メタ説明(156): 変位、初速度、最終速度、加速度、時間の任意の3を入力してください。キネマティクス計算機は正しい方程式を選び、その適用理由を示します。
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キネマティクス計算機は、4つの運動学的方程式を用いて一定加速度下での運動問題を解きます。5つの変数のうち任意の3つ、変位、初期速度、最終速度、加速度、時間を入力し、計算機は残りの2つを見つけ、適用した方程式を述べ、なぜその方程式が適合したのかを説明します。
その最後の部分がポイントです。正しい方程式を選ぶことは、すべての入門力学の授業で教えられるスキルであり、方程式の名前を明かさずに数値を返す電卓は何も教えません。
3つの既知値から任意の運動学問題を解く
定加速度運動は5つの量で記述され、任意の3つを知ると残りの2つが固定されます。これがこのトピックの全体の構造であり、教科書の問題が正確に3つの数値を出す理由でもあります。
| シンボル | 数量 | SI単位 |
|---|---|---|
| s | 移動 | メートル(m) |
| u | 初速度 | メートル毎秒(m/s) |
| v | 最終速度 | メートル毎秒(m/s) |
| a | 加速度 | メートル毎秒の二乗(m/s²) |
| t | 時間 | 秒(s) |
知っている3つを埋め、他は空欄にします。計算機は未知数の両方を解き、時には1ステップ、時には2ステップで解き、各ステップに使った方程式を表示します。
各フィールドには独自の単位選択器があるため、キロメートル毎時で秒単位で表される問題は手動換算を必要としません。科学的表記は3.45e9形式で動作します。
3つ以上の値を入力すると、計算機は3から解き、残りを結果と照合します。合わない場合は「同意」と表示されますが、これは通常物理ミスではなくタイプミスを意味します。
適切な運動学的方程式を選ぶ
4つの方程式が一定加速度運動を記述し、それぞれ5つの変数のうち正確に1つを省略しています。その単一の観察が選択則の全てです。
| 方程式 | 省略 | 持っていない場合に使う |
|---|---|---|
| v = u + at | s | 移動 |
| s = ut + ½at² | v | 最終速度 |
| s = ½(u + v)t | a | 加速度 |
| v² = u² + 2as | t | 時間 |
つまり、方法はこうです:知らない変数を特定し、それを省略する方程式を使う。
初期速度、加速度、時間が与えられると変位はないので、v = u + atが適用されます。初期速度、加速度、変位が与えられ、利用可能な時間がなければv² = u² + 2asが適用されます。この方程式は選択ではなく、目の前のページから導かれます。
計算機は入力の上のパネルで、入力したすべての問題に対してこの理由を示しています。数回読むとルールが自動で動作し、計算機を手に取るよりも速くなります。
4つの運動学的方程式を適用する
各方程式は、その方程式に含まれる任意の変数を解くため、これらの再配置は手元に置く価値があります。v = u + at `` v = u + at u = v − at a = (v − u)/t t = (v − u)/a ``
s = ut + 1/2at² `` s = ut + ½at² u = (s − ½at²)/t a = 2(s − ut)/t² ``
t を解くには二次式が必要で、t は二乗に見えるからです: `` t = [−u ± √(u² + 2as)] / a ``
そこから2つの根が生まれ、どちらも物理的に実在し得ます。上に投げたボールは任意の高さを2回通過し、1回は上向き、1回は下向きなので、正の2回は誤りではなく正解です。計算機は両方を報告し、どちらがどちらかを判断します。負の根は捨てられ、その理由を説明する注記が付かれます。
s = 1/2(u + v)t `` s = ½(u + v)t u = 2s/t − v v = 2s/t − u t = 2s/(u + v) ``
v² = u² + 2as `` v = √(u² + 2as) u = √(v² − 2as) a = (v² − u²)/(2s) s = (v² − u²)/(2a) ``
平方根の下の量が負になると、物体はその変位に到達しません。10 m/s で投げ上げられたボールは 20 m に到達できず、計算機は虚数を返すのではなく
u、a、t を与えられた最終速度を解く
車は5 m/sで加速し、2 m/s²で3秒の間加速します。最終速度は11 m/sです。既知のものをリストアップしてください。** u = 5 m/s、a = 2 m/s²、t = 3 s。排気量は与えられず、求められるものもありません。
⟦数字0⟧。方程式を選べ。 変位がないため、sを省略した式はv = u + atとなります。
3。代用。 v = 5 + (2 × 3)
4。解決。 v = 5 + 6 = 11 m/s
計算機は5番目の変数も返します。u、a、t、そして今はvがすべて既知の場合、変位はs = ½(u + v)tから導かれます。
s = 1/2(5 + 11) × 3 = 1/2 × 16 × 3 = 24 m
つまり、車は24メートルを走りながら11 m/sに達します。未知数は2つ解き、2つの方程式が出て、2つ目の方程式は最初の方程式の答えを使いました。
二段階の問題を解く
多くの問題は2つの方程式を連続して使う必要があり、ここで手計算がうまくいかず、1つの方程式を選んで値が足りないことに気づき、解くのではなく最初からやり直すことがあります。自転車乗りは−27 m/sから−2 m/s²で減速します。
どれくらい遠くまで移動し、どれくらいの時間がかかるのでしょうか?
