Titolo SEO (58): Calcolatore di Deviazione Standard, SD di Campione e Popolazione Meta descrizione (155): Calcola la deviazione standard del campione o della popolazione da qualsiasi set di dati. Il Calcolatore di Deviazione Standard mostra la tabella delle deviazioni e ogni passaggio del lavoro.
Il Calcolatore di Deviazione Standard misura quanto lontani i valori in un insieme di dati sono dalla loro media, restituendo sia la deviazione standard del campione che la deviazione standard della popolazione a seconda di ciò che i dati rappresentano. Incollano valori separati da virgole, spazi o interruzioni di riga, e il calcolatore restituisce il risultato insieme alla varianza, alla media, alla somma dei quadrati e a una tabella a passi che mostra ogni deviazione utilizzata.
La tabella a gradini conta più del numero. La maggior parte delle persone che arrivano qui deve riprodurre il calcolo a mano per i compiti, e un risultato senza il lavoro non insegna nulla.
Calcola la deviazione standard da un set di dati
La deviazione standard risponde a una domanda: quanto sono distribuiti questi dati? Una piccola deviazione standard significa che i valori si raggruppano strettamente attorno alla media. Una grande significa che si disperdono. Due set di dati possono condividere una media identica e descrivere situazioni completamente diverse, e la deviazione standard è ciò che li separa.
Incolla i tuoi valori nel campo dati. Virgole, spazi, tabulazioni e interruzioni di riga funzionano tutti, quindi una colonna copiata direttamente da un foglio di calcolo non necessita di riformattazione. La calcolatrice riporta quanti valori legge direttamente sotto il campo, controlla che il conto sia stato incollato prima di leggere il risultato, perché un carattere vagante è la causa più comune di una risposta sbagliata.
La calcolatrice poi ordina i dati, calcola la media e lavora verso l'esterno da lì. Ogni valore intermedio viene mostrato, così puoi seguire o verificare un calcolo manuale in qualsiasi fase.
Scegli tra campione e popolazione
Questa scelta cambia la risposta, ed è l'unica cosa su questa pagina che vale la pena azzeccare prima di ogni altra cosa. Le due formule differiscono solo nel denominatore, ma su piccoli set di dati il divario è sostanziale. Usa la deviazione standard della popolazione (σ) quando i tuoi dati includono ogni membro del gruppo che vuoi descrivere.
I punteggi dei test di tutti gli studenti 24 in una classe, quando la classe è ciò che ti interessa. Ogni misura da un lotto completato. Il denominatore è N, il conteggio completo.
Usa la deviazione standard (s) campione quando i tuoi dati sono un sottoinsieme proveniente da un gruppo più ampio, e vuoi stimare la distribuzione di quel gruppo più ampio. Un sondaggio sugli elettori 200 che rappresentano un elettorato nazionale. Trenta componenti misurati rappresentano una produzione produttiva. Il denominatore è n − 1.
Il campione è il caso più comune nella pratica, motivo per cui questa calcolatrice lo utilizza di default. La maggior parte dei dati reali è un campione di qualcosa, e trattare un campione come una popolazione produce una cifra sistematicamente troppo piccola.
Se stai lavorando da un problema da manuale, la domanda dice quasi sempre quale dei due vuole. Cerca le parole "popolazione" o "campione", o una frase come "tutti il" contro "una selezione casuale di".
Applicare la formula della deviazione standard
Entrambe le formule seguono gli stessi cinque passaggi e si differiscono solo al quarto.
Population: σ = √( Σ(x − x̄)² / N )
Sample: s = √( Σ(x − x̄)² / (n − 1) )Lavorarci:
1. Trova la media. Aggiungi ogni valore e dividi per il conteggio. 2. Trova ogni deviazione. Sottrai la media da ogni valore. Alcuni sono negativi. 3. Squadra ogni deviazione. Questo elimina i negativi e dà più peso ai valori lontani dalla media. Il totale è la somma dei quadrati. 4. Dividi. Per N per una popolazione, per n − 1 per un campione. Il risultato è la varianza. 5. Prendi la radice quadrata. Questo restituisce la risposta alle unità originali.
Lo step 3 è dove i negativi scompaiono, e lo step 5 è il motivo per cui esiste la radice quadrata. Squadrando le deviazioni il risultato si traduce in unità quadrate, marchi al quadrato, centimetri al quadrato, che non possono essere interpretati direttamente. La radice quadrata lo riporta a qualcosa di paragonabile alle misure originali.
