Üçgen Hesaplayıcı, bir üçgeni altı ölçümünün herhangi üçünden, üç kenarından ve üç açısından çözer ve kalan değerleri, alanı, çevreyi ve girilen boyutlara çizilmiş etiketli bir diyagramı döndürür. Tespit ettiği durumu adlandırır, her adımda hangi teoremin çözüldüğünü gösterir ve iki farklı üçgenin aynı ölçümlere uyduğu belirsiz durumu ele alır.
Aşağıda ele alınan önemli bir istisna dışında, üç ölçüm bir üçgeni sabitler. Bildiklerinizi girin ve hesap makinesi gerisini bulur ve sonucun elle kontrol edilebilmesi için çalışmayı gösterir.
Herhangi bir üç ölçümden bir üçgen çözün
Bir üçgenin altı ölçüsü vardır: üç kenar uzunluğu ve üç iç açı. En az biri kenar olmak üzere üçünü bilmek üçgenin tamamını belirler. Bu nedenle her üçgen problemi size tam olarak üç bilgi verir.
Geçerli herhangi bir kombinasyon girin: üç kenar, iki kenar ve bir açı veya iki açı ve bir kenar. Hesap makinesi hangi kombinasyona sahip olduğunu belirler, uygun yöntemi seçer ve diğer üç ölçümü çözer. Aynı zamanda yazılı ve sınırlı dairelerin alanını, çevresini, üç yüksekliğini, ortancalarını ve yarıçaplarını da döndürür.
Her ölçüm kendi birimini taşır ve açılar derece veya radyan cinsinden girilebilir. Diyagram, her kenar ve açı etiketlenerek sayılara uyacak şekilde yeniden çizilir, böylece şekil soyut olmak yerine görünür olur.
Hangi vakaya sahip olduğunuzu belirleyin
Bir üçgeni hangi yöntemin çözeceği, hangi üç ölçümün bilindiğine bağlıdır. Matematikçiler bu durumları kenar (S) ve açı (A) desenlerine göre adlandırırlar ve durumu tanımlamak her çözümün ilk adımıdır.
| Case | You know | Method |
|---|---|---|
| SSS | three sides | law of cosines |
| SAS | iki kenar ve aralarındaki açı | law of cosines, then law of sines |
| ASA | iki açı ve aralarındaki kenar | angle sum, then law of sines |
| AAS | iki açı ve aralarında olmayan bir kenar | angle sum, then law of sines |
| SSA | iki kenar ve aralarında olmayan bir açı | sinüs kanunu, belirsiz durum |
Harfler, ölçümlerin üçgenin etrafındaki sırasını kaydeder. SAS, bilinen açının bilinen iki taraf *arasında* olduğu anlamına gelir; SSA öyle olmadığı anlamına gelir. Bu fark göründüğünden daha önemlidir çünkü SSA iki yanıtı olabilecek tek durumdur.
Hesap makinesi durumu otomatik olarak algılar ve adlandırır, dolayısıyla yöntem asla bir tahmin değildir.
Sinüs kanunu ile çözün
Sinüs kanunu, her bir tarafı karşıt açısının sinüsüyle ilişkilendirir ve hem bir tarafın hem de karşıt açının bilindiği ASA, AAS ve SSA durumlarını çözer.
a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)Her kenarın kendisine bakan açının sinüsüne bölünmesi aynı oranı verir. Yani bir kenarı ve onun karşıt açısını bilmek, tüm üçgenin oranını belirler ve bilinen herhangi bir açı, karşı tarafı verir.
Bir ASA veya AAS üçgeni için, üçüncü açı ilk önce açı toplamından gelir, üç iç açının toplamı 180 derecedir ve ardından sinüs kanunu bilinmeyen iki tarafı bulur. Yöntem doğrudandır ve tek bir cevap verir.