ステップ 1:時間を見つける。 既知の方法:u = 27、v = 9、a = −2。変位はないので、v = u + atをtに再配置してください:
t = (v − u)/a = (9 − 27)/(−2) = (−18)/(−2) = 9 s
ステップ 2:変位を見つける。 これでu、v、a、tはすべて既知です。s = ½(u + v)tを用います:
s = 1/2(27 + 9) × 9 = 1/2 × 36 × 9 = 162 m
2つの負の符号が 1 のステップで打ち消し合うことに注目してください。速度が減る負の加速度は正の時間を与え、それは必然です。もし時間が負であれば、設定のどこかで符号が間違っていることを意味します。
計算機はこれらのステップを自動的に連鎖させ、両方を表示するため、二式問題は一式問題と同じくらいの入力量しか必要としません。
モーショングラフを読んでください
3つのグラフが同じ運動を表し、それぞれの形状は方程式から導かれます。計算機は解いた値から3つすべてを導きます。時間に対する変位。 一定加速度ではこれは放物線です。なぜならsはt²に依存しているからです。任意の点での勾配はその瞬間の速度であり、急な曲線は速度が上がることを意味します。
時間に対する速度。時間に対する速度。直線です。なぜならv = u + atはtにおいて線形だからです。勾配は加速度、垂直切片は初期速度です。
時間に対する加速度。 加速度が一定であるため水平線です。これがこのトピック全体の前提です。
知っておくべき関係は次の通りです:速度-時間グラフの下の面積は変位に等しい。 一定加速度の場合、その面積は平行な辺がuとv、幅がtを持つ台形で、その面積は½(u + v)tであり、これは4つの方程式のうちの一つです。グラフと方程式は同じ命題です。
計算機はその領域を速度時間プロットに陰影で表示します。これは標準的な試験問題で、暗記するよりも一度見やすいです。
一様加速運動を理解する
これら4つの方程式は加速度が一定の場合にのみ適用されます。これが「均一加速」の意味であり、技術的な問題ではなく実際の制約です。
一定加速度は入門的な問題の大部分をカバーします。例えば、地表近くで空気抵抗を無視して自由落下中の物体、一定の速度でブレーキをかける車両、一定摩擦で氷の上を滑るパックなどです。
いずれの場合も、加速度を生み出す力は運動中に変化しません。
加速度が変動する動きは扱っていません。スロットルを緩める車、転位に依存するバネ駆動の振動、速度とともに抗力が増大する落下物体など、SUVATでは解けません。それらは微積分が必要で、問題を加速度がほぼ一定の区間に分割しなければなりません。
有用な検証:問題が運動中に変化する力を記述している場合、4つの方程式は適用されません。力が一定であれば適用されます。
自由落下には標準重力を使います
フリーフォール問題は加速度を地球の重力による加速度gに設定し、正確には9.80665 m/s²と定義されます。ほとんどの教科書は9.81または9.8に丸められ、この3つのいずれかが一貫していれば授業で問題ありません。
符号はあなたの規則によって異なります。正として取り込むと−9.80665 m/s²で−−CODE0⟧が負になります。正として取り下げると正になります。どちらでも可能です。重要なのは、問題のすべての量が同じ慣習を用い、どのものを選んだかを明示することです。
静止から落とした物体はあなたと共に落ちます = 0。3秒の後、正のものとして降ります:
s = ut + 1/2at² = 0 + 1/2 × 9.80665 × 3² = 1/2 × 9.80665 × 9 = 44.13 m
しかし、この点は無視されています。空気抵抗は軽くて速いものに影響します。羽根とハンマーは真空中でのみ一緒に落ちます。スカイダイバーが終端速度に達するのは、抵抗が重量の均衡まで増大するからです。そして、地球の緯度と高度に応じて約 9.764 から 9.834 m/s² までの範囲の局所的な変動です。教科書的な問題にはどちらも関係ありません。しかし、実際の測定にはどちらも重要です。
よくある質問
SUVATの方程式とは何でしょうか?
