Калькулятор прямоугольного треугольника рассчитывает прямоугольный треугольник на основе любых двух измерений, которые фиксируют форму: двух сторон или одной стороны и одного острого угла. Он возвращает оставшиеся стороны и углы, площадь, периметр, высоту до гипотенузы и помеченную диаграмму с прямым углом, отмеченным квадратом.
В прямоугольном треугольнике один угол равен 90 градусам, поэтому все остальное определяют два дальнейших измерения. Введите то, что известно, и калькулятор применит теорему Пифагора или тригонометрические отношения, показывая каждый замененный шаг.
Решить прямоугольный треугольник по двум измерениям
Прямоугольный треугольник считается фиксированным, если известны два независимых измерения, поскольку прямой угол уже соответствует третьему. Допустимые пары включают два катета, катет и гипотенузу или любую сторону, соединенную с одним из острых углов. Комбинации, которые оставляют треугольник свободным для масштабирования, отклоняются с четким сообщением, а не с угаданным числом.
Введите известные значения в соответствующие им поля. Длины принимают тот же набор единиц измерения, который используется в наборе геометрии. Углы принимают градусы или радианы. Оперативный пересчет обновляет диаграмму и панель результатов, как только появляется действительная пара.
В карточке случая указано, использовалась ли в решении теорема Пифагора, отношение синуса или косинуса или оба последовательно, поэтому метод никогда не скрывается.
Найдите гипотенузу и катет
Две стороны, которые встречаются под прямым углом, это ноги. Сторона, противоположная прямому углу, является гипотенузой, и это всегда самая длинная сторона. Теорема Пифагора связывает все три:
a² + b² = c²Нахождение гипотенузы, когда известны оба катета:
c = √(a² + b²)Поиск отсутствующего катета, когда известны гипотенуза и другой катет:
b = √(c² - a²)Калькулятор автоматически применит соответствующую форму. Если введенная гипотенуза короче катета, конфигурация невозможна, и инструмент говорит об этом вместо того, чтобы придумывать отрицательную длину под квадратным корнем.
Используйте тригонометрические отношения
Когда известны один острый угол и одна сторона, три основных отношения завершают треугольник. При фиксированном прямом угле каждый острый угол имеет четкую противоположную сторону, прилежащую сторону и гипотенузу.
sin(θ) = opposite / hypotenuse
cos(θ) = adjacent / hypotenuse
tan(θ) = opposite / adjacentSOH CAH TOA, это обычное средство запоминания: синус берет противоположное вместо гипотенузы, косинус берет смежное с гипотенузой, а тангенс берет противоположное с соседним. При перестановке любого соотношения обнаруживается неизвестная длина, как только заданы угол и одна сторона.
Тогда второй острый угол равен 90 градусам минус первый, потому что два острых угла в прямоугольном треугольнике дополняют друг друга. Калькулятор сообщает оба угла со сторонами, поэтому дополнительная проверка видна.
Вычислить площадь прямоугольного треугольника
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения двух катетов, поскольку каждый катет является основанием, а другой, высотой соответствующего перпендикуляра. Этот ярлык является причиной того, что область прямоугольного треугольника редко требует отдельного измерения высоты, когда обе стороны уже известны из решателя.
A = (1/2) × a × bЕсли известная пара, катет и гипотенуза, недостающий катет находится сначала с помощью теоремы Пифагора, а затем формула площади выполняется для двух катетов. В результате используются квадратные единицы, соответствующие боковым единицам. Обозначенная высота от вершины прямого угла до гипотенузы также доступна, если известны все три стороны.
Решить прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4
Возьмем классический случай с катетами a = 3 и b = 4. Это наименьшая целая пифагорова тройка, и каждый шаг представляет собой чистое целое число до тех пор, пока не будут получены острые углы, которые выражаются в градусах с точностью до двух десятичных знаков.
