A Calculadora de Desvio Padrão mede o quanto os valores em um conjunto de dados estão em relação à média, retornando tanto o desvio padrão da amostra quanto o desvio padrão da população, dependendo do que os dados representam. Cole valores separados por vírgulas, espaços ou quebras de linha, e a calculadora retorna o resultado junto com a variância, a média, a soma dos quadrados e uma tabela de passos mostrando cada desvio utilizado.
A tabela de passos importa mais do que o número. A maioria das pessoas que chega aqui precisa reproduzir o cálculo manualmente para o trabalho, e um resultado sem o trabalho não ensina nada.
Calcular o desvio padrão a partir de um conjunto de dados
O desvio padrão responde a uma pergunta: quão dispersos estão esses dados? Um desvio padrão pequeno significa que os valores se agrupam muito próximos à média. Um desvio grande significa que eles se espalham. Dois conjuntos de dados podem compartilhar uma média idêntica e descrever situações completamente diferentes, e o desvio padrão é o que os separa.
Cole seus valores no campo de dados. Vírgulas, espaços, tabulações e quebras de linha funcionam, então uma coluna copiada diretamente de uma planilha não precisa de reformatação. A calculadora informa quantos valores ela leu logo abaixo do campo, verifique se isso conta em relação ao que você colou antes de ler o resultado, porque um caractere solto é a causa mais comum de uma resposta errada.
A calculadora então ordena os dados, calcula a média e trabalha para fora a partir daí. Cada valor intermediário é mostrado, então você pode acompanhar ou verificar um cálculo manual em qualquer etapa.
Escolha entre amostra e população
Essa escolha muda a resposta, e é a única coisa nesta página que vale a pena acertar antes de qualquer outra coisa. As duas fórmulas diferem apenas em seu denominador, mas em conjuntos de dados pequenos a diferença é substancial. Use o desvio padrão populacional (σ) quando seus dados incluem todos os membros do grupo que você deseja descrever.
As notas dos testes de todos os alunos 24 em uma turma, quando a aula é o que você valoriza. Todas as medições de um lote completo. O denominador é N, a contagem completa.
Use desvio padrão (s) de amostra quando seus dados forem um subconjunto extraído de um grupo maior, e você quiser estimar a distribuição desse grupo maior. Uma pesquisa com eleitores 200 que representam um eleitorado nacional. Trinta componentes medidos representando uma produção de produção. O denominador é n − 1.
A amostra é o caso mais comum na prática, por isso essa calculadora a utiliza por padrão. A maioria dos dados reais é uma amostra de algo, e tratar uma amostra como uma população produz um número sistematicamente pequeno demais.
Se você está trabalhando a partir de um problema de livro didático, a pergunta quase sempre diz qual deles ela quer. Procure as palavras "população" ou "amostra", ou uma frase como "todos os" versus "uma seleção aleatória de".
Aplicar a fórmula do desvio padrão
Ambas as fórmulas seguem os mesmos cinco passos e divergem apenas na quarta.
Population: σ = √( Σ(x − x̄)² / N )
Sample: s = √( Σ(x − x̄)² / (n − 1) )Enfrentando isso:
1. Encontre a média. Somar todos os valores e dividir pela contagem. 2. Encontre cada desvio. Subtraia a média de cada valor. Alguns são negativos. 3. Quadrar cada desvio. Isso remove os negativos e dá mais peso a valores distantes da média. O total é a soma dos quadrados. 4. Divida. Por N para uma população, por n − 1 para uma amostra. O resultado é a variância. 5. Pegue a raiz quadrada. Isso retorna a resposta às unidades originais.
O passo 3 é onde os negativos desaparecem, e o passo 5 é o motivo pelo qual a raiz quadrada existe. Fazer quadrados os desvios empurra o resultado para unidades ao quadrado, marcas ao quadrado, centímetros ao quadrado, que não podem ser interpretados diretamente. A raiz quadrada traz de volta a algo comparável com as medições originais.