SUVATは、定数加速度運動における5つの変数、すなわち変位(s)、初速度(u)、最終速度(v)、加速度(a)、時間(t)の記憶術です。4つの方程式がそれらを結びつけ、それぞれ1つの変数を省略しています。任意の3つを知っていれば、残りの2つを見つけることができるため、教科書上の問題はちょうど3つを提供します。
どの運動学的方程式を使うべきでしょうか?
知らない変数を特定し、それを省略した方程式を使います。変位なしではv = u + atを使います。最終速度なしではs = ut + ½at²を使います。加速度なしではs = ½(u + v)tを使います。時間なしではv² = u² + 2asを使いましょう。キネマティクス計算機は、入力されたすべての問題の方程式と理由を名付けます。
一様加速運動とは何ですか?
均一加速運動とは、加速度が全て一定に保たれる運動のことです。空気抵抗を無視した自由落下、安定したブレーキ、一定の力の運動はすべて該当します。区間中に力が変化し、バネが振動し、物体が終端速度に達し、4つの運動学的方程式を適用できない運動は変化しません。
運動学的方程式は自由落下に適用されますか?
はい。地表近くの自由落下は9.80665 m/s²の一定加速度を持つため、aをgに設定した状態で4つの式すべてが適用されます。記号の規則を選び、それを保持します:正の方程式はg負の方程式となります。この方程式は空気抵抗を無視するため、短距離落下では密度が高くコンパクトな物体には正確で、軽いものや高速なものには不正確です。
なぜ問題を解くのに3つの値が必要なのでしょうか?
4つの方程式はそれぞれ5つの変数のうち4つを含むため、単一の方程式は4つ目の変数を解くのに3つの知りが必要です。3つの既知があれば、計算機は常に1つ見つけ、4つなら5つ目を見つけることができます。2つの値がすべての方程式に未知数を残し、システムには一意の解がありません。
加速度は負になり得るのでしょうか?
はい、通常は減速を意味します。加速度はベクトルなので、その符号は選んだ正の軸に対する方向を示します。正方向に移動しながら減速している物体は負の加速度を示します。負の方向に加速する物体も負の加速度を示します。符号は方向を示していて、何かが加速しているかどうかを示しません。
もし物体の方向が変わったらどうなるのでしょうか?
加速度が一定で符号が一貫している限り、方程式は正しく処理します。上に投げられたボールは正の速度を持ち、上ではゼロ、下降方向は負の速度となり、全線でgが負になります。キャッチされた時の変位はゼロですが、移動距離はピーク高さの2倍であるため、この二つの量は交換できません。
これらの方程式は空気抵抗を考慮していますか?
いいえ。運動学的方程式は一定の加速度を仮定しており、空気抵抗は速度とともに増加するため、それを受ける物体は均一に加速しません。結果は短距離の密度の高いコンパクトな物体では正確ですが、軽い物体や高速、長い落下ではますます誤りが増しています。スカイダイバーが終端速度に達した場合、完全に失敗する最も明確なケースです。
なぜ時間を解くと二つの答えが出ることがあるのでしょうか?
なぜならs = ut + ½at²はtの二次であり、投射体はある高さを2回通過するからです。1回は上昇、1回は下降します。両方の正の根は物理的に実数であり、計算機は両方を報告し、これが上向き通過に対応するラベル付けです。負の根は運動が始まる前の時間を表し、その場合は破棄されます。
まとめ
キネマティクス計算機は、変位、初期速度、最終速度、加速度、時間の任意の3つの定加速度運動を解き、残りの2つと使用した方程式、そしてその方程式が適用される理由を返します。
この動きを表す方程式は4種類あり、それぞれ1つの変数を省略しているため、選択則は知らない量を除外する方程式を使うことです。
2つの方程式を必要とする問題は自動的に連鎖されます。この方程式は加速度が一定である場合にのみ成り立ち、空気抵抗を無視した自由落下と定常ブレーキをカバーしますが、バネ、抗力制限落下、そして間隔中に力が変化する運動は除外されます。