Kalkulator twierdzenia Pitagorasa stosuje a² + b² = c² do trójkąta prostokątnego, rozwiązując przeciwprostokątną, brakującą nogę lub sprawdzając, czy trzy dane boki tworzą kąt prosty. Wprowadź dowolne dwie z trzech stron, aby znaleźć trzecią, lub wprowadź wszystkie trzy, aby przeprowadzić sprawdzanie odwrotne.
Zależność obowiązuje tylko dla trójkątów prostokątnych, gdzie c jest bokiem przeciwnym do kąta prostego. Kalkulator pokazuje podstawione kwadraty i pierwiastek kwadratowy, dzięki czemu każdy krok można sprawdzić ręcznie.
Zastosuj twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Pitagorasa stwierdza, że w trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów dwóch nóg. Zapisane zwykłymi literami, czyli a² + b² = c², gdzie c jest najdłuższym bokiem. Twierdzenie to silnik odpowiedzialny za odległość w płaszczyźnie współrzędnych, przekątną prostokąta i wysokość nachylenia stożka.
Ta strona jest właścicielem czystej relacji i odwrotności. Kalkulator trójkąta prostokątnego oferuje pełne rozwiązanie trygonometryczne, gdy w grę wchodzi również kąt. Wprowadź znane boki, w razie potrzeby wybierz zmienną, którą chcesz rozwiązać, i przeczytaj wynik z rozwiniętymi kwadratami w panelu roboczym.
Znajdź przeciwprostokątną
Gdy znane są obie nogi, przeciwprostokątna jest dodatnim pierwiastkiem kwadratowym z sumy ich kwadratów. Długość jest zawsze większa niż którejkolwiek nogi. Jednostki pozostają spójne z danymi wejściowymi: jeśli a i b są w centymetrach, c jest w centymetrach.
c = √(a² + b²)Forma dokładnie radykalna jest oferowana, gdy suma kwadratów nie jest kwadratem idealnym, obok wartości dziesiętnej. W przypadku nóg całkowitych tworzących znaną trójkę wynikiem jest liczba całkowita. W przypadku innych nóg kalkulator podaje zaokrągloną liczbę dziesiętną i wewnętrznie utrzymuje pełną precyzję.
Rozwiązanie problemu brakującej nogi
Gdy znana jest przeciwprostokątna i jedna noga, zmień układ twierdzenia, aby wyizolować nieznaną nogę. Przeciwprostokątna musi być ściśle dłuższa niż znana noga. Jeśli c jest mniejsze lub równe a, nie istnieje prawdziwy trójkąt prostokątny o tych dwóch długościach, a narzędzie zgłasza niemożność zamiast zwracać nieprawidłowy pierwiastek.
b = √(c² - a²)To samo przegrupowanie działa w przypadku braku którejkolwiek nogi. Wybierz pole pasujące do niewiadomej, wprowadź dwie pozostałe długości, a kalkulator uzupełni lukę.
Sprawdź, czy trójkąt jest prostokątny
Odwrotność twierdzenia Pitagorasa mówi, że jeśli trzy długości dodatnie spełniają a² + b² = c², gdy c jest najdłuższe, to trójkąt o tych bokach jest prostokątny w wierzchołku pomiędzy a i b. Aby przeprowadzić kontrolę, wprowadź wszystkie trzy strony.
Kalkulator podnosi kwadraty po obu stronach, porównuje sumę dwóch mniejszych kwadratów z największym i podaje kąt prosty, ostry lub rozwarty. Tolerancja zmiennoprzecinkowa obejmuje zaokrąglanie mierzonych boków, dzięki czemu prawie chybione miejsce nie jest błędnie oznakowane. Dzięki temu testowi strona akceptuje trzy dane wejściowe, nawet jeśli niczego nie brakuje.
Znajdź trójkąt o nogach 6 i 8
Weźmy nogi a = 6 i b = 8. Te boki to trójka w skali 3-4-5, każda pomnożona przez 2, więc przeciwprostokątna jest liczbą całkowitą 10, a arytmetyka pozostaje dokładna na każdym kroku.
1. Square each leg. `` 6² = 36 8² = 64 ``
2. Add the squares. `` 36 + 64 = 100 ``
3. Take the square root. `` c = √100 = 10 ``
Pole tego trójkąta prostokątnego wynosi (1/2) × 6 × 8 = 24, co odpowiada przykładowi SSS na stronie Kalkulator Trójkątów.