Calcule o desvio padrão para 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9
Esse conjunto de oito valores fornece um desvio padrão populacional exatamente de 2 e um desvio padrão amostral de 2.138. Cada passo abaixo pode ser verificado manualmente. 1. Encontre a média. 2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 40 40 ÷ 8 = 5
2. Encontre cada desvio e faça o quadrado.
| x | x − x̄ | (x − x̄)² |
|---|---|---|
| 2 | −3 | 9 |
| 4 | −1 | 1 |
| 4 | −1 | 1 |
| 4 | −1 | 1 |
| 5 | 0 | 0 |
| 5 | 0 | 0 |
| 7 | 2 | 4 |
| 9 | 4 | 16 |
| Σ = 0 | Σ = 32 |
3. Divida, depois pegue a raiz quadrada.
População: 32 ÷ 8 = 4, e √4 = 2 Exemplo: 32 ÷ 7 = 4.571, e √4.571 = 2.138
Duas coisas a notar. A coluna de desvios soma exatamente zero, e sempre somará, isso é uma propriedade da média e uma verificação útil de que você não cometeu um deslize aritmético. E as duas respostas diferem por 6.9% em oito valores. Essa lacuna não é arredondamento. É a correção descrita na próxima seção.
Leia a tabela de passos de desvio
A tabela de passos lista todos os valores, seu desvio da média, e esse desvio ao quadrado, com os totais das colunas na parte inferior. A calculadora constrói para os dados que você inserir. Leia da esquerda para a direita e a fórmula inteira fica visível.
A coluna do meio mostra quais valores puxam a média para cima e quais para baixo, e sempre totaliza zero. A coluna da direita mostra quais valores dominam o resultado; no exemplo acima, o valor único de 9 contribui com 16 do total 32, metade da dispersão de uma observação em oito.
Essa última observação vale a pena ser analisada, pois explica por que o desvio padrão é sensível a valores atípicos. Quadrar significa que um valor três unidades da média contribui nove vezes mais do que um valor a uma unidade de distância. Uma observação extrema pode alterar substancialmente o resultado, por isso um boxplot ou uma análise dos dados brutos deve acompanhar qualquer desvio padrão em que você confie.
Para conjuntos de dados acima de valores 30, a tabela colapsa para a primeira e a última cinco linhas com os totais intactos. A tabela completa permanece disponível e é copiada como valores separados por tabulação para colar em uma planilha ou relatório.
Entenda por que a fórmula da amostra se divide por n − 1
Esta é a pergunta mais feita sobre desvio padrão, e a resposta usual, "corrige o viés", não explica nada. Aqui está o que realmente está acontecendo. Quando você calcula um desvio padrão amostral, você não sabe a média da população. Você usa a média amostral, em vez disso.
Mas a média amostral é calculada *a partir desses mesmos valores*, o que significa que ela está mais próxima deles do que a média real da população. É, por construção, o ponto que minimiza a soma dos desvios quadráticos para aquela amostra específica.
Portanto, cada desvio que você mede é um pouco pequeno demais. Não aleatoriamente pequeno demais, sistematicamente, em uma direção, toda vez. Dividir por n dá uma variância que consistentemente subestima a variância populacional.
Dividir por n − 1 compensa isso. O ajuste é chamado de correção de Bessel, e o n − 1 são os graus de liberdade: uma vez fixada a média, apenas n − 1 dos desvios podem variar independentemente porque o último é forçado pela exigência de que somem a zero.
O tamanho da correção depende inteiramente do tamanho da amostra:
| Tamanho da amostra | Diferença entre dividir por n − 1 e n |
|---|---|
| 5 | 25% maior variância |
| 10 | 11% |
| 30 | 3.4% |
| 100 | 1.0% |
| 1,000 | 0.1% |
Em n = 5, a escolha muda a resposta de forma significativa. A partir de algumas centenas de valores, ela deixa de importar em qualquer sentido prático. É por isso que a distinção é repetida em cursos introdutórios, onde os exemplos são pequenos, e por que profissionais que trabalham com grandes conjuntos de dados raramente pensam nisso.
