Kalkulator trójkąta prostokątnego rozwiązuje trójkąt prostokątny na podstawie dowolnych dwóch pomiarów ustalających kształt: dwóch boków lub jednego boku i jednego kąta ostrego. Zwraca pozostałe boki i kąty, pole powierzchni, obwód, wysokość do przeciwprostokątnej oraz diagram z etykietą z kątem prostym oznaczonym kwadratem.
Trójkąt prostokątny ma jeden kąt 90 stopni, więc wszystko inne określają dwa kolejne pomiary. Wpisz, co wiadomo, a kalkulator zastosuje twierdzenie Pitagorasa lub stosunki trygonometryczne, pokazując każdy podstawiony krok.
Rozwiąż trójkąt prostokątny na podstawie dwóch pomiarów
Trójkąt prostokątny jest ustalony, gdy znane są dwa niezależne pomiary, ponieważ kąt prosty zapewnia już trzeci. Prawidłowe pary obejmują dwie nogi, nogę i przeciwprostokątną lub dowolny bok połączony z jednym z kątów ostrych. Kombinacje, które pozostawiają trójkątowi swobodę w zakresie skali, są odrzucane z wyraźnym komunikatem, a nie zgadywaną liczbą.
Wprowadź znane wartości w pasujących do nich polach. Długości akceptują ten sam zestaw jednostek używany w całym pakiecie geometrii. Kąty akceptują stopnie lub radiany. Ponowne obliczenia na żywo aktualizują diagram i panel wyników, gdy tylko pojawi się ważna para.
Karta przypadku wskazuje, czy w rozwiązaniu wykorzystano twierdzenie Pitagorasa, stosunek sinusa, cosinusa, czy oba po kolei, więc metoda nigdy nie jest ukryta.
Znajdź przeciwprostokątną i nogi
Dwie strony, które spotykają się pod kątem prostym, to nogi. Strona przeciwna do kąta prostego to przeciwprostokątna i zawsze jest to bok najdłuższy. Twierdzenie Pitagorasa łączy wszystkie trzy:
a² + b² = c²Obliczanie przeciwprostokątnej, gdy znane są obie nogi:
c = √(a² + b²)Rozwiązanie problemu brakującej nogi, gdy znana jest przeciwprostokątna i druga noga:
b = √(c² - a²)Kalkulator automatycznie stosuje pasujący formularz. Jeżeli wprowadzona przeciwprostokątna jest krótsza niż noga, konfiguracja jest niemożliwa i narzędzie tak mówi, zamiast wymyślać ujemną długość pod pierwiastkiem kwadratowym.
Skorzystaj ze stosunków trygonometrycznych
Kiedy znany jest jeden kąt ostry i jeden bok, trzy główne stosunki kończą trójkąt. Przy ustalonym kącie prostym każdy kąt ostry ma wyraźną przeciwną stronę, stronę sąsiednią i przeciwprostokątną.
sin(θ) = opposite / hypotenuse
cos(θ) = adjacent / hypotenuse
tan(θ) = opposite / adjacentSOH CAH TOA jest zwykłym narzędziem pomagającym w zapamiętywaniu: sinus zajmuje przeciwną stronę przeciwprostokątnej, cosinus zajmuje sąsiednią przeciwprostokątną, a tangens zajmuje przeciwną stronę sąsiedniej. Zmiana układu dowolnego stosunku pozwala znaleźć nieznaną długość po ustawieniu kąta i jednej strony.
Drugi kąt ostry wynosi wówczas 90 stopni minus pierwszy, ponieważ dwa kąty ostre w trójkącie prostokątnym uzupełniają się. Kalkulator podaje oba kąty z bokami, dzięki czemu widoczna jest kontrola dopełniacza.
Oblicz pole trójkąta prostokątnego
Pole trójkąta prostokątnego stanowi połowę iloczynu dwóch nóg, ponieważ każda noga jest podstawą, a druga ma odpowiadającą jej prostopadłą wysokość. Ten skrót jest powodem, dla którego obszar trójkąta prostokątnego rzadko wymaga osobnego pomiaru wysokości, gdy obie nogi są już znane z rozwiązania.
A = (1/2) × a × bJeśli znaną parą jest noga i przeciwprostokątna, brakującą nogę należy najpierw znaleźć za pomocą twierdzenia Pitagorasa, a następnie wzór na pole powierzchni działa na dwóch nogach. Wynik wykorzystuje jednostki kwadratowe pasujące do jednostek bocznych. Oznaczona wysokość od wierzchołka kąta prostego do przeciwprostokątnej jest również dostępna, gdy znane są wszystkie trzy boki.
Rozwiąż trójkąt prostokątny o nogach 3 i 4
Weźmy klasyczny przypadek z nogami a = 3 i b = 4. Jest to najmniejsza liczba całkowita pitagorejska, a każdy krok jest czystą liczbą całkowitą, aż do kątów ostrych, które są podawane w stopniach z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.
