تطبق حاسبة نظرية فيثاغورس a² + b² = c² على المثلث القائم، لحل الوتر أو الساق المفقودة أو اختبار نعم أو لا لمعرفة ما إذا كانت ثلاثة أضلاع معينة تشكل زاوية قائمة. أدخل أي جانبين من الجوانب الثلاثة للعثور على الجانب الثالث، أو أدخل الثلاثة جميعًا لتشغيل التحقق العكسي.
تنطبق العلاقة فقط على المثلثات القائمة الزاوية، حيث c هو الضلع المقابل للزاوية القائمة. تعرض الآلة الحاسبة المربعات المستبدلة والجذر التربيعي بحيث يمكن التحقق من كل خطوة يدويًا.
تطبيق نظرية فيثاغورس
تنص نظرية فيثاغورس على أن مربع الوتر في المثلث القائم يساوي مجموع مربعي ساقيه. مكتوب بالأحرف المعتادة، أي a² + b² = c²، حيث c هو الضلع الأطول. النظرية هي المحرك خلف المسافة على المستوى الإحداثي، وقطر المستطيل، والارتفاع المائل للمخروط.
هذه الصفحة تمتلك العلاقة الصرفة والعكس. تمتلك حاسبة المثلث القائم الحل المثلثي الكامل عندما تكون هناك زاوية أيضًا. أدخل الجوانب المعروفة، واختر المتغير الذي تريد حله إذا لزم الأمر، واقرأ النتيجة مع توسيع الحدود المربعة في لوحة العمل.
حل من أجل الوتر
عندما يكون كلا الساقين معروفين، فإن الوتر هو الجذر التربيعي الموجب لمجموع مربعيهما. الطول دائمًا أكبر من أي من الساقين. تظل الوحدات متسقة مع المدخلات: إذا كانت a وb بالسنتيمتر، فإن c بالسنتيمتر.
c = √(a² + b²)يتم تقديم النموذج الجذري التام عندما لا يكون مجموع المربعات مربعًا كاملاً، إلى جانب القيمة العشرية. بالنسبة للأرجل الصحيحة التي تشكل ثلاثية معروفة، تكون النتيجة عددًا صحيحًا. بالنسبة للأرجل الأخرى، تُبلغ الآلة الحاسبة عن رقم عشري مقرب وتحافظ على الدقة الكاملة داخليًا.
حل لساق مفقودة
عندما يكون الوتر وأحد الساقين معروفين، أعد ترتيب النظرية لعزل الساق المجهولة. يجب أن يكون الوتر أطول بشكل صارم من الساق المعروفة. إذا كانت c أقل من أو تساوي a، فلا يوجد مثلث قائم حقيقي بهذين الطولين، وتبلغ الأداة عن الاستحالة بدلاً من إرجاع جذر غير صالح.
b = √(c² - a²)نفس عملية إعادة الترتيب تعمل مع فقدان إحدى الساقين. اختر الحقل الذي يطابق المجهول، وأدخل الطولين الآخرين، وستقوم الآلة الحاسبة بسد الفجوة.
اختبار ما إذا كان المثلث قائم الزاوية
يقول عكس نظرية فيثاغورس أنه إذا كانت ثلاثة أطوال موجبة تحقق a² + b² = c² عندما يكون c هو الأطول، فإن المثلث الذي له تلك الأضلاع يكون قائم الزاوية عند الرأس بين a وb. أدخل الجوانب الثلاثة لتشغيل هذا الفحص.
تقوم الآلة الحاسبة بتربيع كل جانب، وتقارن مجموع المربعين الأصغر مع المربع الأكبر، وتعرض زاوية قائمة أو حادة أو منفرجة. يغطي تسامح الفاصلة العائمة تقريب الجوانب المقاسة بحيث لا يتم تسمية الخطأ الوشيك بشكل خاطئ. هذا الاختبار هو سبب قبول الصفحة لثلاثة مدخلات حتى في حالة عدم فقدان أي شيء.
قم بحل المثلث ذو الأرجل 6 و 8
خذ الساقين أ = 6 و ب = 8. هذه الأضلاع مقسومة على 3-4-5 ثلاثية، كل منها مضروب في 2، لذا فإن الوتر هو العدد الصحيح 10 ويظل الحساب دقيقًا خلال كل خطوة.
1. Square each leg. `` 6² = 36 8² = 64 ``
2. Add the squares. `` 36 + 64 = 100 ``
3. Take the square root. `` c = √100 = 10 ``
مساحة هذا المثلث القائم هي (1/2) × 6 × 8 = 24، وهو ما يطابق مثال SSS الموضح في صفحة حاسبة المثلث.
