SEO 타이틀 (57): 운동학 계산기, 임의의 3 값에서 SUVAT을 풀어
운동학 계산기는 네 가지 운동학 방정식을 사용하여 일정한 가속도 하에서의 운동 문제를 해결합니다. 변위, 초기 속도, 최종 속도, 가속도, 시간 등 다섯 가지 변수 중 세 가지를 입력하면, 계산기는 나머지 두 변수를 찾아 어떤 방정식을 적용했는지 명시하며, 왜 그 방정식이 적합한지 설명합니다.
마지막 부분이 핵심입니다. 올바른 방정식을 선택하는 것은 모든 입문 역학 강의에서 가르치는 기술이며, 방정식 이름 없이 숫자를 반환하는 계산기는 아무것도 가르쳐주지 않습니다.
세 가지 알려진 값으로 임의의 운동학 문제를 해결한다
일정한 가속도 운동은 다섯 개의 양으로 설명되며, 세 가지를 알면 나머지 두 개가 고정됩니다. 이것이 이 주제의 전체 구조이며, 모든 교과서 문제는 정확히 세 개의 숫자를 제공합니다.
| 상징 | 수량 | SI 단위 |
|---|---|---|
| s | 이주 | 미터 (m) |
| u | 초기 속도 | 미터/초(m/s) |
| v | 최종 속도 | 미터/초(m/s) |
| a | 가속 | 미터/초의 제곱 (m/s²) |
| t | 시간 | 초(s) |
알고 있는 세 가지를 채우고 나머지는 빈칸으로 남겨두세요. 계산기는 두 가지 미지수에 대해 한 단계, 두 단계에 걸쳐 해결하며, 각 단계를 사용한 방정식으로 보여줍니다.
각 필드마다 단위 선택기가 있으므로, 킬로미터/시와 초 단위로 표시된 문제는 수동 변환이 필요 없습니다. 과학적 표기법은 3.45e9 형태로 작동합니다.
세 개 이상의 값을 입력하면 계산기가 세 값을 풀고 나머지는 결과와 대조합니다. 일치하지 않으면 그렇게 표시되는데, 이는 보통 물리 오수가 아니라 오타를 의미합니다.
올바른 운동학 방정식을 선택하세요
네 개의 방정식이 일정한 가속도 운동을 설명하며, 각각은 다섯 변수 중 정확히 하나를 제외합니다. 그 단일 관찰이 전체 선택 규칙입니다.
| 방정식 | 생략 | 없을 때 사용하세요 |
|---|---|---|
| v = u + at | s | 이주 |
| s = ut + ½at² | v | 최종 속도 |
| s = ½(u + v)t | a | 가속 |
| v² = u² + 2as | t | 시간 |
그래서 방법은 다음과 같습니다: 모르는 변수를 찾아내고, 그 변수를 생략하는 방정식을 사용하세요.
초기 속도, 가속도, 시간이 주어졌을 때 변위가 없으므로 v = u + at가 적용됩니다. 초기 속도, 가속도, 변위가 주어졌고 시간이 없으니 v² = u² + 2as가 적용됩니다. 이 방정식은 선택이 아니라, 앞에 있는 페이지에서 도출됩니다.
계산기는 입력 패널에 입력한 모든 문제에 대해 이 논리를 명시합니다. 몇 번 읽으면 규칙이 자동으로 적용되는데, 계산기를 꺼내는 것보다 훨씬 빠릅니다.
네 가지 운동학 방정식을 적용하세요
각 방정식은 포함된 변수에 대해 풀며, 재배열은 손에 넣을 가치가 있습니다. v = u + at `` v = u + at u = v − at a = (v − u)/t t = (v − u)/a ``
s = ut + 1/2at² `` s = ut + ½at² u = (s − ½at²)/t a = 2(s − ut)/t² ``
t를 푸는 것은 이차 공식이 필요한데, t가 제곱된 형태로 나타나기 때문입니다: `` t = [−u ± √(u² + 2as)] / a ``
그 안에서 두 개의 근이 나오며, 둘 다 물리적으로 실재할 수 있습니다. 위로 던진 공은 주어진 높이를 두 번 통과하는데, 한 번은 위로, 한 번은 아래로 내려가므로, 양의 두 번이 정답이지 오류가 아닙니다. 계산기는 두 번 모두 보고하고 어느 쪽이 어느 쪽인지 알려줍니다. 음의 근은 버려지고, 그 이유를 설명하는 메모가 붙습니다.
