عنوان تحسين محركات البحث (58): حاسبة الانحراف المعياري، عينة وSD للسكان الوصف الميتا (155): احسب الانحراف المعياري للعينة أو السكان من أي مجموعة بيانات. توضح حاسبة الانحراف المعياري جدول الانحراف وكل خطوة من خطوات العمل.
تقيس حاسبة الانحراف المعياري مدى بعد القيم في مجموعة البيانات عن متوسطها، حيث تعيد إما الانحراف المعياري للعينة أو انحراف السكان حسب ما تمثله البيانات. عند لصق القيم المفصولة بفواصل أو مسافات أو فواصل سطر، وتعيد الحاسبة النتيجة إلى جانب التباين، والمتوسط، ومجموع المربعات، وجدول الخطوات الذي يوضح كل انحراف استخدمته.
جدول الخطوات أهم من الرقم. معظم الناس الذين يصلون إلى هنا يحتاجون إلى إعادة إنتاج الحساب يدويا للعمل الدراسي، والنتيجة بدون العمل لا تعلم شيئا.
حساب الانحراف المعياري عن مجموعة بيانات
يجيب الانحراف المعياري على سؤال واحد: ما مدى انتشار هذه البيانات؟ الانحراف المعياري الصغير يعني أن القيم تتجمع بشكل متقارب حول المتوسط. الانحراف المعياري الكبير يعني أنها تتشتت. يمكن لمجموعتي بيانات أن تشتركان في متوسط متطابق وتصفان حالات مختلفة تماما، والانحراف المعياري هو ما يفصلهما.
الصق قيمك في حقل البيانات. الفواصل، المسافات، علامات التبويب وفواصل الأسطر كلها تعمل، لذا العمود المنسوخ مباشرة من جدول بيانات لا يحتاج إلى إعادة تنسيق. الآلة الحاسبة تبلغ عن عدد القيم التي قرأتها مباشرة تحت الحقل، تحقق من هذا العدد مقابل ما لصقته قبل قراءة النتيجة، لأن الحرف الضال هو السبب الأكثر شيوعا للإجابة الخاطئة.
ثم تقوم الحاسبة بفرز البيانات، وحساب المتوسط، والعمل من هناك. كل قيمة وسيطة معروضة، لذا يمكنك متابعة أو التحقق من حساب يدوي في أي خطوة.
اختر بين العينة والسكان
هذا الخيار يغير الإجابة، وهو الشيء الوحيد في هذه الصفحة الذي يستحق التأكد منه قبل أي شيء آخر. الصيغتان تختلفان فقط في المقام بينهما، لكن في مجموعات البيانات الصغيرة الفجوة كبيرة. استخدم الانحراف المعياري للسكان (σ) عندما تشمل بياناتك كل عضو في المجموعة التي تريد وصفها.
درجات الاختبار لجميع طلاب 24 في صف واحد، عندما تكون المادة هي ما تهتم به. كل قياس من دفعة مكتملة. المقام هو N، العدد الكامل.
استخدم الانحراف المعياري (النموذجي) عندما تكون بياناتك مجموعة فرعية مأخوذة من مجموعة أكبر، وتريد تقدير توزيع تلك المجموعة الأكبر. استطلاع لناخبي 200 الذين يمثلون دائرة انتخابية وطنية. ثلاثون مكنا مقاسة تمثل فترة إنتاج. المقام هو n − 1.
العينة هي الحالة الأكثر شيوعا في التطبيق العملي، ولهذا السبب تستخدم هذه الحاسبة بشكل افتراضي. معظم البيانات الحقيقية هي عينة من شيء ما، ومعاملة العينة كمجموعة سكانية تنتج رقما صغيرا جدا بشكل منهجي.
إذا كنت تعمل من مسألة كتابية، فإن السؤال غالبا ما يحدد أي واحدة يريدها. ابحث عن كلمات "السكان" أو "العينة"، أو عن عبارة مثل "الكل" مقابل "اختيار عشوائي من".
تطبيق صيغة الانحراف المعياري
تتبع الصيغتان نفس الخطوات الخمس وتتباعدان فقط عند الرابعة.