Calcolare la deviazione standard per 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9
Questo insieme di otto valori fornisce una deviazione standard della popolazione esattamente 2 e una deviazione standard campionaria di 2.138. Ogni passo sottostante può essere controllato manualmente. 1. Trova la media. 2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 40 40 ÷ 8 = 5
2. Trova ogni deviazione e squadrala.
| x | x − x̄ | (x − x̄)² |
|---|---|---|
| 2 | −3 | 9 |
| 4 | −1 | 1 |
| 4 | −1 | 1 |
| 4 | −1 | 1 |
| 5 | 0 | 0 |
| 5 | 0 | 0 |
| 7 | 2 | 4 |
| 9 | 4 | 16 |
| Σ = 0 | Σ = 32 |
3. Dividi, poi prendi la radice quadrata.
Popolazione: 32 ÷ 8 = 4, e √4 = 2 Esempio: 32 ÷ 7 = 4.571, e √4.571 = 2.138
Due cose da notare. La colonna delle deviazioni si somma esattamente a zero, e lo sarà sempre, cioè una proprietà della media e un controllo utile che non hai fatto un errore aritmetico. E le due risposte differiscono di 6.9% su otto valori. Quel gap non è arrotondamento. È la correzione descritta nella sezione successiva.
Leggi la tabella di step per deviazioni
La tabella a passi elenca ogni valore, la sua deviazione dalla media, e quella deviazione al quadrato, con i totali delle colonne in basso. La calcolatrice lo costruisce per qualsiasi dato tu inserisca. Leggilo da sinistra a destra e l'intera formula è visibile.
La colonna centrale mostra quali valori sollevano la media e quali la tirano verso il basso, e il totale è sempre zero. La colonna di destra mostra quali valori dominano il risultato; nell'esempio sopra, il singolo valore di 9 contribuisce con 16 del totale 32, metà della dispersione da un'osservazione su otto.
Quest'ultima osservazione vale la pena riflettere, perché spiega perché la deviazione standard è sensibile agli outlier. Fare quadratura significa che un valore a tre unità dalla media contribuisce nove volte di più di un valore a un'unità di distanza. Un'osservazione estrema può modificare notevolmente il risultato, motivo per cui un boxplot o un'analisi dei dati grezzi dovrebbero accompagnare qualsiasi deviazione standard su cui ti affidi.
Per i set di dati superiori a valori di 30, la tabella si comprime alla prima e alle ultime cinque righe con i totali intatti. La tabella completa rimane disponibile e viene copiata come valori separati da tabulazione per incollare in un foglio di calcolo o in un report.
Capire perché la formula campionaria si divide per n − 1
Questa è la domanda più posta sulla deviazione standard, e la risposta abituale, "corregge il bias", non spiega nulla. Ecco cosa sta effettivamente accadendo. Quando calcoli una deviazione standard campionaria, non conosci la media della popolazione. Usi invece la media campionaria.
Ma la media del campione viene calcolata *da quegli stessi valori*, il che significa che si trova più vicino a essi rispetto alla vera media della popolazione. È, per costruzione, il punto che minimizza la somma delle deviazioni quadratiche per quel particolare campione.
Quindi ogni deviazione che si misura è leggermente troppo piccola. Non è casualmente troppo piccola, sistematicamente, in una sola direzione, ogni volta. Dividendo per n si ottiene una varianza che sottostima costantemente la varianza della popolazione.
Dividendo per n − 1 invece compensa questo. La regolazione è chiamata correzione di Bessel, e n − 1 sono i gradi di libertà: una volta fissata la media, solo n − 1 delle deviazioni possono variare indipendentemente, perché quest'ultima è imposta dalla condizione che si sommino a zero.
La dimensione della correzione dipende interamente dalla dimensione del campione:
| Dimensione del campione | Differenza tra dividere per n − 1 e n |
|---|---|
| 5 | 25% varianza maggiore |
| 10 | 11% |
| 30 | 3.4% |
| 100 | 1.0% |
| 1,000 | 0.1% |
A n = 5 la scelta cambia la risposta in modo sostanziale. Oltre qualche centinaio di valori smette di avere importanza in senso pratico. Ecco perché la distinzione viene rafforzata nei corsi introduttivi, dove gli esempi sono piccoli, e perché i professionisti che lavorano con grandi set di dati raramente ci pensano.
