Tytuł SEO (54): Kalkulator wariancji - Wariancja próbki i populacji Metaopis (154): Oblicz wariancję próby lub populacji z dowolnego zbioru danych. Kalkulator wariancji pokazuje sumę kwadratów, każde kwadratowe odchylenie oraz obie formuły.
Kalkulator wariancji mierzy, jak daleko wartości w zbiorze danych oddalają się od średniej w jednostkach kwadratowych, zwracając albo wariancję próby, albo wariancję populacji w zależności od tego, co dane reprezentują. Wkleja wartości oddzielone przecinkami, spacjami lub podziałami linii, a kalkulator zwraca wariancję wraz z sumą kwadratów, średnią i tabelą krokową każdego kwadratowego odchylenia.
Wariancja to wielkość poniżej pierwiastka kwadratowego w odchyleniu standardowym. Większość zajęć wymaga jednego lub drugiego, a pokazanie zarówno wyniku jednostki kwadratowej, jak i kroków, które go doprowadziły, sprawia, że ręczne sprawdzenie jest możliwe.
Oblicz wariancję na podstawie zbioru danych
Wariancja odpowiada na jedno pytanie: jak szeroko te wartości rozpraszają się wokół swojej średniej, mierzonej w jednostkach kwadratowych? Mała wariancja oznacza, że punkty skupiają się ciasno. Duża oznacza, że się rozpraszają. Dwa zbiory mogą dzielić tę samą średnią i nadal opisywać zupełnie różne sytuacje, gdy ich wariancje się różnią.
Wklej wartości do pola danych. Przecinki, sprady, tabulatory i podziały wierszy działają, więc kolumna skopiowana z arkusza kalkulacyjnego nie wymaga formatowania. Kalkulator pokazuje, ile wartości odczytał pod polem. Sprawdź ten wynik względem tego, co wkleiłeś, zanim zaufasz wynikowi, bo zwykle przyczyną błędnej odpowiedzi jest przypadkowy znak.
Wybierz próbę lub populację przed odczytaniem liczby. Ten wybór zmienia mianownik, a w małych zbiorach także samą odpowiedź.
Zastosowanie wzoru wariancji
Obie formuły dzielą pierwsze trzy etapy i rozchodzą się tylko wtedy, gdy suma kwadratów jest podzielona. Znajdź średnią, odejmij ją od każdej wartości, odmierz te odchylenia, następnie podziel przez N dla populacji lub przez n minus 1 dla próbki.
Iloraz to wariancja w jednostkach kwadratowych; Kalkulator Odchylenia Standardowego przyjmuje pierwiastek kwadratowy jako kolejny krok.
Population: σ² = Σ(x − x̄)² / N
Sample: s² = Σ(x − x̄)² / (n − 1)Przepracowanie tego:
1. Znajdź średnią. Dodaj każdą wartość i podziel przez liczbę. 2. Znajdź każde odchylenie. Odejmij średnią od każdej wartości. Niektóre są ujemne. 3. Kwadratuj każde odchylenie. Negatywy znikają. Suma kolumnowa to suma kwadratów (SS). 4. Podziel. Przez N dla populacji, przez n − 1 dla próbki. Ten iloraz to wariancja.
Kalkulator odchylenia standardowego wykonuje kolejny krok: pierwiastek kwadratowy. Wariancja zatrzymuje się na kroku 4, dlatego jej jednostki są kwadratowane. Aby uzyskać wybór próbki względem populacji oraz poprawkę Bessela, zobacz tę stronę; ta strona posiada mechanikę sumy kwadratów.
Przeczytaj sumę kwadratów
Suma kwadratów to suma każdego kwadratu odchylenia od średniej i licznika obu wzorów wariancji. Surowe odchylenia przed kwadratem zawsze sumują się do zera, gdy średnia pochodzi z tych samych wartości, co jest szybkim sprawdzeniem arytmetyki. Suma kwadratów sama w sobie nigdy nie jest ujemna i równa się zeru tylko wtedy, gdy każda wartość jest równa średniej.
SS = Σ(x − x̄)²W praktyce mają znaczenie dwie własności. Po pierwsze, surowe odchylenia (przed kwadratowaniem) zawsze sumują się do zera, gdy średnia jest obliczana z tych samych wartości. Ta suma kolumnowa to szybka arytmetyka. Po drugie, samo SS nigdy nie jest ujemne, ponieważ każdy wyraz jest kwadratem. SS równa się zero tylko wtedy, gdy każda wartość jest równa średniej.