Rozpoznaj typowe trójki pitagorejskie
Trójka pitagorejska to trzy dodatnie liczby całkowite a, b, c, gdzie a² + b² = c². Pierwotne trójki nie mają wspólnego czynnika. Poniżej wymieniono te, z którymi najczęściej spotykają się uczniowie. Każda dodatnia całkowita wielokrotność trójki jest również trójkątem prostokątnym: 6-8-10, 9-12-15 i 10-24-26 to skalowane kopie.
| Triple | Check |
|---|---|
| 3-4-5 | 9 + 16 = 25 |
| 5-12-13 | 25 + 144 = 169 |
| 8-15-17 | 64 + 225 = 289 |
| 7-24-25 | 49 + 576 = 625 |
| 20-21-29 | 400 + 441 = 841 |
| 9-40-41 | 81 + 1600 = 1681 |
Rozpoznanie trójki oszczędza czas podczas badań, ponieważ przeciwprostokątna nie potrzebuje kalkulatora, gdy zostanie wykryty wzór.
Skorzystaj z twierdzenia w geometrii współrzędnych
Umieść dwa punkty na płaszczyźnie, a poziome i pionowe odstępy między nimi utworzą ramiona trójkąta prostokątnego. Odległość w linii prostej to przeciwprostokątna. Z tej tożsamości wynika, że wzór na odległość wygląda jak twierdzenie Pitagorasa z Δx i Δy zamiast aib.
d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)Kalkulator odległości posiada pełną obróbkę 2D i 3D. Kalkulator nachylenia uwzględnia wzniesienie dla tych samych dwóch punktów. Na tej stronie możesz zobaczyć, dlaczego te formuły działają: siatka rysuje trójkąt prostokątny, a c to odległość.
Najczęściej zadawane pytania
Co to jest twierdzenie Pitagorasa?
Twierdzenie Pitagorasa stwierdza, że dla trójkąta prostokątnego o nogach a i b oraz przeciwprostokątnej c, a² + b² = c². Kwadrat najdłuższego boku jest równy sumie kwadratów dwóch pozostałych.
Jak znaleźć przeciwprostokątną?
Podnieś obie nogi, dodaj wyniki i oblicz dodatni pierwiastek kwadratowy: c = √(a² + b²). Dla nóg 6 i 8 c = √(36 + 64) = √100 = 10.
Jak znaleźć brakującą nogę?
Zmień układ na b = √(c² - a²), gdzie c jest przeciwprostokątną, a a jest znaną nogą. Przeciwprostokątna musi być dłuższa niż znana noga, w przeciwnym razie nie istnieje żadne rozwiązanie.
Jak sprawdzić, czy trzy boki tworzą trójkąt prostokątny?
Uporządkuj boki tak, aby c było najdłuższe, a następnie sprawdź, czy a² + b² równa się c². Jeśli tak, trójkąt jest prostokątny. Jeśli a² + b² jest większe, trójkąt jest ostry. Jeśli jest mniejszy, jest tępy.
Jakie są najczęstsze trójki pitagorejskie?
Trójki, które uczniowie spotykają się jako pierwsze, to 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25, 20-21-29 i 9-40-41. Wielokrotności takie jak 6-8-10 są równie ważnymi trójkątami prostokątnymi.
Czy twierdzenie działa dla trójkątów innych niż prostokątne?
Nie. Równość a² + b² = c² zachodzi tylko wtedy, gdy kąt pomiędzy a i b wynosi 90 stopni. W przypadku innych trójkątów należy zastosować twierdzenie cosinusów, które sprowadza się do twierdzenia Pitagorasa, gdy kąt zawarty w nim jest kątem prostym.
Jak twierdzenie jest powiązane ze wzorem na odległość?
Odległość między dwoma punktami to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego utworzonego przez ich odstępy poziome i pionowe. Rozszerzanie tej przeciwprostokątnej daje √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²).
Czy kalkulator może obliczyć dla którejkolwiek zmiennej?
Tak. Wpisz dowolne dwa z a, b i c, aby znaleźć trzeci, lub wprowadź wszystkie trzy, aby przetestować połączenie. Funkcja rozwiązywania dowolnej zmiennej jest wbudowana w relacje silnika.
Dlaczego c musi być najdłuższym bokiem?
W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna jest zwrócona pod największym kątem, więc jest ściśle dłuższa niż którakolwiek noga. Oznaczenie nogi jako c łamie formułę i test odwrotny.
Podsumowanie
Kalkulator twierdzenia Pitagorasa stosuje a² + b² = c², aby znaleźć przeciwprostokątną lub brakującą nogę, i wykorzystuje odwrotność, aby sprawdzić, czy trzy boki tworzą kąt prosty. Odnogi 6 i 8 dają przeciwprostokątną 10. W celu szybkiego rozpoznania wymieniono typowe trójki całkowite, takie jak 3-4-5 i 5-12-13. Ta sama zależność leży u podstaw wzoru na odległość współrzędnych.