s = 1/2(u + v)t `` s = ½(u + v)t u = 2s/t − v v = 2s/t − u t = 2s/(u + v) ``
v² = u² + 2as `` v = √(u² + 2as) u = √(v² − 2as) a = (v² − u²)/(2s) s = (v² − u²)/(2a) ``
제곱근 아래의 양이 음수가 되면, 물체는 그 변위에 도달하지 못한다. 10 m/s 속도로 던져진 공은 20 m에 도달할 수 없으며, 계산기는 허수를 반환하는 대신 그렇게 말한다.
u, a, t 주어진 최종 속도를 구합니다
자동차는 5 m/s로 출발하고, 2 m/s² 초간 가속합니다. 최종 속도는 11 m/s입니다. 1. 알려진 것을 나열하세요. u = 5 m/s, a = 2 m/s², t = 3 s. 배기량은 주어지지 않고 요구하지도 않습니다.
⟦숫자0⟧. 방정식을 선택해. 변위가 없으므로 s를 생략하는 방정식은 v = u + at가 적용됩니다.
⟦넘버0⟧. 대체 의사. v = 5 + (2 × 3)
⟦숫자0⟧. 해결해. v = 5 + 6 = 11 m/s
계산기는 다섯 번째 변수도 반환합니다. u, a, t, 그리고 이제 v가 모두 알려진 상태에서, 변위는 s = ½(u + v)t에서 따른다:
s = 1/2(5 + 11) × 3 = 1/2 × 16 × 3 = 24 m
그래서 자동차는 24 미터를 이동하면서 11 m/s에 도달합니다. 두 개의 미수 방정식이 모두 풀렸고, 두 번째 방정식은 첫 번째 방정식의 답을 사용했습니다.
2단계 문제 해결
많은 문제들이 두 개의 방정식을 연속으로 필요로 하는데, 이 부분에서 손 계산이 잘못됩니다. 사람들은 한 개의 방정식을 골랐다가 값이 빠진 것을 발견하고 처음부터 다시 시작하게 됩니다. 자전거 이용자는 −27 m/s에서 9 m/s² 지점에서 27 m/m/s로 감속합니다.
얼마나 멀리 이동하고, 얼마나 걸리나요?
단계 1: 시간을 찾아라. 알려진 값: u = 27, v = 9, a = −2. 변위가 없으므로 v = u + at를 t로 재배열하여 사용하세요:
t = (v − u)/a = (9 − 27)/(−2) = (−18)/(−2) = 9 s
단계 2: 변위 찾기. 이제 u, v, a, t가 모두 알려져 있다. s = ½(u + v)t를 사용:
s = 1/2(27 + 9) × 9 = 1/2 × 36 × 9 = 162 m
두 음수가 1 단계에서 상쇄되는 것을 주목하세요. 속도가 감소하는 음의 가속도는 반드시 양의 시간을 제공합니다. 시간이 음수로 나오면 설정 중 어딘가에서 부호가 잘못된 것입니다.
계산기는 이 단계들을 자동으로 연쇄 처리하며 두 단계를 모두 보여주므로, 두 방정식 문제는 한 방정식 문제보다 더 많은 입력을 필요로 하지 않습니다.
모션 그래프를 읽어보세요
세 개의 그래프가 같은 운동을 설명하며, 각각의 형태는 방정식에서 도출됩니다. 계산기는 세 가지 모두를 풀어 구한 값에서 도출합니다. 시간에 대한 변위. 일정한 가속도에서는 s가 t²에 의존하기 때문에 포물선입니다. 어느 지점에서의 구배는 그 순간의 속도이며, 가파르게 변하는 곡선은 속도를 의미합니다.
시간에 대한 속도. 직선입니다. 왜냐하면 v = u + at는 t에서 선형이기 때문입니다. 그 기울기는 가속도이고, 수직 교차는 초기 속도입니다.
시간에 대한 가속도. 가속도가 일정하기 때문에 수평선입니다. 이것이 전체 주제의 전제입니다.
알아야 할 관계: 속도-시간 그래프 아래의 면적은 변위와 같다. 일정한 가속도의 경우, 그 면적은 평행한 변이 u와 v, 너비가 t인 사다리꼴이며, 그 면적은 ½(u + v)t로, 네 가지 방정식 중 하나이다. 그래프와 방정식은 같은 명제이다.