Interpreta un valore di deviazione standard
Una deviazione standard da sola significa poco. È espressa nelle unità dei dati originali, quindi un valore di 12 potrebbe essere enorme o banale a seconda di ciò che si misura e della media. Due modi per dare il contesto.
Confrontalo con la media. Il coefficiente di variazione divide la deviazione standard per la media ed esprime il risultato come percentuale. Una deviazione standard di 12 contro una media di 500 è un CV di 2.4%, che è stretto. Rispetto a una media di 20, è 60%, che è enorme. Il CV permette anche di confrontare la distribuzione tra insiemi di dati misurati in unità diverse, cosa che una deviazione standard grezza non può.
Usa la regola empirica. Per dati che seguono una distribuzione approssimativamente normale, circa 68% dei valori si collocano entro una deviazione standard dalla media, circa 95% entro due e circa 99.7% entro tre. Quindi un test con una media di 70 e una deviazione standard di 8 mette circa due terzi degli studenti tra 62 e 78, con un punteggio di 94, tre deviazioni standard in più, nella posizione superiore 0.15%.
La regola empirica vale solo per dati approssimativamente normali. Su distribuzioni fortemente sbilanciate si scompone molto, e i dati di reddito sono l'esempio standard: la media si trova sopra la mediana, la distribuzione ha una lunga coda destra e "entro due deviazioni standard" smette di descrivere 95% di qualsiasi cosa. Controlla la forma dei tuoi dati con un istogramma prima di affidarti alla regola.
Calcola l'errore standard della media
L'errore standard misura la precisione della media stessa, piuttosto che la distribuzione dei singoli valori. Risponde a un'altra domanda: se questo campione venisse ricavato, quanto si sposterebbe la media?
SE = s / √nPer l'insieme di esempio, SE = 2.138 ÷ √8 = 0.756.
Si noti il √n nel denominatore. Quadruplicare la dimensione del campione dimezza l'errore standard, che è la ragione matematica per cui campioni più grandi forniscono stime più affidabili e il motivo per cui i rendimenti diminuiscono. Passando da 100 a 400 osservazioni dimezza l'incertezza nella media. Passando da 400 a 800 la migliora solo di 29%.
L'errore standard è da cui si basano gli intervalli di confidenza, ed è la cifra da citare quando si riporta quanto bene una media campionaria fissa una media di popolazione.
Utilizzare la deviazione standard nella pratica
Quattro punti in cui la misura svolge un lavoro reale, e cosa segnala effettivamente un cambiamento. Controllo qualità. Una linea di produzione viene monitorata sulla deviazione standard di una dimensione misurata, non solo sulla sua media. Un processo può mantenere una media perfetta mentre la distribuzione si allarga, e l'espansione significa che più parti escono dalla tolleranza.
Le tabelle di controllo segnalano una deviazione standard crescente prima che un singolo componente non venga ispezionato.
Punteggi dei test e valutazione. La deviazione standard converte un punteggio grezzo in una posizione. Un 78 non significa nulla finché non si conosce la media 65 e la deviazione standard è 7, momento in cui il punteggio è quasi due deviazioni standard sopra la media. Questo è esattamente il calcolo che un punteggio z effettua.
Rischio di investimento. La volatilità è la deviazione standard dei rendimenti. Due fondi che mediano 8% annuo non sono investimenti equivalenti se uno ha una deviazione standard di 3% e l'altro 22%, il secondo produrrà anni che mettono alla prova il coraggio dell'investitore, e la sequenza dei rendimenti è importante per chiunque stia percependo reddito.
Misurazione e strumentazione. Misurazioni ripetute della stessa quantità di scatter, e la loro deviazione standard, quantificano la precisione dello strumento. È così che un laboratorio dichiara l'incertezza e come vengono confrontati due strumenti che misurano la stessa cosa.
Domande frequenti
Cos'è la deviazione standard?
La deviazione standard misura quanto i valori in un insieme di dati si trovano tipicamente dalla loro media, espressi nelle stesse unità dei dati originali. Una piccola deviazione standard significa che i valori si raggruppano vicino alla media; una grande significa che si disperdono ampiamente. Si calcola facendo un quadrato di ogni deviazione dalla media, facendo la media di quei quadrati e prendendo la radice quadrata.
Dovrei usare la deviazione standard campionaria o della popolazione?
