Калькулятор конуса

Калькулятор конуса преобразует радиус основания и высоту перпендикуляра в объем, наклонную высоту, площадь боковой поверхности и общую площадь поверхности для прямого круглого конуса. Вершина находится прямо над центром круглого основания. На странице перерисовывается помеченная фигура с радиусом, высотой и наклоном, отмеченными в соответствии с введенными значениями.

Введите радиус и высоту или укажите высоту наклона, если из-за сетевой проблемы вместо этого возникают генераторы. На связанных страницах описаны Cylinder Calculator для не сужающегося тела с тем же основанием, Conical Frustum Calculator, когда вершина отрезана, и Pyramid Calculator для многоугольника. база.

Вычислить объем конуса

Объем прямого кругового конуса составляет одну треть объема цилиндра с тем же радиусом основания и высотой. Калькулятор конуса умножает (1/3) * pi * r^2 на высоту. Радиус и высота должны быть положительными. Входной диаметр уменьшается вдвое до увеличения объема.

V = (1/3) * pi * r^2 * h

Фактор одной трети является обычным источником ошибок на экзамене: студенты, которые его забывают, сообщают в три раза больше истинного объема. Объем по-прежнему масштабируется с помощью r в квадрате и h. Удвоение радиуса увеличивает объем в четыре раза; удвоение высоты увеличивает объем в два раза.

Для эталонного случая r = 3 и h = 4:

V = (1/3) * pi * 9 * 4 = 12 * pi approx 37.70

Точная форма 12 * пи четко сочетается с тройной высотой наклона 5 внизу. Когда объем и радиус известны, высота восстанавливается как 3 * V / (pi * r^2). Когда объем и высота известны, радиус восстанавливается как положительный квадратный корень из 3 * V / (pi * h).

Наклонный конус с той же площадью основания и одинаковой высотой перпендикуляра имеет одинаковый объем, но формулы наклона и поверхности на этой странице предполагают правильный круговой случай.

Рассчитать высоту наклона

Наклонная высота, это расстояние от любой точки базовой окружности до вершины, измеренное вдоль стороны конуса. В прямоугольном конусе это гипотенуза прямоугольного треугольника, образованного радиусом и высотой перпендикуляра. Калькулятор конуса применяет соотношение Пифагора.

l = sqrt(r^2 + h^2)

Высота наклона необходима для площади боковой поверхности. Одной только перпендикулярной высоты недостаточно для изогнутой кожи. Когда сеть дает наклон и радиус, высота восстанавливается как sqrt(l^2 - r^2) при условии, что l длиннее r.

Для r = 3 и h = 4:

l = sqrt(9 + 16) = sqrt(25) = 5

Тройка 3-4-5 выбрана намеренно: она соответствует классу Пифагора и сохраняет порядок в последующих поверхностных числах. Если в задаче указаны генераторы длины 5 на базе радиуса 3, высота равна 4 без дополнительных измерений.

Вычислить боковую и общую площадь поверхности

Площадь боковой поверхности, это изогнутый сектор, который образуется при разворачивании стороны конуса. К общей площади поверхности добавляется круглое основание. Конусный калькулятор сообщает и то, и другое. Боковая область использует pi * r * l с наклонной высотой l, а не с перпендикулярной высотой.

Lateral SA = pi * r * l
Total SA = pi * r * (r + l) = pi * r^2 + pi * r * l

Использование h вместо l приводит к занижению значения стены, если конус не вырожден. Базовая площадь равна pi * r^2. Открытые конусы, у которых нет основания, используют только боковую площадь; закрытые твердые тела используют общую площадь.

Для r = 3, h = 4, l = 5:

Lateral SA = pi * 3 * 5 = 15 * pi approx 47.12
Base area = pi * 9 = 9 * pi approx 28.27
Total SA = 24 * pi approx 75.40

Усеченный конус сохраняет два круглых конца после удаления кончика; его боковая область использует как радиусы, так и другой наклон. Ссылка на калькулятор конического усеченного конуса для усеченных конусов, таких как ведра и абажуры.

Решите конус радиусом 3 и высотой 4

Возьмем r = 3 и h = 4 в качестве опорного конуса. Высота наклона равна 5. Фактор объема и площади поверхности равен числу пи. Диаметр 6. 1. Высота наклона

l = sqrt(3^2 + 4^2) = 5

2. Volume

V = (1/3) * pi * 9 * 4 = 12 * pi approx 37.70

3. Lateral surface area

Lateral SA = pi * 3 * 5 = 15 * pi approx 47.12

4. Total surface area

Total SA = pi * 3 * (3 + 5) = 24 * pi approx 75.40

Цилиндр с теми же r = 3 и h = 4 имеет объем 36 * пи, что в три раза больше конуса. Общая площадь поверхности того же цилиндра равна 2 * пи * 3 * (3 + 4) = 42 * пи, что не в три раза превышает общую площадь конуса, поскольку формы сторон различаются.

Разверните боковой сектор

Площадь боковой поверхности pi * r * l соответствует сектору с радиусом, равным высоте наклона l, и длиной дуги, равной окружности основания 2 * pi * r. Для r = 3 и l = 5 длина дуги равна 6 * pi, а боковая SA, 15 * pi.

Угол сектора в радианах равен (2*pi*r)/l = 6*pi/5; в градусах это 216 градусов. Сети разрезают этот сектор плюс отдельный диск радиуса r, если основание включено.

Начиная с наклона и радиуса, восстанавливается высота: h = sqrt(l^2 - r^2). Для l = 5 и r = 3 h = 4, что возвращает объём 12 * pi. Начиная с объема и радиуса, восстанавливается высота с h = 3 * V / (pi * r^2). Благодаря этим перестановкам Калькулятор конусов выравнивается с данными рабочего листа, в которых отсутствует одна из трех длин r, h и l.

Примечание к единице измерения: радиус, высота и наклон имеют одну единицу длины. Объем использует кубические единицы; Для площади боковой и полной поверхности используются квадратные единицы. Усеченный конус (усеченный конус) требует двух радиусов; перейдите к калькулятору усеченного конуса, если кончик отсутствует.

Часто задаваемые вопросы

Кратко

Калькулятор конуса возвращает объем, наклонную высоту, площадь боковой поверхности и общую площадь поверхности на основе радиуса основания и высоты с замененной арифметикой и помеченной цифрой. Обработанные числа соответствуют r = 3 и h = 4: наклон 5, V = 12 * pi и общее SA = 24 * pi.

Используйте Калькулятор цилиндра для соответствующего несуженного тела и Калькулятор усеченного конуса, когда вершина удалена.

Сопутствующие калькуляторы

Калькулятор цилиндра · Калькулятор усеченного конуса · Калькулятор пирамиды · Калькулятор сферы · Калькулятор площади поверхности