieszenie 9.80665 m/s², więc wszystkie cztery równania mają zastosowanie przy a ustawionym na g. Wybierz konwencję znaków i ją zachowaj: przyjęcie jako dodatnie daje g ujemne. Równania pomijają opór powietrza, więc są dokładne dla gęstych, zwartych obiektów na krótkich spadach i niedokładne dla lekkich lub szybkich.
Dlaczego potrzebuję trzech wartości, aby rozwiązać problem?
Cztery równania zawierają po cztery z pięciu zmiennych, więc każde równanie wymaga trzech znanych, aby rozwiązać czwarte. Przy trzech znanych kalkulator zawsze może znaleźć kolejne, a przy czterech piąte. Dwie wartości pozostawiają więcej niż jedną nieznaną w każdym równaniu, a układ nie ma unikalnego rozwiązania.
Czy przyspieszenie może być ujemne?
Tak, i zwykle oznacza to hamowanie. Przyspieszenie jest wektorem, więc jego znak rejestruje kierunek względem wybranej osi dodatniej. Obiekt zwalniający podczas poruszania się w kierunku dodatnim ma ujemne przyspieszenie. Obiekt przyspieszający w kierunku ujemnym również ma ujemne przyspieszenie. Znak opisuje kierunk, a nie to, czy coś przyspiesza.
Co się stanie, jeśli obiekt zmieni kierunek?
Równania to poprawnie obsługują, o ile przyspieszenie pozostaje stałe, a znaki są spójne. Piłka rzucona w górę ma dodatnią prędkość, potem zero na górze, a następnie ujemna w drodze w dół, z g ujemnym przez cały czas. Jej przemieszczenie po złapaniu wynosi zero, a pokonany dystans to dwukrotność wysokości szczytowej, dlatego te dwie wielkości nie są wymienne.
Czy te równania uwzględniają opór powietrza?
Nie. Równania kinematyczne zakładają stałe przyspieszenie, a opór powietrza rośnie wraz z prędkością, więc obiekt doświadczający tego nie przyspiesza równomiernie. Wyniki są dokładne dla gęstych, zwartych obiektów na krótkich dystansach, a coraz bardziej błędne dla lekkich, dużych prędkości lub długich upadków. Spadochroniarz, osiągający prędkość graniczną, jest najwyraźniejszym przypadkiem, gdy całkowicie zawodzą.
Dlaczego czasem rozwiązywanie czasu daje dwie odpowiedzi?
Ponieważ s = ut + ½at² jest kwadratowy w t, a pocisk przechodzi przez daną wysokość dwa razy, raz wznosząc, raz opadając. Oba dodatnie pierwiastki są fizycznie rzeczywiste i kalkulator raportuje oba, oznaczając to odpowiadającemu przejściu w górę. Ujemne pierwiastki opisują czasy przed rozpoczęciem ruchu i są odrzucane.
Podsumowanie
Kalkulator Kinematyki rozwiązuje ruch o stałym przyspieszeniu z dowolnych trzech z przemieszczeniem, prędkością początkową, prędkością końcową, przyspieszeniem i czasem, zwracając pozostałe dwa wraz z użytym równaniem i powodem, dla którego to równanie ma zastosowanie.
Cztery równania opisują ten ruch, a każde pomija dokładnie jedną zmienną, więc zasada wyboru polega po prostu na użyciu równania, które pomija wielkość, której nie znasz ani nie potrzebujesz.
Problemy wymagające dwóch równań są automatycznie łączone w łańcuch. Równania obowiązują tylko wtedy, gdy przyspieszenie jest stałe, co obejmuje swobodny spadek przy pominięciu oporu powietrza i hamowanie stałe, ale nie uwzględnia sprężyn, spadków o ograniczeniu oporu oraz wszelkich ruchów, gdzie siła zmienia się w tym czasie.