1. Find the hypotenuse. `` c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 ``
2. Find the area. `` A = (1/2) × 3 × 4 = 6 ``
3. Find the acute angles. `` tan(A) = 3/4 = 0.75 → A ≈ 36.87° B = 90 - 36.87 = 53.13° ``
На диаграмме прямой угол отмечен квадратом, а каждая сторона и угол обозначены ее решенным значением.
Найдите высоты и другие меры
Как только все три стороны станут известны, последуют несколько вторичных мер без каких-либо новых данных. Высота до гипотенузы равна h = ab/c. Для катетов 3 и 4 с гипотенузой 5 эта высота равна 12/5 = 2,4. Периметр, это сумма трёх сторон: 3+4+5=12.
Внутренний радиус прямоугольного треугольника равен (a + b - c)/2, что для 3-4-5 равно 1. Радиус описанной окружности равен c/2 = 2,5, поскольку гипотенуза - это диаметр описанной окружности. Эти дополнительные элементы располагаются на панели результатов рядом с основными сторонами и углами, поэтому полное решение доступно из тех же двух входов.
Часто задаваемые вопросы
Как решить прямоугольный треугольник?
Введите любые два измерения, фиксирующие треугольник: две стороны или одну сторону и один острый угол. Калькулятор применяет теорему Пифагора или тригонометрические отношения, возвращает оставшиеся стороны и углы и показывает замененную работу рядом с помеченной диаграммой.
Что такое гипотенуза?
Гипотенуза, это сторона, противолежащая прямому углу и самой длинной стороне треугольника. В отношении a² + b² = c² гипотенуза равна с. Для ног 3 и 4 оно равно 5.
Когда я использую синус, косинус или тангенс?
Используйте синус, когда известная сторона и неизвестная сторона противоположны углу и гипотенузе. Используйте косинус, когда они соседствуют с гипотенузой. Используйте касательную, если обе стороны пропорции являются катетами. Калькулятор выбирает коэффициент соответствия из известной пары.
Как вычисляется площадь прямоугольного треугольника?
Площадь равна половине произведения двух катетов: A = (1/2) × a × b. Для ног 3 и 4 площадь равна 6. Если нога отсутствует, сначала найдите ее, а затем примените ту же формулу.
Могу ли я ввести угол вместо второй стороны?
Да. Один острый угол плюс любая сторона определяют подобную форму и масштаб. Дополнительный угол равен 90 градусам минус введенный угол, а остальные стороны следуют из синуса, косинуса или тангенса.
Что, если мои стороны не образуют прямоугольный треугольник?
Если введены три стороны и a² + b² не равно c² для самой длинной стороны, треугольник не является прямоугольным. На этой странице решается случай с прямым углом. Для обычного треугольника используйте Треугольный калькулятор, который применяет законы косинусов и законы синусов.
Как связаны острые углы?
Сумма двух острых углов всегда равна 90 градусам. Когда одно известно, другое становится его дополнением. Проверка этой суммы, быстрый способ проверить ответ вручную.
Что такое пифагорова тройка?
Тройка Пифагора, это набор из трех натуральных чисел a, b и c, удовлетворяющих условию a² + b² = c². Самый маленький, 3-4-5. Масштабированные копии, такие как 6-8-10, также являются прямоугольными треугольниками. Калькулятор теоремы Пифагора более подробно перечисляет распространенные тройки.
Калькулятор показывает работу?
Да. Каждый результат включает в себя замененную арифметику используемой теоремы или соотношения, округленную только для отображения. В разбивке отображается тот же путь, который использует двигатель, поэтому возможна ручная проверка.
Кратко
Калькулятор прямоугольного треугольника рассчитывает любой прямоугольный треугольник на основе двух измерений, возвращая недостающие стороны и углы, площадь и второстепенные меры, такие как высота до гипотенузы. Катеты и гипотенуза соединяются через a² + b² = c². Острые углы соединяются через синус, косинус и тангенс. Проработанный случай с катетами 3 и 4 дает гипотенузу 5, площадь 6 и углы около 36,87° и 53,13°.
Сопутствующие калькуляторы
Калькулятор треугольника · Калькулятор теоремы Пифагора · Калькулятор расстояния · Калькулятор наклона