Usa la deviazione standard della popolazione quando i tuoi dati coprono ogni membro del gruppo che stai descrivendo, e dividi per N. Usa la deviazione standard del campione quando i tuoi dati rappresentano un sottoinsieme che rappresenta un gruppo più grande, e dividi per n − 1. Il campione è più comune nella pratica, poiché la maggior parte dei dati reali è un campione di qualcosa. Le domande da libro di testo quasi sempre specificano quale sia necessario.
Perché la formula campionaria si divide per n − 1?
Poiché la media campionaria viene calcolata dagli stessi valori su cui si misurano le deviazioni, si trova più vicina a esse rispetto alla vera media della popolazione. Ogni deviazione è quindi sistematicamente troppo piccola, e dividere per n sottostimetterebbe costantemente la varianza della popolazione. Dividere per n − 1, noto come correzione di Bessel, compensa. A n = 10 si crea una differenza di 11%; a n = 1,000, 0.1%.
Qual è una buona deviazione standard?
Non esiste un valore universalmente valido, perché la deviazione standard contiene le unità dei dati. Valutala rispetto alla media usando il coefficiente di variazione: una deviazione standard che è 5% della media indica dati stretti, mentre 50% indica ampia dispersione. Ciò che conta come accettabile dipende interamente dal campo, una tolleranza produttiva e un insieme di risposte al sondaggio hanno aspettative molto diverse.
In cosa differisce la deviazione standard dalla varianza?
La varianza è la deviazione quadratica media dalla media; la deviazione standard è la sua radice quadrata. La varianza è in unità quadrate, che non possono essere interpretate direttamente rispetto alle misure originali, quindi la radice quadrata viene presa per riportare la cifra a unità utilizzabili. Entrambe descrivono la stessa distribuzione, e la deviazione standard è quella che riferisci.
Cosa dice la regola empirica?
Per dati approssimativamente distribuiti normalmente, circa 68% dei valori si collocano entro una deviazione standard dalla media, 95% entro due e 99.7% entro tre. Un test con media 70 e deviazione standard di 8 colloca quindi circa due terzi dei punteggi tra 62 e 78. La regola si suddivide su dati fortemente asimmetrici, quindi controlla prima la forma della distribuzione.
La deviazione standard può essere negativa?
No. La deviazione standard è la radice quadrata di una media di valori quadrati, quindi non può mai essere inferiore a zero. È esattamente zero solo quando ogni valore nel set di dati è identico, il che significa che non c'è alcuna dispersione. Un risultato negativo indica un errore aritmetico, di solito un errore di segno nel passaggio di deviazione.
Qual è l'errore standard e in cosa differisce?
La deviazione standard descrive la distribuzione dei singoli valori; l'errore standard descrive come la media campionaria stima con precisione la media della popolazione. L'errore standard è uguale alla deviazione standard del campione divisa per la radice quadrata della dimensione del campione, quindi essa si riduce man mano che il campione cresce. Gli intervalli di confidenza sono costruiti sull'errore standard, non sulla deviazione standard.
Come calcolo la deviazione standard in Excel?
Usa =STDEV.S(range) per un campione e =STDEV.P(range) per una popolazione. Il vecchio =STDEV() si comporta come STDEV.S ed è mantenuto per compatibilità. Le funzioni di varianza di Excel seguono la stessa denominazione: VAR.S e VAR.P. Conferma quale delle due si aspetta la tua assegnazione, poiché i due restituiscono numeri diversi su piccoli set di dati.
Riepilogo
Il Calcolatore di Deviazione Standard restituisce o il campione o la deviazione standard della popolazione da qualsiasi insieme di dati incollati, insieme alla varianza, alla media, alla somma dei quadrati e a una tabella completa delle deviazioni.
Entrambe le formule quadrano la deviazione di ogni valore dalla media, sommano quei quadrati, dividono e prendono la radice quadrata; differiscono solo dividendo per n − 1 per un campione o N per una popolazione.
Scegli il campione quando i dati rappresentano un gruppo più grande, che è il caso usuale, e aspettati una differenza significativa tra i due solo su piccoli insiemi di dati, 11% a dieci valori, 1% a cento. Interpreta il risultato rispetto alla media usando il coefficiente di variazione, o rispetto alla regola empirica quando i dati sono approssimativamente normali, e ricorda che fare un quadrato rende la misura sensibile agli outlier.
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