삼각형 계산기

삼각형 계산기는 6개의 측정값 중 3개, 즉 3개의 변과 3개의 각도에서 삼각형을 풀고 입력된 치수에 그려진 나머지 값, 면적, 둘레 및 레이블이 지정된 다이어그램을 반환합니다. 감지한 사례의 이름을 지정하고, 어떤 정리가 각 단계를 해결했는지 보여주고, 두 개의 서로 다른 삼각형이 동일한 측정값에 맞는 모호한 사례를 처리합니다.

아래에 설명된 한 가지 중요한 예외를 제외하고 세 가지 측정을 통해 삼각형이 고정됩니다. 알고 있는 내용을 입력하면 계산기가 나머지 내용을 찾아 결과를 직접 확인할 수 있도록 작업 내용을 표시합니다.

세 가지 측정에서 삼각형을 푼다

삼각형에는 6개의 측정값(3개의 변 길이와 3개의 내각)이 있습니다. 그 중 3개를 알면 적어도 하나가 변인 한 전체 삼각형이 결정됩니다. 이것이 바로 모든 삼각형 문제가 정확히 세 가지 정보를 제공하는 이유입니다.

세 변, 두 변과 각도, 두 각도와 한 변 등 유효한 조합을 입력하세요. 계산기는 어떤 조합이 있는지 식별하고, 적합한 방법을 선택하고, 다른 세 가지 측정값을 해결합니다. 또한 면적, 둘레, 세 높이, 중앙값, 내접원과 외접원의 반지름을 반환합니다.

각 측정값에는 고유한 단위가 있으며 각도는 도 또는 라디안으로 입력할 수 있습니다. 다이어그램은 숫자와 일치하도록 다시 그려지며 모든 면과 각도에 라벨이 지정되어 모양이 추상적인 것이 아니라 눈에 띄게 됩니다.

어떤 케이스인지 확인하세요

삼각형을 푸는 방법은 알려진 세 가지 측정값에 따라 달라집니다. 수학자들은 변(S)과 각도(A)의 패턴에 따라 이러한 사례의 이름을 지정하며 사례를 식별하는 것이 모든 솔루션의 첫 번째 단계입니다.

Case	You know	Method
SSS	three sides	law of cosines
SAS	두 변과 그 사이의 각도	코사인의 법칙, 그 다음은 사인의 법칙
ASA	두 개의 각도와 그 사이의 측면	각도 합, 사인 법칙
AAS	두 개의 각도와 그 사이에 없는 변	각도 합, 사인 법칙
SSA	두 변과 그 사이에 없는 각도	사인 법칙, 모호한 경우

문자는 측정값이 삼각형 주위에 배치되는 순서를 기록합니다. SAS는 알려진 각도가 알려진 두 변 *사이*에 있음을 의미합니다. SSA는 그렇지 않다는 것을 의미합니다. 그 차이는 보이는 것보다 더 중요합니다. 왜냐하면 SSA는 두 가지 답을 가질 수 있는 유일한 사례이기 때문입니다.

계산기는 자동으로 사례를 감지하고 이름을 지정하므로 이 방법은 결코 추측이 아닙니다.

사인법칙으로 해결

사인 법칙은 각 변을 반대 각도의 사인과 연관시키고, 변과 반대 각도가 모두 알려진 ASA, AAS 및 SSA의 경우를 해결합니다.

a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)

모든 변을 그것을 향하는 각도의 사인으로 나눈 값은 동일한 비율을 제공합니다. 따라서 한 변과 반대 각도를 아는 것은 전체 삼각형의 비율을 설정하고, 다른 알려진 각도는 반대 변을 제공합니다.

ASA 또는 AAS 삼각형의 경우 세 번째 각도는 각도 합에서 먼저 나오고 세 내부 각도의 총합은 180도이며 사인 법칙은 알려지지 않은 두 변을 찾습니다. 이 방법은 직접적이며 단일 답변을 제공합니다.