1. Find the hypotenuse. `` c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 ``
2. Find the area. `` A = (1/2) × 3 × 4 = 6 ``
3. Find the acute angles. `` tan(A) = 3/4 = 0.75 → A ≈ 36.87° B = 90 - 36.87 = 53.13° ``
Diagram zaznacza kąt prosty za pomocą kwadratu i opisuje każdy bok i kąt z rozwiązaną wartością.
Znajdź wysokości i inne miary
Gdy znane są wszystkie trzy strony, następuje kilka środków wtórnych bez nowych danych wejściowych. Wysokość do przeciwprostokątnej wynosi h = ab / c. Dla nóg 3 i 4 z przeciwprostokątną 5 wysokość ta wynosi 12/5 = 2,4. Obwód jest sumą trzech boków: 3 + 4 + 5 = 12.
Promień trójkąta prostokątnego wynosi (a + b - c) / 2, co dla 3-4-5 równa się 1. Promień obwodu wynosi c / 2 = 2,5, ponieważ przeciwprostokątna jest średnicą okręgu opisanego. Dodatki te znajdują się w panelu wyników obok głównych boków i kątów, więc pełne rozwiązanie jest dostępne z tych samych dwóch wejść.
Najczęściej zadawane pytania
Jak rozwiązać trójkąt prostokątny?
Wprowadź dowolne dwa wymiary ustalające trójkąt: dwa boki lub jeden bok i jeden kąt ostry. Kalkulator stosuje twierdzenie Pitagorasa lub stosunki trygonometryczne, zwraca pozostałe boki i kąty oraz pokazuje podstawioną pracę obok oznaczonego diagramu.
Co to jest przeciwprostokątna?
Przeciwprostokątna to strona przeciwna do kąta prostego i najdłuższy bok trójkąta. W relacji a² + b² = c² przeciwprostokątna wynosi c. Dla nóg 3 i 4 równa się 5.
Kiedy używamy sinusa, cosinusa lub tangensa?
Użyj sinusa, gdy znana i nieznana strona znajdują się naprzeciw kąta i przeciwprostokątnej. Użyj cosinusa, gdy sąsiadują ze sobą i przeciwprostokątnej. Użyj tangensu, gdy obie strony stosunku są nogami. Kalkulator wybiera współczynnik dopasowania ze znanej pary.
Jak oblicza się pole trójkąta prostokątnego?
Pole jest równe połowie iloczynu dwóch nóg: A = (1/2) × a × b. Dla nóg 3 i 4 pole wynosi 6. Jeśli brakuje nogi, znajdź ją najpierw, a następnie zastosuj ten sam wzór.
Czy mogę wprowadzić kąt zamiast drugiego boku?
Tak. Jeden kąt ostry plus dowolny bok wyznacza podobny kształt i skalę. Kąt dopełniający wynosi 90 stopni minus wprowadzony kąt, a pozostałe boki wynikają z sinusa, cosinusa lub stycznej.
A co jeśli moje boki nie tworzą trójkąta prostokątnego?
Jeśli wprowadzono trzy boki i a² + b² nie równa się c² dla najdłuższego boku, trójkąt nie jest prostokątny. Ta strona rozwiązuje przypadek prostokątny. W przypadku ogólnego trójkąta użyj kalkulatora trójkątów, który stosuje twierdzenie cosinusów i twierdzenie sinusów.
Jak powiązane są kąty ostre?
Dwa kąty ostre zawsze sumują się do 90 stopni. Gdy jedno jest znane, drugie jest jego uzupełnieniem. Sprawdzenie tej sumy to szybki sposób na ręczną weryfikację odpowiedzi.
Co to jest trójka pitagorejska?
Trójka pitagorejska to zbiór trzech dodatnich liczb całkowitych a, b i c, które spełniają a² + b² = c². Najmniejszy to 3-4-5. Skalowane kopie, takie jak 6-8-10, są również trójkątami prostokątnymi. Kalkulator twierdzenia Pitagorasa bardziej szczegółowo wyszczególnia typowe trójki.
Czy kalkulator pokazuje działanie?
Tak. Każdy wynik zawiera podstawioną arytmetykę zastosowanego twierdzenia lub stosunku, zaokrągloną tylko w celu wyświetlenia. Ta sama ścieżka, z której korzysta silnik, pojawia się w zestawieniu, więc możliwe jest ręczne sprawdzenie.
Podsumowanie
Kalkulator trójkąta prostokątnego rozwiązuje dowolny trójkąt prostokątny na podstawie dwóch pomiarów, zwracając brakujące boki i kąty, powierzchnię i miary wtórne, takie jak wysokość do przeciwprostokątnej. Nogi i przeciwprostokątna łączą się przez a² + b² = c². Kąty ostre łączą się poprzez sinus, cosinus i styczną. Rozpracowany przypadek z nogami 3 i 4 daje przeciwprostokątną 5, obszar 6 i kąty około 36,87° i 53,13°.