Na danych o dużych rozmiarach wolej metodę dwuprzebiegową pokazaną tutaj (najpierw średnia, potem odchylenia) zamiast skrótu jednoprzebiegowego Σx² − (Σx)²/n. Skrót ten katastrofalnie się znosi, gdy wartości są duże i niemal równe, co jest znanym trybem numerycznej awarii, a nie teoretyczną ciekawostką.
Zrozum, dlaczego odchylenia są kwadratowane
Bez kwadratu odchylenia dodatnie i ujemne się znoszą. Zbiór, który znajduje się trzy jednostki powyżej średniej w połowie punktów, a trzy poniżej w drugiej połowie, zgłosiłby całkowite odchylenie zero, co udaje, że nie ma żadnego rozkładu.
Wartości bezwzględne również zatrzymałyby anulowanie, a średnie odchylenie bezwzględne jest realną alternatywną miarą. Kwadrowanie jest preferowane w statystyce klasycznej z dwóch praktycznych powodów. Karze duże odchylenia bardziej niż małe: punkt trzy jednostki od średniej przyczynia się dziewięciokrotnie więcej niż punkt oddalony o jedną jednostkę. A funkcje kwadratowe są różniczkowalne, co czyni wariancję podstawą regresji najmniejszych kwadratów i wielu metod wnioskowania.
Ta kara jest także powodem, dla którego wariancja (i odchylenie standardowe) silnie reagują na wartości odstającye. Jedna skrajna obserwacja może zdominować SS. Wykres pudełkowy lub przegląd surowych wartości powinny znaleźć się obok każdej odchylenia, którą planujesz zgłosić.
Oblicz wariancję dla 4, 6, 6, 6, 7, 7, 9, 11
Ten zbiór ośmiu wartości daje wariancję populacji dokładnie 4 oraz wariancję próby 4.571. Każdy kolejny krok można sprawdzić ręcznie. (Inny zbiór danych z Kalkulatora Odchylenia Standardowego działał przykładem, więc obie strony nie powtarzają tego samego przewodnika.)
⟦NUMER0⟧. Znajdź średnią. 4 + 6 + 6 + 6 + 7 + 7 + 9 + 11 = 56 56 ÷ 8 = 7
⟦UM0⟧. Znajdź każde odchylenie i wyprostuj je.
| x | x − x̄ | (x − x̄)² |
|---|---|---|
| 4 | −3 | 9 |
| 6 | −1 | 1 |
| 6 | −1 | 1 |
| 6 | −1 | 1 |
| 7 | 0 | 0 |
| 7 | 0 | 0 |
| 9 | 2 | 4 |
| 11 | 4 | 16 |
| Σ = 0 | Σ = 32 |
⟦UM0⟧. Podziel.
Liczba ludności: 32 ÷ 8 = 4 Przykład: 32 ÷ 7 = 4.571
Odchylenia sumują się do zera, tak jak muszą. Wartość 11 sama wnosi 16 do całkowitej wartości 32, czyli połowę sumy kwadratów z jednej obserwacji na osiem. To jest kara kwadratu w jednym rzędzie.
Zrozum jednostki wariancji
Wariancja wyrażana jest w kwadratach jednostek oryginalnych danych. Jeśli pomiary są oznaczone względem 100, wariancja jest w kwadratach. Jeśli są to centymetry, wariancja jest w centymetrach kwadratowych. Tych jednostek nie można bezpośrednio porównać z pojedynczą obserwacją, dlatego praktycy zwykle podają odchylenie standardowe.
Wzięcie pierwiastka kwadratowego cofa problem jednostkowy:
σ = √σ² and s = √s²W przykładzie roboczym √4 = 2 i √4.571 ≈ 2.138. Ta sama rozkład, inne opakowanie. Używaj wariancji, gdy formuła o to wymaga (ANOVA, wiele wyników, niektóre modele finansowe). Używaj odchylenia standardowego, gdy potrzebujesz liczby, którą czytnik może umieścić obok surowych pomiarów.
Wariancja w późniejszych wzorach
ANOVA, wiele wyników regresji i niektóre modele ryzyka zużywają wariancję bezpośrednio, a nie odchylenia standardowe. Gdy wzór zapisuje sigma do kwadratu, pozostawiaj wynik w jednostkach kwadratowych. Gdy raport potrzebuje liczby, którą czytelnik może porównać z surowymi pomiarami, weź pierwiastek kwadratowy i stwierdzić, że zgłaszasz odchylenie standardowe.