코사인 법칙으로 풀기

코사인 법칙은 피타고라스 정리를 모든 삼각형에 일반화하고 사인 법칙이 시작될 수 없는 경우(SSS 및 SAS)를 해결합니다.

c² = a² + b² − 2ab·cos(C)

세 변이 모두 알려진 경우(SSS) 공식은 각 각도를 찾기 위해 재정렬됩니다.

cos(C) = (a² + b² − c²) / 2ab

두 변과 끼인각을 알고 있는 경우(SAS) 공식은 세 번째 변을 직접 찾은 후 사인 법칙에 따라 각도를 완성합니다. 각도 C가 90도이고 cos(C)가 0이고 공식이 a² + b² = c²로 붕괴되면 코사인 법칙에는 직각 특수 사례로 피타고라스 정리가 포함됩니다.

모호한 SSA 케이스 처리

SSA는 학생과 계산기 모두를 방해하는 경우이며 삼각형 계산기는 대부분의 경쟁업체가 수행하지 않는 작업을 수행합니다. 즉, 처음 찾은 삼각형뿐만 아니라 유효한 모든 삼각형을 반환합니다.

두 변과 그 사이에 있지 않은 각도를 알고 있는 경우 두 개의 서로 다른 삼각형, 하나의 삼각형 또는 전혀 없음으로 제약 조건을 충족할 수 있습니다.

그 이유는 기하학적입니다. 알려진 측면은 경첩처럼 흔들리고 길이에 따라 두 지점, 한 지점에서 반대쪽 기준선과 만날 수도 있고 도달하지 못할 수도 있습니다.

알려진 각도 반대쪽 변이 알려진 다른 변보다 짧지만 밑면에 닿을 만큼 긴 두 변과 포함되지 않은 각도를 생각해 보세요. 두 개의 삼각형이 그 간격을 좁힙니다. 하나는 세 번째 각도가 예각이고 다른 하나는 둔각입니다. 둘 다 유효합니다. 하나만 보고하는 계산기는 절반의 답을 제공하고 시험에서 하나만 쓴 학생은 점수를 잃습니다.

삼각형 계산기가 이를 확인합니다. 두 개의 삼각형이 있으면 둘 다 그려지고 두 측정값 세트가 나란히 나열됩니다. 구성이 불가능할 경우 스윙하는 쪽이 너무 짧아서 닿지 않는 경우 잘못된 번호를 반환하는 대신 이렇게 간단하게 말합니다. 답변이 고유하면 그 이유를 확인합니다.

이것은 계산기가 수행하는 가장 유용한 기능 중 하나입니다. 왜냐하면 모호한 경우는 정확히 삼각형 문제가 발생하는 지점이기 때문입니다.

삼각형의 면적 계산

삼각형의 면적은 세 가지 방법으로 구할 수 있으며 계산기는 알려진 측정값이 허용하는 방법을 선택합니다. 베이스 및 높이 기준: `` A = ½ × base × height ``

양측 및 끼인각(SAS)에서: `` A = ½ × a × b × sin(C) ``

Heron의 공식(SSS)을 사용하면 세 측면 모두에서 다음과 같습니다. `` A = √(s(s − a)(s − b)(s − c)), where s = (a + b + c) / 2 ``

헤론의 공식은 변만 알고 높이가 주어지지 않은 경우에 도달할 수 있는 공식입니다. 's'라는 용어는 반 둘레, 변의 합의 절반입니다. 변이 6, 8, 10인 삼각형의 경우 반 둘레는 12이고 면적은 √(12 × 6 × 4 × 2) = √576 = 24입니다.

정삼각형과 이등변삼각형 풀기

정삼각형과 이등변삼각형은 등변이 누락된 정보를 제공하기 때문에 계산기가 더 적은 수의 입력으로 해결하는 특수한 경우입니다. 정삼각형은 세 개의 변이 같고 세 개의 60도 각도가 있습니다. 단면 길이는 모든 것을 고정합니다. 면적은 (√3 / 4) × a²이고 높이는 (√3 / 2) × a입니다.

Enter one number and the whole triangle follows.

이등변삼각형은 두 개의 변과 두 개의 밑각이 동일합니다. 등변과 밑변, 또는 밑변과 한 각만 알면 문제를 해결할 수 있습니다. 다리 a와 밑변 b가 동일한 면적은 (b/4) × √(4a² − b²)입니다.

