SEO başlığı (58): Standart Sapma Hesaplayıcısı, Örnek ve Nüfus SD Meta açıklama (155): Herhangi bir veri setinden örnek veya popülasyon standart sapmasını hesaplayın. Standart Sapma Hesaplayıcısı, sapma tablosunu ve çalışmanın her adımını gösterir.
Şema: WebApplication + FAQPage + BreadcrumbList
Standart Sapma Hesaplayıcısı, bir veri setindeki değerlerin ortalamalarından ne kadar uzakta olduğunu ölçür ve verinin neyi temsil ettiğine bağlı olarak ya örnek standart sapmasını ya da popülasyon standart sapmasını döndürür. Değerleri virgül, boşluk veya satır arası ile ayırın, hesap makinesi sonucu varyans, ortalama, karelerin toplamı ve kullandığı her sapmayı gösteren bir adım tablosu ile birlikte döndürür.
Adım tablosu sayıdan daha önemlidir. Buraya gelen çoğu kişi dersler için hesaplamayı elle yeniden üretmek zorunda kalır ve çalışmadan alınan sonuç hiçbir şey öğretmez.
Bir veri setinden standart sapmayı hesaplayın
Standart sapma bir soruya cevap verir: Bu veri ne kadar dağılımlıdır? Küçük bir standart sapma, değerlerin ortalamanın etrafında sıkıca kümelenmesi anlamına gelir. Büyük bir veri serekesi dağıldığı anlamına gelir. İki veri seti aynı ortalamayı paylaşabilir ve tamamen farklı durumları tanımlayabilir; standart sapma onları ayıran şeydir.
Değerlerinizi veri alanına yapıştırın. Virgüller, boşluklar, sekmeler ve satır bakışları hepsi çalışır, yani bir tablodan doğrudan kopyalanan bir sütun yeniden formatlanmasına gerek kalmaz. Hesap makinesi, alanın hemen altında kaç değer okuduğunu gösterir, sonucu okumadan önce yapıştırdığınız değerle karşılaştırın, çünkü yanlış cevabın en yaygın nedeni bir karakterdir.
Hesap makinesi verileri sıralar, ortalamayı hesaplar ve oradan dışarıya doğru hareket eder. Her ara değer gösterilir, böylece herhangi bir adımda el hesaplamasını takip edebilir veya doğrulayabilirsiniz.
Örneklem ile popülasyon arasında seçim yapın
Bu seçim cevabı değiştirir ve bu sayfada her şeyden önce hemen almaya değer olan tek şey bu. İki formül sadece paydalarında farklıdır, ancak küçük veri setlerinde fark oldukça büyüktür. Verileriniz tarif etmek istediğiniz grubun her üyesini içerdiğinde popülasyon standart sapmasını (σ) kullanın.
Bir sınıftaki tüm 24 öğrencilerin test puanları, özellikle de önem verdiğiniz ders. Tamamlanmış bir partiden her ölçüm. Payda N'dir, tam sayı.
Verileriniz daha büyük bir gruptan alınan bir alt küme olduğunda ve o büyük grubun yayılımını tahmin etmek istiyorsanız, örneklem standart sapmalarını (s) kullanın. Ulusal bir seçmen bölgesi için 200 seçmenlerin katıldığı bir anket. Bir üretim aşamasını temsil eden otuz ölçülü bileşen. Payda n − 1'dir.
Örnek pratikte daha yaygın bir durumdur, bu yüzden hesaplayıcı varsayılan olarak onu kullanır. Çoğu gerçek veri bir şeyin örneğidir ve bir örneği popülasyon olarak ele almak, sistematik olarak çok küçük bir rakam üretir.
Eğer bir ders kitabı probleminden çalışıyorsanız, soru neredeyse her zaman hangisini istediğini söyler. "Nüfus" veya "örnek" kelimelerini ya da "hepsi" ile "rastgele seçim" gibi bir ifadeyi arayın.
Standart sapma formülünü uygulayın
Her iki formül de aynı beş adımı takip eder ve sadece dördüncü adımda ayrılır.