Celowe podłączenie obu stron unika powielania poprawki Bessela tutaj. Próbka względem populacji nadal ma znaczenie dla wariancji; sekcja interpretacji na Kalkulatorze Odchyleń Standardowych pozostaje głębszym wyjaśnieniem, dlaczego pojawia się n minus 1.
Często zadawane pytania
Czym jest wariancja?
Wariancja to średnia kwadratowych odchyleń od średniej. Wariancja populacji dzieli sumę kwadratów przez N; wariancja próby dzieli się przez n − 1. Wynik jest wyrażony w jednostkach kwadratowych oryginalnych danych, więc wariancja 4 na zbiorze mierzonym w centymetrach oznacza 4 centymetrów kwadratowych rozproszenia, a nie 4 centymetrów.
Czy powinienem użyć próby czy wariancji populacji?
Użyj wariancji populacji, gdy dane obejmują każdego członka opisanej przez ciebie grupy, i podziel przez N. Użyj wariancji próbki, gdy dane są podzbiorem reprezentującym większą grupę, i podziel przez n − 1. Próbka to typowy przypadek w praktyce. Pytania podręcznikowe prawie zawsze określają, jaką formę chcą.
Czym różni się wariancja od odchylenia standardowego?
Wariancja to średnie odchylenie kwadratowe; odchylenie standardowe to pierwiastek kwadratowy. Oba opisują ten sam rozkład. Odchylenie standardowe wraca do jednostek oryginalnych i jest wartością, którą większość osób podaje. Wariancja pozostaje w jednostkach kwadratowych i pojawia się w innych wzorach.
Dlaczego odchylenia są kwadratowane?
Bez kwadratu odchylenia dodatnie i ujemne się znoszą, a zbiór rozproszony może wyglądać na brak rozkładu. Kwadratowanie usuwa znak, mocniej waży duże odchylenia i daje wielkość, która działa poprawnie w późniejszych wzorach, takich jak regresja i ANOVA.
Czy wariancja może być ujemna?
Nie. Wariancja to średnia kwadratów, więc nie może spaść poniżej zera. Równa się zeru tylko wtedy, gdy wszystkie wartości w zbiorze są identyczne. Wynik ujemny oznacza błąd arytmetyczny, zwykle błąd znaku przed kwadratem.
Czym jest suma kwadratów?
Suma kwadratów (SS) wynosi Σ(x − x̄)², suma każdego kwadratu odchylenia od średniej. Jest to licznik obu wzorów wariancji. W powyższym przykładzie z przepracowanym wzorem SS = 32.
Dlaczego wariancja próbki dzieli się przez n − 1?
Ponieważ średnia próby jest szacowana na podstawie tych samych wartości, każde odchylenie jest systematycznie nieco za małe. Podzielenie przez n zaniżałoby wariancję populacji. Dzielenie przez n − 1 (korekta Bessela) kompensuje to. Kalkulator odchylenia standardowego omawia tę korektę bardziej szczegółowo.
Jak obliczyć wariancję w Excelu?
Użyj =VAR.S(range) dla próby i =VAR.P(range) dla populacji. Starszy =VAR() zachowuje się jak VAR.S. Potwierdź, jakiej formy oczekuje twoje zadanie, ponieważ oba nie zgadzają się na małych zbiorach danych.
Czy większa wariancja zawsze oznacza gorszy zbiór danych?
Nie samodzielnie. Wariancja zawiera jednostki kwadratowe i musi być odczytana względem skali danych. Wariancja 4 dla wartości bliskich 7 jest znaczna; ta sama wariancja dla wartości bliskich 700 jest trywialna. Porównaj ze średnią lub przełącz się na współczynnik zmienności na Kalkulatorze Odchylenia Standardowego, zanim ocenisz "dobre" lub "złe".
Podsumowanie
Kalkulator wariancji zwraca wariancję próbki lub populacji z dowolnego wklejonego zbioru danych, wraz z sumą kwadratów, średnią i pełną tabelą odchyleń. Oba wzory kwadratują każde odchylenie od średniej i dzielą; różnią się jedynie dzieleniem przez n − 1 dla próby lub N dla populacji.
Wariancja występuje w jednostkach kwadratowych, dlatego pierwiastek kwadratowy (odchylenie standardowe) jest zwykle podawany do interpretacji. Użyj tej strony do pracy sumy kwadratów; użyj Kalkulatora Odchylenia Standardowego, gdy pytanie wymaga rozkładu w oryginalnych jednostkach lub korekty Bessela w głębi.