둘 다 동일한 솔버의 모드이므로 계산기는 등변 제약 조건을 적용하므로 결과적으로 더 적은 입력이 필요합니다.

변이 6, 8, 10인 삼각형 풀기

6, 8, 10변이 있는 SSS 케이스를 예로 들어보겠습니다. 이는 직각삼각형으로 밝혀졌습니다. 1. 사례를 확인하세요. 세 변을 알고 있으므로 이것이 SSS이고 코사인 법칙에 따라 각도를 찾습니다. 2. 가장 큰 각을 먼저 찾으세요. 가장 큰 각이 가장 긴 변인 10을 향합니다.

코사인 법칙을 사용하면: `` cos(C) = (6² + 8² − 10²) / (2 × 6 × 8) = (36 + 64 − 100) / 96 = 0 / 96 = 0 `` cos(C) = 0은 C = 90도를 의미합니다. 삼각형은 직각을 이루고 있으며 변의 크기는 6-8-10, 축척은 3-4-5로 확인됩니다.

3. Find a second angle. `` cos(A) = (8² + 10² − 6²) / (2 × 8 × 10) = (64 + 100 − 36) / 160 = 128 / 160 = 0.8 `` A = 36.87 degrees.

4. Find the third by the angle sum. B = 180 − 90 − 36.87 = 53.13도.

5. 헤론의 공식으로 면적을 구합니다. s = (6 + 8 + 10) / 2 = 12이므로 A = √(12 × 6 × 4 × 2) = √576 = 24입니다.

모든 단계는 계산기로 표시되며 다이어그램에서는 직각을 사각형으로 표시하여 결과를 한눈에 볼 수 있습니다.

자주 묻는 질문

요약

삼각형 계산기는 적어도 하나가 변인 경우 알려진 세 가지 측정값으로부터 삼각형을 풀고 나머지 모든 변과 각도를 면적, 둘레 및 라벨이 붙은 다이어그램과 함께 반환합니다.

대/소문자, SSS, SAS, ASA, AAS 또는 SSA를 감지하고 알려진 변에 대해 코사인 법칙을 적용하거나 변과 반대 각도가 쌍을 이루는 경우 사인 법칙을 적용합니다.

가장 중요한 기능은 두 개의 변과 포함되지 않은 각도가 두 개의 유효한 삼각형을 설명할 수 있는 모호한 SSA 사례를 올바르게 처리하는 것입니다. 계산기는 대부분의 도구가 제공하는 단일 답이 아닌 두 가지 모두를 반환합니다. 면적은 밑변과 높이, 양면과 각도 공식 또는 알려진 세 변에 대한 헤론의 공식에서 나오며, 정삼각형과 이등변삼각형은 변이 동일하기 때문에 더 적은 수의 입력으로 해결됩니다.

빌드 노트

• 작업된 예는 테스트 장치입니다: SSS 6-8-10 → C에서 직각, 각도 90/53.13/36.87, 영역 24.
• SSA 모호한 경우는 헤드라인 정확성 기능입니다. 두 개의 삼각형이 존재할 때(픽스처: a=7, b=10, A=30°) 엔진은 두 삼각형을 모두 반환하고, 불가능한 구성(a=2, b=10, A=30°)에 플래그를 지정하고, 그렇지 않은 경우 고유성을 확인해야 합니다. 01-ENGINE-SPEC.md §1에 따라.
• 각 단계에서 감지된 사례와 사용된 정리는 페이지에 기록되지 않고 사례 카드에 렌더링된 엔진 출력입니다.
• Triangle-inequality violations (1,2,5) are blocked with an explanation.
• 그림은 직각을 정사각형으로, 등변을 틱으로 표시하고 모든 측정값에 해결된 값을 표시합니다.
• Heron 작업 예제(6-8-10 → 24)는 고정 장치입니다.
• 흡수 모드: 사인 법칙, 코사인 법칙, 등변, 이등변, 각각은 자체 작업 예제로 렌더링되며 대체된 독립형 페이지를 복제해서는 안 됩니다.
• data/geometry-reference.json → 삼각형의 모든 수식, 하드코딩된 수식 없음.
• Word count 2,050.