Population: σ = √( Σ(x − x̄)² / N )
Sample: s = √( Σ(x − x̄)² / (n − 1) )Bunun üstesinden gelmek:
1. Ortalamayı bul. Her değeri toplayın ve sayıya bölün. 2. Her sapmayı bulun. Her değerden ortalamayı çıkar. Bazıları negatiftir. 3. Her sapmayı kare yapın. Bu, negatifleri ortadan kaldırır ve ortalamadan uzak değerlere daha fazla ağırlık verir. Toplam, karelerin toplamıdır. 4. Bir popülasyon için N'ye. N'ye, örnek için n − 1'ye bölün. Sonuç varyanstır. 5. Karekökü alın. Bu, cevabı orijinal birimlere döndürür.
3 adımında negatifler kaybolur ve 5 adımı ise karekökün var olmasının sebebidir. Sapmaları kare olarak birleştirmek, sonucu doğrudan yorumlanamayan kare birimlerine, kare işaretlere, kare santimetre şeklinde iter. Karekök, orijinal ölçümlerle karşılaştırılabilir bir şeye geri getirir.
2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 için standart sapma hesaplayın
Bu sekiz değerlik küme, tam olarak 2 bir popülasyon standart sapması ve 2.138 örnek standart sapması verir. Aşağıdaki her adım elle kontrol edilebilir. 1. Ortalamayı bulun. 2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 40 40 ÷ 8 = 5
2. Her sapmayı bul ve kare et.
| x | x − x̄ | (x − x̄)² |
|---|---|---|
| 2 | −3 | 9 |
| 4 | −1 | 1 |
| 4 | −1 | 1 |
| 4 | −1 | 1 |
| 5 | 0 | 0 |
| 5 | 0 | 0 |
| 7 | 2 | 4 |
| 9 | 4 | 16 |
| Σ = 0 | Σ = 32 |
3. Böl, sonra karekökü al.
Nüfus: 32 ÷ 8 = 4, and √4 = 2 Örnek: 32 ÷ 7 = 4.571, ve √4.571 = 2.138
Dikkat edilmesi gereken iki şey. Sapmalar sütunu tam olarak sıfıra toplanır ve her zaman sıfır olur, bu ortalamanın bir özelliğidir ve aritmetik bir hata yapmadığınıza dair faydalı bir kontrol olur. Ve iki cevap sekiz değerde %6.9% fark eder. Bu boşluk yuvarlama değildir. Sonraki bölümde açıklanan düzeltmedir.
Sapma adım tablosunu okuyun
Adım tablosu her değeri, ortalamadan sapmasını ve bu sapmayı kare olarak listeler, sütun toplamları ise en altta. Hesap makinesi, girdiğiniz veri için bunu oluşturur. Soldan sağa okursanız tüm formül görünür.
Orta sütun, ortalamayı hangi değerlerin yukarı ve hangilerinin aşağı çektiğini gösterir ve toplamda her zaman sıfır olur. Sağ sütun, hangi değerlerin sonucu baskın ettiğini gösterir; yukarıdaki örnekte, 9'nin tek değeri 32 toplamının 16'sini katkı sağlar; bu, sekiz gözlemden birinin yarısı kadar yayılımdır.
Son gözlemle düşünmeye değer, çünkü standart sapmanın aykırı değerlere karşı hassas olmasını açıklar. Kare yapmak, ortalamadan üç birim olan bir değerin, bir birim uzaktaki bir değerin dokuz katını katması anlamına gelir. Bir aşırı gözlem sonucu önemli ölçüde değiştirebilir, bu yüzden güvendiğiniz herhangi bir standart sapmaya bir kutu grafiki veya ham verilere bir bakış eşlik etmelidir.
30 değerlerinden geçen veri setleri için tablo, toplamlar korunacak şekilde ilk ve son beş satıra daralır. Tam tablo kullanılabilir kalır ve bir tabloya veya rapora yapıştırmak üzere sekmelere ayrılmış değerler olarak kopyalanır.