계산기는 그 영역을 속도-시간 그래프에 음영 표시합니다. 표준 시험 문제이며 한 번 보는 것이 암기하기보다 쉽습니다.
균일하게 가속된 운동을 이해하세요
이 네 가지 방정식은 가속도가 일정할 때만 적용됩니다. 이것이 바로 '균일하게 가속된'이 의미하는 바이며, 기술적인 문제가 아니라 실제 제한입니다.
일정한 가속도는 입문 문제의 상당 부분을 설명한다: 지구 표면 근처에서 공기 저항이 무시된 자유낙하 중인 물체, 일정한 속도로 제동하는 차량, 일정한 마찰로 얼음 위를 미끄러지는 퍽 등.
각 경우마다 가속도를 일으키는 힘은 운동 중에 변하지 않습니다.
가속도가 변하는 운동은 포함하지 않습니다. 운전자가 스로틀을 떼는 자동차, 배기량에 따라 힘이 달라지는 스프링 구동 진동, 속도에 따라 항력이 증가하는 낙하 물체 등은 SUVAT로는 해결할 수 없습니다. 이런 것들은 미적분이 필요하거나, 문제를 가속도가 대략 일정한 구간으로 나누어야 합니다.
유용한 검증: 만약 문제가 운동 중에 변하는 힘을 설명한다면, 네 가지 방정식은 적용되지 않는다. 힘이 일정하다면 적용된다.
자유 낙하에는 표준 중력을 사용하세요
자유낙하 문제는 가속도를 g, 즉 지구 중력에 의한 가속도로 설정하며, 정확히 9.80665 m/s²로 정의됩니다. 대부분의 교과서는 9.81 또는 9.8로 반올림하며, 이 세 가지 중 어느 것도 일관성 있는 한 과제에 적합합니다.
기호는 당신의 관례에 따라 달라집니다. 양수로 취하면 −9.80665 m/s²에서 음수가 됩니다; 양수로 내리면 양수가 됩니다. 둘 다 가능합니다. 중요한 것은 문제 내 모든 양이 같은 관례를 사용하고, 어떤 방식을 선택했는지 명시해야 한다는 점입니다.
정지에서 떨어뜨린 물체는 당신과 함께 떨어집니다 = 0. 3초 후, 양수로 내려가면:
s = ut + 1/2at² = 0 + 1/2 × 9.80665 × 3² = 1/2 × 9.80665 × 9 = 44.13 m
이 두 가지는 무시됩니다. 공기 저항은 가볍거나 빠른 물체에 중요하며, 깃털과 망치는 진공 상태에서만 함께 떨어지고, 스카이다이버가 항력이 무게 균형을 맞출 때까지 증가하기 때문에 종단 속도에 도달합니다. 그리고 g의 국지적 변동, 즉 위도와 고도에 따라 지구 표면에서 약 9.764에서 9.834 m/s²까지 변동합니다. 교과서적 문제에는 둘 다 중요하지 않으며; 실제 측정에는 둘 다 중요합니다.
자주 묻는 질문
SUVAT 방정식은 무엇인가요?
SUVAT는 일정한 가속도 운동에서 다섯 변수인 변위(s), 초기 속도(u), 최종 속도(v), 가속도(a), 시간(t)을 기억하는 것입니다. 네 개의 방정식이 이들을 연결하지만, 각각 한 변수를 생략합니다. 세 가지를 알면 나머지 두 변수를 찾을 수 있어, 그래서 교과서 문제마다 정확히 세 가지를 제공합니다.
어떤 운동학 방정식을 사용해야 할까요?
모르는 변수를 식별한 후, 그 변수를 빼는 방정식을 사용하세요. 변위 없이 v = u + at를 사용하세요. 최종 속도 없이 s = ut + ½at²를 사용하세요. 가속도 없이 s = ½(u + v)t를 사용하세요. 시간 없이 v² = u² + 2as를 사용하세요. 운동학 계산기는 입력된 모든 문제의 방정식과 이유를 표시합니다.
균등 가속 운동이란 무엇인가요?