Population: σ = √( Σ(x − x̄)² / N )
Sample: s = √( Σ(x − x̄)² / (n − 1) )العمل على تجاوز الأمر:
1. ابحث عن المتوسط. أضف كل قيمة واقسم على العد. 2. ابحث عن كل انحراف. اطرح المتوسط من كل قيمة. بعضها سالب. 3. تربيع كل انحراف. هذا يزيل السلبيات ويعطي وزنا أكبر للقيم البعيدة عن المتوسط. المجموع هو مجموع المربعات. 4. قسم. على N للسكان، على n − 1 للعينة. النتيجة هي التباين. 5. خذ الجذر التربيعي. هذا يعيد الإجابة إلى الوحدات الأصلية.
الخطوة 3 هي حيث تختفي السلبيات، والخطوة 5 هي سبب وجود الجذر التربيعي أصلا. تربيع الانحرافات يدفع النتيجة إلى وحدات مربعة، وعلامات مربعة، وسنتيمترات مربعة، لا يمكن تفسيرها مباشرة. الجذر التربيعي يعيدها إلى شيء قابل للمقارنة مع القياسات الأصلية.
احسب الانحراف المعياري ل 2، 4، 4، 4، 5، 5، 7، 9
تعطي هذه المجموعة ذات الثماني قيم انحراف معياري سكاني بالضبط 2 وانحراف معياري عينة ل 2.138. يمكن فحص كل خطوة أدناه يدويا. 1. ابحث عن المتوسط. 2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 7 + 9 = 40 40 ÷ 8 = 5
2. ابحث عن كل انحراف وتربيعه.
| x | x − x̄ | (x − x̄)² |
|---|---|---|
| 2 | −3 | 9 |
| 4 | −1 | 1 |
| 4 | −1 | 1 |
| 4 | −1 | 1 |
| 5 | 0 | 0 |
| 5 | 0 | 0 |
| 7 | 2 | 4 |
| 9 | 4 | 16 |
| Σ = 0 | Σ = 32 |
3. قسم، ثم خذ الجذر التربيعي.
عدد السكان: 32 ÷ 8 = 4، و √4 = 2 العينة: 32 ÷ 7 = 4.571، و √4.571 = 2.138
هناك أمران يجب ملاحظتهما. عمود الانحرافات يجمع الصفر بالضبط، وسيظل كذلك دائما، فهذا خاصية للمتوسط وتحقق مفيد أنك لم تقم بأي زلة حسابية. والإجابتان تختلفان بمقدار 6.9٪ على ثماني قيم. تلك الفجوة ليست تقريبا. إنها التصحيح الموصوف في القسم التالي.
اقرأ جدول خطوات الانحراف
جدول الخطوات يسرد كل قيمة، وانحرافها عن المتوسط، وهذا الانحراف تربيع، مع مجموع الأعمدة في الأسفل. الحاسبة تبني كل البيانات التي تدخلها. اقرأها من اليسار إلى اليمين وستظهر الصيغة كاملة.
يظهر العمود الأوسط أي القيم تسحب المتوسط للأعلى وأيها تسحبه للأسفل، ودائما ما يكون مجموع القيم صفرا. يظهر العمود الأيمن أي القيم تهيمن على النتيجة، وفي المثال أعلاه، تساهم القيمة الوحيدة ل 9 ب 16 من إجمالي 32، أي نصف الفارق من ملاحظة واحدة من ثمانية.
هذه الملاحظة الأخيرة تستحق الانتظار، لأنها تفسر لماذا الانحراف المعياري حساس للقيم الشاذة. التربيع يعني أن قيمة ثلاث وحدات من المتوسط تساهم بتسعة أضعاف قيمة وحدة واحدة فقط. ملاحظة واحدة متطرفة يمكن أن تحرك النتيجة بشكل كبير، ولهذا السبب يجب أن يرافق مخطط الصندوق أو نظرة على البيانات الخام أي انحراف معياري تعتمد عليه.
بالنسبة لمجموعات البيانات التي تزيد عن قيم 30، ينهار الجدول إلى الصفوف الخمسة الأولى والأخيرة مع الحفاظ على الإجماليات. يبقى الجدول الكامل متاحا وينسخ كقيم منفصلة عبر علامات التبويب للصقها في جدول بيانات أو تقرير.