Örnek formülün neden n − 1'ye bölündüğünü anlamak
Bu, standart sapma hakkında en çok sorulan sorudur ve genellikle verilen cevap olan "yanlılığı düzeltir" hiçbir şeyi açıklamaz. İşte aslında olan şey. Örnek standart sapma hesapladığınızda, popülasyon ortalamasını bilmiyorsunuz. Bunun yerine örnek ortalamasını kullanırsınız.
Ama örneklem ortalaması *aynı değerlerden* hesaplanır, yani gerçek popülasyon ortalamasından daha yakın konumdadır. Yapı gereği, o belirli örneklem için kare sapmaların toplamını en aza indiren noktadır.
Yani ölçtüğün her sapma biraz fazla küçüktür. Her seferinde rastgele çok küçük değil, sistematik olarak, bir yönde. n'ye bölmek, popülasyon varyansını tutarlı şekilde hafife alan bir varyans verir.
n − 1'ye bölmek bunun yerine bunu telafi eder. Bu ayarlamaya Bessel düzeltmesi denir ve n − 1 özgürlük dereceleridir: ortalama sabitlendikten sonra, sapmaların yalnızca n − 1 bağımsız olarak değişebilir, çünkü sonuncusu sıfır toplamına bağlı zorunlulukla zorunludur.
Düzeltmenin boyutu tamamen örneklem büyüklüğüne bağlıdır:
| Örneklem büyüklüğü | n − 1 ile n ile bölme arasındaki fark |
|---|---|
| 5 | 25% daha büyük varyans |
| 10 | 11% |
| 30 | 3.4% |
| 100 | 1.0% |
| 1,000 | 0.1% |
n = 5 olduğunda seçim cevabı maddi olarak değiştirir. Birkaç yüz değeri geçtikçe pratik anlamda önemi kalmaz. Bu yüzden ayrım, örnekler küçük olan giriş derslerinde vurgulanır ve büyük veri kümeleriyle çalışan uygulayıcılar nadiren bunu düşünür.
Bir standart sapma değerini yorumlayın
Tek başına bir standart sapma çok az şey ifade eder. Orijinal verinin birimleriyle ifade edilir, bu yüzden 12 değeri, ölçülen ve ortalamanın ne olduğuna bağlı olarak çok büyük veya önemsiz olabilir. Buna bağlam vermenin iki yolu vardır.
Ortalamayla karşılaştırın. Varyasyon katsayısı, standart sapmayı ortalamaya böler ve sonucu yüzde olarak ifade eder. 12 standart sapma, 500 ortalamasına karşı 2.4 CV'dir ki bu da oldukça sıkı. 20 ortalamasına karşı, %4⟧ 60'dir ki bu çok büyüktür. CV ayrıca, ham bir standart sapmanın yapamayacağı farklı birimlerle ölçülen veri setleri arasındaki yayılmayı karşılaştırmanıza olanak tanır.
Ampirik kuralı kullanın. Yaklaşık normal dağılıma sahip veriler için, değerlerin yaklaşık 68% ortalamanın bir standart sapması içinde, yaklaşık 95% iki standart sapma içinde ve yaklaşık 99.7% üç arasında yer alır. Yani ortalama 70 ve standart sapma 8 olan bir test, öğrencilerin yaklaşık üçte ikisini 62 ile 78 arasında, 94 puanı ise üç standart sapma yukarıda, en üst 0.15 arasında koyar.
Ampirik kural yalnızca yaklaşık normal veriler için geçerlidir. Güçlü şekilde çarpık dağılımlarda kötü şekilde bozulur ve gelir verileri standart örnektir: ortalama medyanın üzerinde yer alır, dağılım uzun sağ kuyruk gösterir ve "iki standart sapma içinde" herhangi bir şeyin 95%'sini tanımlamayı bırakır. Kurala yaslanmadan önce verinizin şeklini histogramla kontrol edin.
Ortalamanın standart hatasını hesaplayın
Standart hata, bireysel değerlerin yayılımını değil, ortalamanın kendisinin hassasiyetini ölçür. Farklı bir soruya cevap verir: Bu örneklem tekrar çekilseydi, ortalama ne kadar hareket ederdi?