Kosinüs kanunu ile çözün
Kosinüs yasası, Pisagor teoremini herhangi bir üçgene genelleştirir ve sinüs yasasının başlayamadığı durumları çözer: SSS ve SAS.
c² = a² + b² − 2ab·cos(C)Üç tarafın tümü bilindiğinde (SSS), formül her açıyı bulmak için yeniden düzenlenir:
cos(C) = (a² + b² − c²) / 2abİki kenar ve iç açı bilindiğinde (SAS), formül doğrudan üçüncü tarafı bulur ve ardından sinüs kanunu açıları tamamlar. C açısı 90 derece olduğunda, cos(C) sıfır olduğunda ve formül a² + b² = c² şeklinde çöktüğünde, kosinüs yasasının dik açılı özel durumu olarak Pisagor teoremini içerdiğine dikkat edin.
Belirsiz SSA durumunu ele alın
SSA, hem öğrencileri hem de hesap makinelerini şaşırtan bir durumdur ve Üçgen Hesaplayıcının çoğu rakibin yapmadığı bir şeyi yaptığı yerdir: yalnızca bulduğu ilk üçgeni değil, her geçerli üçgeni döndürür.
İki kenarı ve aralarında olmayan bir açıyı bildiğinizde, kısıtlamalar iki farklı üçgen, bir üçgen veya hiç üçgen olmaması ile karşılanabilir.
Sebebi geometriktir: Bilinen taraf bir menteşe gibi sallanır ve uzunluğuna bağlı olarak karşıt taban çizgisine iki noktada, bir noktada buluşabilir veya ulaşamayabilir.
İki kenarı ve bilinen açının karşısındaki tarafın bilinen diğer kenardan daha kısa olduğu ancak tabana ulaşacak kadar uzun olduğu, dahil edilmeyen bir açıyı düşünün. Bu boşluğu iki üçgen kapatıyor; biri üçüncü açının dar olduğu, diğeri ise geniş olduğu yer. Her ikisi de geçerlidir. Yalnızca birini bildiren bir hesap makinesi cevabın yarısını veriyor ve sınavda yalnızca bir tane yazan öğrenci notlarını kaybediyor.
Üçgen Hesaplayıcı bunu kontrol eder. İki üçgen mevcut olduğunda her ikisini de çizer ve her iki ölçüm kümesini yan yana listeler. Yapılandırma imkansız olduğunda, sallanan taraf ulaşılamayacak kadar kısadır, yanlış bir sayı döndürmek yerine bunu açıkça belirtir. Cevap benzersiz olduğunda nedenini doğrular.
Bu, hesap makinesinin yaptığı en yararlı şeydir, çünkü belirsiz durum tam olarak üçgen problemlerinin ters gittiği yerdir.
Üçgenin alanını hesaplayın
Bir üçgenin alanı üç şekilde bulunabilir ve hesap makinesi bilinen ölçümlerin izin verdiği şeyi seçer. Tabandan ve yüksekliğinden: `` A = ½ × base × height ``
İki taraftan ve dahil edilen açıdan (SAS): `` A = ½ × a × b × sin(C) ``
Heron formülünü (SSS) kullanarak her üç taraftan: `` A = √(s(s − a)(s − b)(s − c)), where s = (a + b + c) / 2 ``
Heron'un formülü, yalnızca kenarların bilindiği ve yüksekliğin verilmediği durumlarda ulaşılması gereken formüldür. 'S' terimi, kenarların toplamının yarısı olan yarı çevredir. Kenarları 6, 8 ve 10 olan bir üçgenin yarı çevresi 12'dir ve alanı √(12 × 6 × 4 × 2) = √576 = 24 olarak hesaplanır.
Eşkenar ve ikizkenar üçgenleri çözme
Eşkenar ve ikizkenar üçgenler, hesap makinesinin daha az girdiyle çözdüğü özel durumlardır çünkü eşit kenarları eksik bilgileri sağlar. Eşkenar üçgenin üç eşit kenarı ve üç adet 60 derecelik açısı vardır. Tek bir kenar uzunluğu her şeyi düzeltir: alan (√3 / 4) × a² ve yükseklik (√3 / 2) × adır.
Enter one number and the whole triangle follows.
İkizkenar üçgenin iki eşit kenarı ve iki eşit taban açısı vardır. Eşit kenar ve tabanı veya taban ve bir açıyı bilmek onu çözmek için yeterlidir. Eşit bacaklar 'a' ve taban 'b' olan alanı '(b/4) × √(4a² − b²)'dir.