فهم لماذا تقسم صيغة العينة على n − 1
هذا هو السؤال الأكثر طرحا حول الانحراف المعياري، والإجابة المعتادة، "إنها تصحح للانحياز"، لا تفسر شيئا. إليك ما يحدث فعليا. عندما تحسب انحراف معياري للعينة، لا تعرف متوسط السكان. تستخدم متوسط العينة بدلا من ذلك.
لكن متوسط العينة يحسب *من نفس القيم*، مما يعني أنه أقرب إليها من متوسط السكان الحقيقي. هو، حسب البناء، النقطة التي تقلل مجموع الانحرافات المربعة لتلك العينة المحددة.
لذا كل انحراف تقيس صغير قليلا. ليس صغيرا عشوائيا، بشكل منهجي في اتجاه واحد، في كل مرة. القسمة على n يعطي تباين يقلل باستمرار من تقدير تباين السكان.
القسمة على n − 1 تعوض ذلك بدلا من ذلك. يسمى هذا التعديل تصحيح بيسل، وn − 1 هو درجات الحرية: بمجرد تثبيت المتوسط، يمكن أن يتغير فقط n − 1 من الانحرافات بشكل مستقل، لأن الأخير يجبره على شرط أن يكون مجموعها صفرا.
يعتمد حجم التصحيح بالكامل على حجم العينة:
| حجم العينة | الفرق بين القسمة على n − 1 و n |
|---|---|
| 5 | 25٪ تباين أكبر |
| 10 | 11% |
| 30 | 3.4% |
| 100 | 1.0% |
| 1,000 | 0.1% |
عند n = 5 يغير الاختيار الإجابة بشكل جوهري. بعد بضع مئات من القيم، يتوقف عن الأهمية العملية بأي شكل عملي. لهذا السبب يتم التدقيق في الفرق في الدورات التمهيدية، حيث تكون الأمثلة صغيرة، ولماذا نادرا ما يفكر الممارسون العاملون مع مجموعات بيانات كبيرة في ذلك.
تفسير قيمة الانحراف المعياري
الانحراف المعياري بمفرده لا يعني الكثير. يتم التعبير عنه بوحدات البيانات الأصلية، لذا قد تكون قيمة 12 هائلة أو تافهة حسب ما يتم قياسه وما هو المتوسط. هناك طريقتان لإعطائها سياق.
قارنها بالمتوسط. معامل التباين يقسم الانحراف المعياري على المتوسط ويعبر عن النتيجة كنسبة مئوية. الانحراف المعياري ل 12 مقابل متوسط 500 هو CV بقيمة 2.4٪، وهو ضيق. مقابل متوسط 20، يكون 60٪ وهو ضخم. تتيح لك CV أيضا مقارنة الفارق بين مجموعات البيانات المقاسة بوحدات مختلفة، وهو ما لا يمكن للانحراف المعياري الخام ذلك.
استخدم القاعدة التجريبية. بالنسبة للبيانات التي تتبع توزيعا تقريبيا طبيعيا، تقع حوالي 68٪ من القيم ضمن انحراف معياري واحد للمتوسط، وحوالي 95٪ ضمن اثنين، وحوالي 99.7٪ ضمن ثلاثة. لذا فإن الاختبار بمتوسط 70 وانحراف معياري 8 يضع حوالي ثلثي الطلاب بين 62 و 78، ودرجة 94، مع ثلاثة انحرافات معيارية أعلى، في أعلى 0.15٪.
القاعدة التجريبية تنطبق فقط على البيانات الطبيعية تقريبا. في التوزيعات المنحازة بشدة تنهار بشكل سيء، وبيانات الدخل هي المثال القياسي: المتوسط فوق الوسيط، والتوزيع له ذيل يمين طويل، و"ضمن انحرافين معياريين" يتوقف عن وصف 95٪ من أي شيء. تحقق من شكل بياناتك باستخدام مخطط مدرج قبل الاعتماد على القاعدة.
حساب الخطأ المعياري للمتوسط
يقيس الخطأ المعياري دقة المتوسط نفسه، وليس توزيع القيم الفردية. يجيب على سؤال مختلف: إذا تم سحب هذه العينة مرة أخرى، إلى أي مدى سيتحرك المتوسط؟
SE = s / √nبالنسبة لمجموعة الأمثلة، SE = 2.138 ÷ √8 = 0.756.