Interprete um valor de desvio padrão
Um desvio padrão por si só significa pouco. Ele é expresso nas unidades dos dados originais, então um valor de 12 pode ser enorme ou trivial dependendo do que está sendo medido e qual é a média. Duas formas de dar contexto.
Compare com a média. O coeficiente de variação divide o desvio padrão pela média e expressa o resultado como porcentagem. Um desvio padrão de 12 contra uma média de 500 é um CV de 2.4%, que é apertado. Contra uma média de 20, é 60%, que é enorme. O CV também permite comparar a distribuição entre conjuntos de dados medidos em diferentes unidades, o que um desvio padrão bruto não pode.
Use a regra empírica. Para dados que seguem uma distribuição aproximadamente normal, cerca de 68% dos valores estão dentro de um desvio padrão da média, cerca de 95% dentro de dois e cerca de 99.7% dentro de três. Assim, um teste com média de 70 e desvio padrão de 8 coloca aproximadamente dois terços dos alunos entre 62 e 78, e uma pontuação de 94, três desvios padrão acima, no topo 0.15%.
A regra empírica só vale para dados aproximadamente normais. Em distribuições fortemente assimétricas, ela quebra feio, e dados de renda são o exemplo padrão: a média fica acima da mediana, a distribuição tem uma cauda direita longa, e "dentro de dois desvios padrão" para de descrever 95% de qualquer coisa. Verifique a forma dos seus dados com um histograma antes de se apoiar na regra.
Calcule o erro padrão da média
O erro padrão mede a precisão da própria média, em vez da dispersão dos valores individuais. Ele responde a uma pergunta diferente: se essa amostra fosse extraída novamente, quanto a média se moveria?
SE = s / √nPara o conjunto de exemplo, SE = 2.138 ÷ √8 = 0.756.
Note o √n no denominador. Quadruplicar o tamanho da amostra reduz pela metade o erro padrão, que é a razão matemática pela qual amostras maiores fornecem estimativas mais confiáveis, e a razão pela qual os retornos diminuem. Passar de 100 para 400 observações reduz pela metade a incerteza na média. Ir de 400 para 800 melhora isso em apenas 29%.
O erro padrão é a partir da qual os intervalos de confiança são construídos, e é o valor a ser citado ao relatar o quão bem uma média amostral define uma média populacional.
Use o desvio padrão na prática
Quatro lugares em que a medida faz trabalho real, e o que uma mudança nela realmente sinaliza. Controle de qualidade. Uma linha de produção é monitorada pelo desvio padrão de uma dimensão medida, não apenas pela média. Um processo pode manter uma média perfeita enquanto a dispersão se alarga, e a ampliação significa mais peças fora da tolerância.
Os gráficos de controle sinalizam um desvio padrão crescente antes que qualquer peça individual não seja inspecionada.
Notas de teste e avaliação. O desvio padrão converte uma pontuação bruta em uma posição. Um 78 não significa nada até que você saiba que a média é 65 e o desvio padrão é 7, momento em que a pontuação está quase dois desvios padrão acima da média. Esse é exatamente o cálculo que um escore z realiza.
Risco de investimento. Volatilidade é o desvio padrão dos retornos. Dois fundos com média de 8% ao ano não são investimentos equivalentes se um tiver um desvio padrão de 3% e o outro 22%, o segundo produzirá anos que testam a coragem do investidor, e a sequência de retornos é importante para quem recebe renda.
Medição e instrumentação. Medições repetidas da mesma quantidade de dispersão, e seu desvio padrão, quantificam a precisão do instrumento. É assim que um laboratório declara incerteza, e como dois instrumentos que medem a mesma coisa são comparados.
Perguntas frequentes
O que é desvio padrão?
O desvio padrão mede o quão longe os valores em um conjunto de dados normalmente ficam de sua média, expressos nas mesmas unidades dos dados originais. Um desvio padrão pequeno significa que os valores se agrupam próximo à média; um desvio grande significa que eles se espalham amplamente. É calculado ao quadrado cada desvio da média, fazendo a média desses quadrados e tomando a raiz quadrada.
Devo usar desvio padrão amostral ou populacional?