Her ikisi de aynı çözücünün modlarıdır; hesap makinesi eşit kenar kısıtlamasını uygular ve sonuç olarak daha az girdiye ihtiyaç duyar.
Kenarları 6, 8 ve 10 olan bir üçgeni çözün
Kenarları 6, 8 ve 10 olan ve dik üçgen olduğu ortaya çıkan SSS durumunu ele alalım. 1. Durumu tanımlayın. Üç kenar biliniyor, dolayısıyla bu SSS'dir ve kosinüs yasası açıları bulur. 2. Önce en büyük açıyı bulun. En büyük açı, en uzun kenar olan 10'a bakar.
Kosinüs yasasını kullanarak: `` cos(C) = (6² + 8² − 10²) / (2 × 6 × 8) = (36 + 64 − 100) / 96 = 0 / 96 = 0 `` cos(C) = 0, C = 90 derece anlamına gelir. Üçgenin dik açılı olduğu, 6-8-10 kenarlarının ve 3-4-5 ölçeğinin doğruladığı gibi.
3. Find a second angle. `` cos(A) = (8² + 10² − 6²) / (2 × 8 × 10) = (64 + 100 − 36) / 160 = 128 / 160 = 0.8 `` A = 36.87 degrees.
4. Find the third by the angle sum. B = 180 − 90 − 36,87 = 53,13 derece.
5. Heron formülünün bulunduğu alanı bulun. s = (6 + 8 + 10) / 2 = 12, yani A = √(12 × 6 × 4 × 2) = √576 = 24.
Her adım hesap makinesi tarafından gösterilir ve diyagram, sonucun bir bakışta görülebilmesi için dik açıyı bir kare ile işaretler.
Sıkça sorulan sorular
Bir üçgeni nasıl çözebilirim?
Bir üçgeni çözmek için, en az bir kenarı da dahil olmak üzere altı ölçümünden herhangi üçünü Üçgen Hesaplayıcıya girin. Hesap makinesi SSS, SAS, ASA, AAS veya SSA durumunu tanımlar, buna göre sinüs yasasını veya kosinüs yasasını seçer ve gösterilen her adımla birlikte kalan kenarları ve açıları, alanı ve çevreyi döndürür.
SSA belirsiz durumu nedir?
SSA belirsiz durumu, iki kenarın ve dahil edilmeyen bir açının iki farklı üçgen tarafından karşılanması durumunda ortaya çıkar. Bilinen açının karşısındaki kenar, tabanla iki noktada buluşacak şekilde salınabilir, bu da bir dar ve bir geniş çözüm sağlar. Üçgen Hesaplayıcı her iki geçerli üçgeni döndürür veya yapılandırmanın yalnızca birine izin verdiğini veya hiçbirine izin vermediğini açıkça belirtir.
Sinüs yasasını kosinüs yasasına karşı ne zaman kullanırım?
ASA, AAS ve SSA durumlarını kapsayan, bir kenar ve karşıt açısının her ikisi de bilindiğinde sinüs yasasını kullanın. Bunlar olmadığında kosinüs yasasını, üç tarafın bilindiği SSS durumunu ve iki tarafın ve aralarındaki açının bilindiği SAS durumunu kullanın. Hesap makinesi doğru yasayı otomatik olarak seçer.
Yüksekliği olmayan bir üçgenin alanı nasıl bulunur?
Yükseklik bilinmediğinde, alanı yalnızca üç kenar uzunluğundan bulan Heron formülünü kullanın: A = √(s(s−a)(s−b)(s−c)) burada s, çevrenin yarısıdır. Bunun yerine iki kenar ve bunların iç açıları biliniyorsa alan ½ × a × b × sin(C) olur. Üçgen Hesaplayıcı, bilinen ölçümlerin izin verdiği ölçüde geçerlidir.
Herhangi üç ölçüm bir üçgeni çözebilir mi?
Neredeyse. En az bir kenarı içeren herhangi üç ölçüm bir üçgeni çözecektir, çünkü üç açı tek başına şekli belirler ancak boyutu belirlemez; sonsuz sayıda üçgen aynı açıları paylaşır. Tek komplikasyon, üç geçerli ölçümün hala iki farklı üçgeni tanımlayabildiği SSA durumudur.