لاحظ √n في المقام. تعدد حجم العينة أربع مرات يقلل الخطأ القياسي إلى النصف، وهو السبب الرياضي الذي يجعل العينات الأكبر تعطي تقديرات أكثر موثوقية، وسبب انخفاض العوائد. الانتقال من 100 إلى 400 يقلل من عدم اليقين في المتوسط إلى النصف. الانتقال من 400 إلى 800 يحسنها فقط بمقدار 29٪.
الخطأ القياسي هو ما تبنى منه فترات الثقة، وهو الرقم الذي يجب اقتباسه عند الإبلاغ عن مدى كفاءة متوسط العينة في تحديد متوسط السكان.
استخدم الانحراف المعياري في التطبيق
أربعة أماكن يقوم المقياس بعمل حقيقي، وما يشير إليه التغيير فعليا. مراقبة الجودة. يتم مراقبة خط الإنتاج بناء على الانحراف المعياري لبعد مقاس، وليس فقط على المتوسط. يمكن للعملية أن تحافظ على متوسط مثالي بينما يتسع الانتشار، وتوسيع الفرق يعني أن المزيد من الأجزاء تخرج عن التسامح.
تشير مخططات التحكم إلى ارتفاع الانحراف المعياري قبل أن يفشل أي جزء فردي في الفحص.
درجات الاختبار والتقييم. الانحراف المعياري يحول الدرجة الخام إلى مركز. 78 لا يعني شيئا حتى تعرف أن المتوسط هو 65 والانحراف المعياري هو 7، وعندها تكون الدرجة تقريبا انحرافين معياريين فوق المتوسط. هذا بالضبط هو الحساب الذي تقوم به درجة z.
مخاطر الاستثمار. التقلب هو الانحراف المعياري للعوائد. صندوقان بمتوسط 8٪ سنويا ليسا استثمارات متكافئة إذا كان أحدهما لديه انحراف معياري 3٪ والآخر 22٪، الثاني ينتج سنوات تختبر شجاعة المستثمر، وتسلسل العوائد مهم لأي شخص يسحب دخلا.
القياس والأجهزة. القياسات المتكررة لنفس الكمية تتبعثر، وانحرافها المعياري تحدد دقة الأداة. هذا هو كيف يعبر المختبر عن عدم اليقين، وكيف تقارن جهازان يقيسان نفس الشيء.
الأسئلة الشائعة
ما هو الانحراف المعياري؟
يقيس الانحراف المعياري مدى البعد الذي تقع فيه القيم في مجموعة البيانات عادة عن متوسطها، المعبر عنها بنفس وحدات البيانات الأصلية. الانحراف المعياري الصغير يعني أن القيم تتجمع بالقرب من المتوسط؛ والانحراف الكبير يعني أنها تتشتت على نطاق واسع. يتم حسابه عن طريق تربيع كل انحراف عن المتوسط، ومتوسط تلك المربعات، وأخذ الجذر التربيعي.
هل يجب أن أستخدم الانحراف المعياري للعينة أم السكان؟
استخدم الانحراف المعياري للسكان عندما تغطي بياناتك كل عضو من المجموعة التي تصفها، وقسمها على N. استخدم الانحراف المعياري للعينة عندما تكون بياناتك مجموعة فرعية تمثل مجموعة أكبر، وقسمها على n − 1. العينة أكثر شيوعا في التطبيق العملي، لأن معظم البيانات الحقيقية هي عينة من شيء ما. الأسئلة في الكتب المدرسية تحدد تقريبا دائما ما هو المطلوب.
لماذا تقسم صيغة العينة على n − 1؟
لأن متوسط العينة يحسب من نفس القيم التي تقيس الانحراف ضدها، فإنه يقع أقرب إليها من المتوسط السكاني الحقيقي. لذلك كل انحراف صغير جدا بشكل منهجي، والقسمة على n سيقلل باستمرار من تقدير تباين السكان. القسمة على n − 1، المعروف بتصحيح بيسل، يعوض ذلك. عند n = 10 يحدث فرقا 11٪؛ عند n = 1، 000، 0.1٪.