균일하게 가속된 운동은 가속도가 내내 일정하게 유지되는 운동입니다. 공기 저항을 무시한 자유 낙하, 안정적인 제동, 일정한 힘 운동이 모두 해당됩니다. 구간 동안 힘이 변하고, 스프링이 진동하며, 물체가 종단 속도에 도달하는 경우는 변하지 않고, 네 가지 운동학 방정식을 적용할 수 없는 경우입니다.
운동학 방정식이 자유 낙하에 적용되나요?
네. 지구 표면 근처의 자유 낙하는 9.80665 m/s²의 일정한 가속도를 가지므로, a가 g로 설정되면 네 가지 방정식 모두 적용됩니다. 기호 규칙을 선택하고 유지합니다: 양수로 받아들이면 g가 음수로 변환됩니다. 이 방정식들은 공기 저항을 무시하므로, 짧은 낙하에서는 밀도가 높은 조밀한 물체에 대해서는 정확하지만 가벼운 물체나 빠른 물체에는 부정확합니다.
왜 문제를 푸는 데 세 가지 값이 필요할까요?
네 개의 방정식은 각각 다섯 가지 변수 중 네 개를 포함하므로, 하나의 방정식은 네 번째 변수를 푸는 데 세 개의 노운이 필요합니다. 세 개의 알려진 방정식이면 계산기는 항상 한 개의 노운을 더 찾을 수 있고, 네 개가 있으면 다섯 번째 노운을 찾을 수 있습니다. 두 개의 값은 모든 방정식에서 두 개 이상의 미지값을 남기며, 시스템은 고유한 해를 갖지 않습니다.
가속도가 음수일 수 있나요?
네, 보통 감속을 의미합니다. 가속도는 벡터이기 때문에, 그 부호는 선택한 양의 축에 대한 방향을 나타냅니다. 양의 방향으로 움직이면서 느려지는 물체는 음의 가속도를 가집니다. 음의 방향으로 속도를 내는 물체도 음의 가속도를 가집니다. 기호는 방향을 나타내지, 어떤 물체가 속도를 내는지 여부를 나타내지 않습니다.
물체가 방향을 바꾸면 어떻게 되나요?
가속도가 일정하고 기호가 일관되어 있다면 방정식은 올바르게 처리합니다. 위로 던지는 공은 양의 속도를 가지고, 위에서는 0, 내려갈 때는 음수이며, 전체적으로 g가 음수입니다. 공이 잡혔을 때 변위는 0이고, 이동 거리는 최대 높이의 두 배이므로 두 양은 교환 불가능합니다.
이 방정식들이 공기 저항을 고려하나요?
아니요. 운동학 방정식은 일정한 가속도라고 가정하며, 공기 저항은 속도에 따라 증가하므로 이를 경험하는 물체는 균일하게 가속하지 않습니다. 결과는 단거리에서 밀도가 높고 조밀한 물체에서는 정확하지만, 가벼운 물체, 고속 또는 긴 낙하에서는 점점 더 잘못됩니다. 스카이다이버가 종속 속도에 도달하는 것은 완전히 실패하는 가장 명확한 사례입니다.
왜 시간을 푸는 것이 때때로 두 가지 답을 주나요?
왜냐하면 s = ut + ½at²는 t에서 이차이기 때문에, 투사체는 주어진 높이를 두 번 통과하는데, 한 번은 상승, 한 번은 하강합니다. 양의 근 모두 물리적으로 실수이며, 계산기는 두 가지 모두를 보고하여 상향 통과에 해당하는 라벨링을 합니다. 음의 근은 운동이 시작되기 전의 시간을 나타내며 폐기됩니다.
요약
운동학 계산기는 변위, 초기 속도, 최종 속도, 가속도, 시간 중 임의의 세 가지 일정한 가속도 운동을 풀고, 나머지 두 가지를 사용한 방정식과 그 방정식이 적용되는 이유를 반환합니다.
네 개의 방정식이 이 운동을 설명하며, 각각 정확히 한 가지 변수를 생략하므로, 선택 규칙은 당신이 알지도 필요도 없는 양을 제외하는 방정식을 사용하는 것입니다.
두 개의 방정식이 필요한 문제는 자동으로 연쇄 처리됩니다. 이 방정식들은 가속도가 일정할 때만 성립하며, 이는 공기 저항을 무시한 자유 낙하와 안정적인 제동을 포함하지만 스프링, 항력 제한 낙하, 그리고 구간 동안 힘이 변하는 운동은 제외합니다.