Neden bir üçgenin bazen iki geçerli cevabı olur?
Bir üçgenin yalnızca iki kenarın ve dahil edilmeyen bir açının bilindiği SSA durumunda iki geçerli cevabı vardır. Verilen açının karşısındaki kenar tabana iki farklı noktadan ulaşarak biri dar açılı, diğeri geniş açılı üçgen oluşturabilir. Her ikisi de ölçümleri karşılıyor, dolayısıyla her ikisi de doğrudur.
Heron'un formülü nedir?
Heron formülü, bir üçgenin alanını, yüksekliğe ihtiyaç duymadan üç kenar uzunluğundan hesaplar. Alanın √(s(s−a)(s−b)(s−c))'ye eşit olduğunu belirtir; burada a, b ve c kenarlar ve s yarı çevredir, (a+b+c)/2. SSS davası için standart yöntemdir ve adını İskenderiye Kahramanı'ndan almıştır.
Üç açının toplamı her zaman 180 derece midir?
Evet. Herhangi bir düz veya Öklid üçgeninde üç iç açının toplamı her zaman tam olarak 180 derecedir. Bu gerçek, hesap makinesinin, iki tanesi bilindiğinde hemen üçüncü bir açı bulmasını sağlar; bu, ASA ve AAS durumlarını çözmenin ilk adımıdır. Kural kavisli yüzeyler için geçerli değildir ancak standart üçgen problemleri düz bir düzlem varsayar.
Özet
Üçgen Hesaplayıcı, en az birinin kenar olması koşuluyla, bilinen üç ölçümden herhangi bir üçgeni çözer ve kalan tüm kenarları ve açıları alan, çevre ve etiketli bir diyagramla birlikte döndürür.
SSS, SAS, ASA, AAS veya SSA durumunu algılar ve bilinen kenarlar için kosinüs yasasını veya bir kenar ile karşıt açısı eşlendiğinde sinüs yasasını uygular.
En önemli özelliği, iki kenarın ve dahil edilmeyen bir açının iki geçerli üçgeni tanımlayabildiği belirsiz SSA durumunun doğru şekilde ele alınmasıdır: hesap makinesi, çoğu aracın verdiği tek yanıt yerine her ikisini de döndürür. Alanlar taban ve yükseklikten, iki kenar ve açı formülünden veya Heron'un bilinen üç kenar formülünden gelir ve eşkenar ve ikizkenar üçgenler, eşit kenarları sayesinde daha az girdiyle çözülür.
İlgili hesap makineleri
Dik Üçgen Hesaplayıcı · Pisagor Teoremi Hesaplayıcı · Çokgen Hesaplayıcı · Yamuk Hesaplayıcı
Not oluşturma
- Çalışılan örnek bir test fikstürüdür: SSS 6-8-10 → C'de dik açı, 90/53,13/36,87 açıları, alan 24.
- SSA belirsiz durumu, başlık doğruluğu özelliğidir. Motor, iki üçgen mevcut olduğunda HER İKİ üçgeni de döndürmeli (fikstür: a=7, b=10, A=30°), imkansız konfigürasyonları işaretlemeli (a=2, b=10, A=30°) ve aksi halde benzersizliği onaylamalıdır. '01-ENGINE-SPEC.md §1' uyarınca.
- Tespit edilen durum ve her adımda kullanılan teorem, sayfaya yazılmayan, olay kartında gösterilen motor çıktılarıdır.
- Triangle-inequality violations (1,2,5) are blocked with an explanation.
- Şekil dik açıları kareyle, eşit kenarları ise işaretlerle işaretler ve her ölçümü çözülmüş değeriyle etiketler.
- Heron ile çalışan örnek (6-8-10 → 24) bir fikstürdür.
- Özetilen modlar: sinüs kanunu, kosinüs kanunu, eşkenar, ikizkenar, her biri kendi çalışılmış örneğiyle işlenir ve değiştirdikleri bağımsız sayfaları kopyalamamalıdır.
- 'data/geometry-reference.json → üçgen'deki tüm formüller, hiçbiri sabit kodlanmamıştır.
- Word count 2,050.