ما هو الانحراف المعياري الجيد؟
لا توجد قيمة جيدة عالميا، لأن الانحراف المعياري يحمل وحدات البيانات. قارن ذلك مقابل المتوسط باستخدام معامل التغير: الانحراف المعياري الذي هو 5٪ من المتوسط يشير إلى بيانات دقيقة، بينما يشير 50٪ إلى تشتت واسع. ما يعتبر مقبولا يعتمد كليا على المجال، حيث أن التوزيع الصناعي ومجموعة من ردود الاستبيانات لهما توقعات مختلفة تماما.
كيف يختلف الانحراف المعياري عن التباين؟
التباين هو متوسط التربيع الانحراف عن المتوسط؛ الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي. التباين يكون بوحدات تربيعية، ولا يمكن تفسيرها مباشرة مقابل القياسات الأصلية، لذا يؤخذ الجذر التربيعي لإعادة الشكل إلى وحدات قابلة للاستخدام. كلاهما يصف نفس الانتشار، والانحراف المعياري هو الذي تبلغ عنه.
ماذا تقول القاعدة التجريبية؟
بالنسبة للبيانات الموزعة بشكل طبيعي تقريبا، تقع حوالي 68٪ من القيم ضمن انحراف معياري واحد للمتوسط، و95٪ ضمن اثنين، و99.7٪ ضمن ثلاثة. لذا فإن الاختبار الذي يكون متوسطه 70 وانحراف معياري 8 يضع تقريبا ثلثي الدرجات بين 62 و 78. تنهار القاعدة على البيانات ذات الانحراف الشديد، لذا تحقق من شكل التوزيع أولا.
هل يمكن أن يكون الانحراف المعياري سالبا؟
لا. الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي لمتوسط القيم المربعة، لذا لا يمكن أن يكون أقل من صفر. يساوي الصفر تماما فقط عندما تكون كل قيمة في مجموعة البيانات متطابقة، مما يعني أنه لا يوجد انتشار على الإطلاق. تشير النتيجة السلبية إلى خطأ حسابي، عادة خطأ في إشارة في خطوة الانحراف.
ما هو الخطأ القياسي وكيف يختلف؟
الانحراف المعياري يصف انتشار القيم الفردية؛ الخطأ المعياري يصف مدى دقة تقدير متوسط العينة لمتوسط السكان. الخطأ المعياري يساوي انحراف العينة مقسوما على الجذر التربيعي لحجم العينة، لذا يتقلص مع نمو العينة. تبنى فترات الثقة من الخطأ المعياري، وليس الانحراف المعياري.
كيف أحسب الانحراف المعياري في إكسل؟
استخدم =STDEV.S(range) كعينة و=STDEV.P(range) لمجموعة سكانية. =STDEV() الأقدم يتصرف مثل STDEV.S ويتم الاحتفاظ به للتوافق. تتبع دوال التباين في Excel نفس التسمية: VAR.S و VAR.P. تأكد من أي واحدة تتوقعها تعيينك، لأن الاثنين يعيدان أرقاما مختلفة على مجموعات بيانات صغيرة.
ملخص
تعيد حاسبة الانحراف المعياري إما العينة أو انحراف معيار السكان من أي مجموعة بيانات ملصقة، مع التباين، والمتوسط، ومجموع المربعات، وجدول الانحراف الكامل.
كلا الصيغتين تربيع انحراف كل قيمة عن المتوسط، وتجمع تلك المربعات، وتقسم، وتأخذ الجذر التربيعي؛ تختلف فقط في قسمتها على n − 1 للعينة أو N للسكان.
اختر العينة عندما تمثل البيانات مجموعة أكبر، وهو المعتاد، وتوقع فرقا ذا معنى بينهما فقط على مجموعات بيانات صغيرة، 11٪ عند عشر قيم، 1٪ عند مئة. فسر النتيجة مقابل المتوسط باستخدام معامل التغير، أو مقابل القاعدة التجريبية عندما تكون البيانات تقريبا طبيعية، وتذكر أن التربيع يجعل المقياس حساسا للقيم الشاذة.
حاسبات ذات صلة
حاسبة التباين · حاسبة المتوسط، الوسيط، النمط · حاسبة درجة Z · حاسبة الإحصاء الوصفي