التعرف على ثلاثية فيثاغورس الشائعة
ثلاثية فيثاغورس هي ثلاثة أعداد صحيحة موجبة a، b، c مع a² + b² = c². الثلاثيات البدائية ليس لها عامل مشترك. الأكثر شيوعًا التي يلتقي بها الطلاب مذكورة أدناه. أي عدد صحيح موجب مضاعف لثلاثي هو أيضًا مثلث قائم: 6-8-10، 9-12-15، و10-24-26 هي نسخ متدرجة.
| Triple | Check |
|---|---|
| 3-4-5 | 9 + 16 = 25 |
| 5-12-13 | 25 + 144 = 169 |
| 8-15-17 | 64 + 225 = 289 |
| 7-24-25 | 49 + 576 = 625 |
| 20-21-29 | 400 + 441 = 841 |
| 9-40-41 | 81 + 1600 = 1681 |
التعرف على الثلاثي يوفر الوقت في الامتحانات لأن الوتر لا يحتاج إلى آلة حاسبة بمجرد اكتشاف النمط.
استخدم النظرية في الهندسة الإحداثية
ضع نقطتين على مستوى وتشكل الفجوات الأفقية والرأسية بينهما أرجل مثلث قائم الزاوية. مسافة الخط المستقيم هي الوتر. هذه الهوية هي السبب في أن صيغة المسافة تبدو مثل نظرية فيثاغورس مع Δx وΔy بدلاً من a وb.
d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)تمتلك حاسبة المسافة المعالجة الكاملة ثنائية وثلاثية الأبعاد. تمتلك حاسبة المنحدر الارتفاع على المدى لنفس النقطتين. هذه الصفحة هي المكان المناسب لمعرفة سبب نجاح هذه الصيغ: ترسم الشبكة مثلثًا قائمًا، وc هي المسافة.
الأسئلة الشائعة
ما هي نظرية فيثاغورس؟
تنص نظرية فيثاغورس على أنه بالنسبة للمثلث القائم الزاوية ذو الأضلاع a وb والوتر c، فإن a² + b² = c². المربع الموجود على الجانب الأطول يساوي مجموع المربعين الموجودين على الضلعين الآخرين.
كيف يمكنني العثور على الوتر؟
قم بتربيع كلا الساقين، ثم أضف النتائج، ثم خذ الجذر التربيعي الموجب: c = √(a² + b²). للأرجل 6 و8، ج = √(36 + 64) = √100 = 10.
كيف يمكنني العثور على الساق المفقودة؟
أعد الترتيب إلى b = √(c² - a²)، حيث c هو الوتر وa هو الضلع المعروف. يجب أن يكون الوتر أطول من الساق المعروفة وإلا فلن يكون هناك حل حقيقي.
كيف يمكنني معرفة ما إذا كانت الجوانب الثلاثة تشكل مثلثًا قائمًا؟
رتب الجوانب بحيث يكون c هو الأطول، ثم تحقق مما إذا كان a² + b² يساوي c². إذا كان الأمر كذلك، فإن المثلث قائم الزاوية. إذا كانت a² + b² أكبر، يكون المثلث حادًا. وإذا كان أصغر فهو منفرج.
ما هي ثلاثيات فيثاغورس الأكثر شيوعا؟
يلتقي الطلاب الثلاثيون أولاً هم 3-4-5 و5-12-13 و8-15-17 و7-24-25 و20-21-29 و9-40-41. المضاعفات مثل 6-8-10 هي مثلثات صحيحة بشكل متساوٍ.
هل تنطبق النظرية على المثلثات غير القائمة؟
لا، المساواة a² + b² = c² تكون فقط عندما تكون الزاوية بين a وb 90 درجة. بالنسبة للمثلثات الأخرى، استخدم قانون جيب التمام، والذي يختزل إلى نظرية فيثاغورس عندما تكون الزاوية المحصورة زاوية قائمة.
كيف ترتبط النظرية بصيغة المسافة؟
المسافة بين نقطتين هي وتر المثلث القائم الزاوية الذي يتكون من فواصلهما الأفقية والرأسية. يؤدي توسيع هذا الوتر إلى إنتاج √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²).
هل تستطيع الآلة الحاسبة حل أي من المتغيرين؟
نعم. أدخل أي اثنين من a وb وc للعثور على الثالث، أو أدخل الثلاثة جميعًا لاختبار العكس. الحل لأي متغير مدمج في علاقات المحرك.
لماذا يجب أن يكون c هو الضلع الأطول؟
في المثلث القائم، يواجه الوتر الزاوية الأكبر، لذا فهو أطول تمامًا من أي من الساقين. إن وضع علامة على الساق كـ c يكسر الصيغة واختبار العكس.
ملخص
تطبق حاسبة نظرية فيثاغورس a² + b² = c² للعثور على الوتر أو الساق المفقودة، وتستخدم العكس لاختبار ما إذا كانت ثلاثة جوانب تشكل زاوية قائمة. الأرجل 6 و8 تعطي الوتر 10. تم إدراج الأعداد الصحيحة الثلاثية الشائعة مثل 3-4-5 و5-12-13 للتعرف عليها بسرعة. نفس العلاقة تدعم صيغة مسافة الإحداثيات.
الآلات الحاسبة ذات الصلة
حاسبة المثلث القائم · حاسبة المثلث · حاسبة المسافة · حاسبة المستطيل