Use desvio padrão populacional quando seus dados cobrirem todos os membros do grupo que você está descrevendo, e divida por N. Use desvio padrão da amostra quando seus dados forem um subconjunto representando um grupo maior, e divida por n − 1. A amostra é mais comum na prática, já que a maioria dos dados reais é uma amostra de algo. Perguntas de livros quase sempre especificam qual é desejado.
Por que a fórmula da amostra se divide por n − 1?
Como a média amostral é calculada a partir dos mesmos valores contra os quais você mede os desvios, ela fica mais próxima deles do que a média real da população. Portanto, cada desvio é sistematicamente pequeno demais, e dividir por n subestimaria consistentemente a variância populacional. Dividir por n − 1, conhecido como correção de Bessel, compensa. Em n = 10 isso faz uma diferença de 11%; em n = 1,000, 0.1%.
O que é um bom desvio padrão?
Não existe um valor universalmente bom, porque o desvio padrão carrega as unidades dos dados. Julgue-o em relação à média usando o coeficiente de variação: um desvio padrão que é 5% da média indica dados apertados, enquanto 50% indica dispersão ampla. O que conta como aceitável depende inteiramente do campo, uma tolerância de manufatura e um conjunto de respostas de pesquisa têm expectativas muito diferentes.
Como o desvio padrão é diferente da variância?
A variância é o desvio quadrático médio da média; o desvio padrão é sua raiz quadrada. A variância está em unidades quadráticas, que não podem ser interpretadas diretamente em relação às medições originais, então a raiz quadrada é tomada para devolver a figura a unidades utilizáveis. Ambas descrevem a mesma distribuição, e o desvio padrão é o que você reporta.
O que diz a regra empírica?
Para dados aproximadamente distribuídos normalmente, cerca de 68% dos valores estão dentro de um desvio padrão da média, 95% dentro de dois e 99.7% dentro de três. Um teste com média de 70 e desvio padrão de 8, portanto, coloca aproximadamente dois terços das pontuações entre 62 e 78. A regra se divide em dados fortemente enviesados, então verifique primeiro a forma da distribuição.
O desvio padrão pode ser negativo?
Não. O desvio padrão é a raiz quadrada de uma média de valores ao quadrado, então nunca pode ser menor que zero. Ele é exatamente zero apenas quando todos os valores do conjunto de dados são idênticos, o que significa que não há espalhamento algum. Um resultado negativo indica um erro aritmético, geralmente um erro de sinal na etapa do desvio.
Qual é o erro padrão e como ele difere?
O desvio padrão descreve a distribuição dos valores individuais; o erro padrão descreve como a média amostral estima exatamente a média da população. O erro padrão é igual ao desvio padrão da amostra dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra, então ele diminui à medida que a amostra cresce. Intervalos de confiança são construídos a partir do erro padrão, não do desvio padrão.
Como faço para calcular o desvio padrão no Excel?
Use =STDEV.S(range) para uma amostra e =STDEV.P(range) para uma população. O antigo =STDEV() se comporta como STDEV.S e é mantido para compatibilidade. As funções de variância do Excel seguem a mesma nomeação: VAR.S e VAR.P. Confirme qual delas sua atribuição espera, já que as duas retornam números diferentes em conjuntos de dados pequenos.
Resumo
A Calculadora de Desvio Padrão retorna a amostra ou o desvio padrão da população em relação a qualquer conjunto de dados colado, junto com a variância, a média, a soma dos quadrados e uma tabela completa de desvios.
Ambas as fórmulas elevam ao quadrado o desvio de cada valor em relação à média, somam esses quadrados, dividem e tomam a raiz quadrada; elas diferem apenas ao dividir por n − 1 para uma amostra ou N para uma população.
Escolha a amostra quando os dados representam um grupo maior, o que é o caso usual, e espere uma diferença significativa entre os dois apenas em conjuntos pequenos, 11% em dez valores, 1% em cem. Interprete o resultado em relação à média usando o coeficiente de variação, ou contra a regra empírica quando os dados estiverem aproximadamente normais, e lembre-se de que fazer quadrados torna a medida sensível a valores atípicos.