SE = s / √nÖrnek kümesi için, SE = 2.138 ÷ √8 = 0.756.
Paydadaki √n harfine dikkat edin. Örneklem boyutunu dört katına çıkarmak, standart hatayı yarıya indirir; bu da matematiksel sebep olarak daha büyük örneklerin daha güvenilir tahminler vermesini ve getirilerin azalmasının sebebidir. 100'den 400'ye geçmek ortalamadaki belirsizliği yarıya indirir. 400'den 800'ye geçmek ise sadece %4⟧ oranında iyileştirir.
Standart hata, güven aralıklarının oluşturulduğu şeydir ve örneklem ortalamasının popülasyon ortalamasını ne kadar iyi sabitlediğini bildirirken alıntılanacak rakam budur.
Standart sapmayı pratikte kullanın
Ölçümün gerçek iş yaptığı dört yer ve bu değişikliğin ne kadar etkili olduğunu gösterir. Kalite kontrolü. Bir üretim hattı, ölçülen boyutun standart sapması üzerinden izlenir, sadece ortalaması değil. Bir süreç, yayılım genişlerken mükemmel bir ortalamayı tutabilir ve genişleme daha fazla parçanın tolerans dışına düşmesini sağlar.
Kontrol grafikleri, herhangi bir parça muayeneden geçmeden önce artan bir standart sapmayı işaretler.
Test puanları ve notlandırma. Standart sapma, ham puanı bir pozisyona dönüştürür. 78, ortalamanın 65 ve standart sapmanın 7 olduğunu bilene kadar hiçbir şey ifade etmez; bu noktada puan ortalamanın neredeyse iki standart sapması üzerinde olur. Bu, tam olarak bir z-puanının yaptığı hesaplamadır.
Yatırım riski. Volatilite, getirinin standart sapmasıdır. Yıllık ortalama 8% olan iki fon, biri standart sapması 3% ve diğeri 22%yse, ikincisi yatırımcının sinirini sınayan yıllar üretir ve gelir alan herkes için getiri sırası önemlidir.
Ölçüm ve enstrümantasyon. Aynı miktar saçılmasının tekrarlanan ölçümleri ve standart sapmaları cihazın hassasiyetini nicelikle ölçür. Bir laboratuvarın belirsizliği nasıl ifade ettiği ve aynı şeyi ölçen iki cihazın nasıl karşılaştırıldığı bu yöntemdir.
Sıkça sorulan sorular
Standart sapma nedir?
Standart sapma, bir veri kümesindeki değerlerin genellikle ortalamalarından ne kadar uzakta olduğunu ölçür ve orijinal veriyle aynı birimlerde ifade edilir. Küçük bir standart sapma, değerlerin ortalamaya yakın bir şekilde kümelenmesi anlamına gelir; büyük sapma ise geniş çapta dağılır. Her sapmanın ortalamadan kare haline getirilmesi, bu karelerin ortalaması alınarak ve kare kökü alınarak hesaplanır.
Örneklem mi yoksa popülasyon standart sapması mı kullanmalıyım?
Verileriniz tarif ettiğiniz grubun her üyesini kapsadığında popülasyon standart sapmasını kullanın ve N'ye bölünün. Verileriniz daha büyük bir grubu temsil eden bir alt küme olduğunda örnek standart sapmasını kullanın ve n − 1'ye bölünün. Örneklem pratikte daha yaygındır, çünkü çoğu gerçek veri bir şeyin örneklemidir. Ders kitabı soruları neredeyse her zaman hangisinin istendiğini belirtir.
Örnek formül neden n − 1'ye bölünür?
Örnek ortalaması, sapmaları ölçtüğün aynı değerlerden hesaplandığı için, gerçek nüfus ortalamasından daha yakın konumdadır. Bu nedenle her sapma sistematik olarak çok küçüktür ve n'ye bölmek popülasyon varyansını tutarlı olarak hafife alır. n − 1'ye bölmek, Bessel düzeltmesi olarak bilinir, telafi eder. n = 10 olduğunda 11% fark oluşur; n = 1,000, 0.1%
İyi bir standart sapma nedir?
Evrensel olarak iyi bir değer yoktur, çünkü standart sapma verinin birimlerini taşır. Varyasyon katsayısı kullanılarak ortalama karşılaştırın: ortalama %0⟧ olan bir standart sapma sıkı veriyi gösterirken, 50% geniş dağılımayı gösterir. Kabul edilebilir sayılan tamamen alana bağlıdır; üretim toleransı ve anket yanıtlarının beklentileri çok farklıdır.
Standart sapma varyanstan nasıl farklıdır?
Varyans, ortalamadan ortalama kare sapmadır; standart sapma ise kareköküdür. Varyans kare birimlerdedir ve bu doğrudan orijinal ölçümlerle karşılaştırılamaz, bu yüzden karekök rakamı kullanılabilir birimlere döndürmek için alınır. Her ikisi de aynı yayılmayı tanımlar ve standart sapma sizin rapor ettiğiniz şeydir.
Ampirik kural ne diyor?
Yaklaşık normal dağılımlı verilerde, değerlerin yaklaşık 68% ortalamanın bir standart sapması içinde, 95% iki standart sapma içinde ve 99.7% üç değer içinde yer alır. Ortalama 70 ve standart sapma 8 olan bir test, yaklaşık üçte ikisini 62 ile 78 arasında yerleştirir. Kural, güçlü şekilde çarpık verilerde bozuk olduğundan, önce dağılımın şeklini kontrol edin.
Standart sapma negatif olabilir mi?
Hayır. Standart sapma, kare değerlerin ortalamasının kareköküdür, bu yüzden asla sıfırdan küçük olamaz. Tam olarak sıfıra eşit olur ancak veri kümesindeki her değer aynı olduğunda, yani hiç yayılım yoktur. Negatif sonuç, genellikle sapma adımında işaret hatası olan bir aritmetik hata gösterir.
Standart hata nedir ve nasıl farklıdır?
Standart sapma, bireysel değerlerin yayılımını tanımlar; Standart hata, örneklem ortalamasının popülasyon ortalamasını ne kadar hassas şekilde tahmin ettiğini ifade eder. Standart hata, örneklem standart sapmasının örnek büyüklüğünün kareköküne bölünmesine eşittir, bu yüzden örneklem büyüdükçe küçülür. Güven aralıkları standart sapmadan oluşturulur, standart sapmadan değil.
Excel'de standart sapmayı nasıl hesaplarım?
Örnek için =STDEV.S(range), popülasyon için =STDEV.P(range) kullanın. Daha eski =STDEV() STDEV.S gibi davranır ve uyumluluk için korunur. Excel varyans fonksiyonları aynı adlandırmayı takip eder: VAR.S ve VAR.P. Atamanızın hangisini beklediğini doğrulayın, çünkü ikisi küçük veri setlerinde farklı sayılar döndürür.
Özet
Standart Sapma Hesaplayıcısı, yapıştırılan herhangi bir veri setinden ya örneklemi ya da popülasyon standart sapmasını döndürür; varyans, ortalama, karelerin toplamı ve tam sapma tablosu ile birlikte gelir.
Her iki formül de her değerin ortalamadan sapmasını kare yapar, bu kareleri toplayar, böler ve kare kökü alır; sadece bir örnek için n − 1 veya bir popülasyon için N ile bölmelerinde farklılık gösterirler.
Veri daha büyük bir grubu temsil ettiğinde örnek seçin, ki bu alışılmış durumdur, ve sadece küçük veri setlerinde ikisi arasında anlamlı bir fark bekleyin; 11% on değerde, 1% yüzde. Sonucu varyasyon katsayısı kullanılarak ortalamaya karşı veya veri yaklaşık normal olduğunda ampirik kurala karşı yorumlayın ve kare ölçümün aykırılara karşı hassas hale geldiğini unutmayın.