Комбинации с калькулятором замены подсчитывает выборку r предметов из n доступных вариантов, когда разрешены повторы и порядок не имеет значения. Применяется формула C(n + r − 1, r), обычно называемая звездами и полосами, и инструмент показывает сдвинутую комбинацию рядом с окончательным счетом.
Подсчитайте выборки, допускающие повторы
Обычные комбинации запрещают брать один и тот же предмет дважды; комбинации с заменой снимают это ограничение. Выбор шариков мороженого 3 из доступных вкусов 5, где любой вкус может повторяться, представляет собой проблему сочетания с заменой, а не простую проблему сочетания, поскольку клиент может заказать три шарика одного и того же вкуса.
Счетчик равен C(5 + 3 − 1, 3), что равно C(7, 3), что соответствует 35 различным порядкам.
Понять метод звезд и полос
Метод звездочек и полосок преобразует выборку с заменой в обычную комбинацию путем вставки n, 1 разделителей между r выбранными элементами. Изобразите r звездочек, обозначающих выбранные элементы, и n − 1 полосок, разделяющих их на n ячеек, по одной ячейке на каждый вариант.
Расположение r звезд и n − 1 столбцов в ряд имеет общее расположение C(r + n − 1, r), поскольку выбор того, в какой из r + n − 1 позиций удерживаются звезды, определяет весь макет.
Шаг за шагом проработайте пример вкуса
При n = 5 вкусах и r = 3 совках смещенная комбинация равна C(5 + 3 − 1, 3) = C(7, 3). Разверните C(7, 3) как 7! / (3! × 4!), что равно (7 × 6 × 5) / (3 × 2 × 1), равному 210 / 6 или 35.
Комбинации с калькулятором замены печатают именно это расширение, поэтому переход от n и r к рабочей комбинации C(7, 3) никогда не является скрытым шагом.
Сравните с обычными комбинациями
Обычные комбинации без замены для тех же n = 5 и r = 3 будут C(5, 3), равными 10, поскольку каждый аромат можно выбрать только один раз.
Количество замен с 35 всегда не меньше количества замен без замен для тех же n и r, поскольку разрешение повторов только добавляет больше допустимых вариантов выбора, но никогда не удаляет их.
Проработайте более крупный пример выбора
При выборе начинки 4 из доступных вариантов 6, где одну и ту же начинку можно выбрать более одного раза и порядок не имеет значения, используются n = 6 и r = 4: C(6 + 4 − 1, 4) = С(9, 4).
Разверните C(9, 4) как 9! / (4! × 5!), что равно (9 × 8 × 7 × 6) / (4 × 3 × 2 × 1), равному 3024/24 или 126. Комбинации с калькулятором замены показывают ту же самую последовательность сдвига и расширения для любых введенных n и r.
Распознать язык с заменой в словесной задаче
Словесные задачи, допускающие повторы, обычно используют такие фразы, как «с повторением», «может повториться», «с заменой» или описывают сценарий, например заказ еды, где один и тот же предмет можно выбрать более одного раза.
Обнаружение этого языка перед выбором формулы позволяет избежать использования простой формулы комбинации по умолчанию, поскольку простая формула молча предполагает, что каждый элемент можно выбрать не более одного раза.
Избегайте этой распространенной ошибки
Самая распространенная ошибка заключается в применении простой формулы комбинации C(n, r) к задаче с заменой, при этом занижается истинное количество выборов.
Другая частая ошибка сдвигает n и r не в ту сторону, вычисляя C(n + r − 1, n) вместо C(n + r − 1, r); оба выражения численно равны из-за симметрии комбинаций, поэтому эта конкретная ошибка все еще работает, но путаница, какое значение находится в верхней позиции (r или n − 1), не дает.
Часто задаваемые вопросы
Какова формула комбинаций с заменой?
Формула для комбинаций с заменой: C(n + r − 1, r), где n, количество доступных вариантов, а r, количество выбранных элементов с допустимыми повторами и порядком, не имеющим значения.
Сколькими способами вы можете выбрать ложки 3 из вкусов 5 с разрешенными повторами?
Выбор ложек 3 из ароматов 5 с разрешенными повторами дает C(5 + 3 − 1, 3) = C(7, 3), что соответствует различным комбинациям 35.
Чем отличаются комбинации с заменой и без?
Комбинации без замены запрещают выбирать один и тот же элемент дважды и использовать C(n, r), тогда как комбинации с заменой допускают повторы и используют сдвинутую формулу C(n + r − 1, r), которая всегда возвращает результат как минимум такого же большого размера.
Что такое метод звезд и полос?
Метод звезд и полос моделирует выбор с заменой, когда r звезд разделяются на n групп с помощью n - 1 полос, превращая задачу подсчета в обычную комбинацию C(n + r - 1, r) положений звезд и полос.
Имеет ли значение порядок в сочетании с заменой?
Порядок не имеет значения в сочетании с заменой; выбор яблок 2 и банана 1 считается одним результатом независимо от порядка, в котором были выбраны предметы. Когда порядок имеет значение и допускаются повторы, вместо этого при подсчете используется n, возведенное в степень r.
Может ли r быть больше n в комбинациях с заменой?
В комбинациях с заменой R может быть больше n, в отличие от обычных комбинаций, поскольку повторы позволяют выбрать больше элементов, чем имеется различных вариантов. Выбор 10 из вариантов 3 действителен и рассчитывается как C(3 + 10 − 1, 10) = C(12, 10) = 66.
Сколькими способами вы можете выбрать начинки 4 из 6 с разрешенными повторами?
Выбор начинки 4 из 6 с разрешенными повторами дает C(6 + 4 − 1, 4) = C(9, 4), что соответствует различным комбинациям 126.
Какие словосочетания в слове сигнализируют о проблемных сочетаниях с заменой?
Такие фразы, как «может повториться», «с заменой», «повторение разрешено» или сценарий, описывающий выбор одного и того же варианта несколько раз, например, заказ нескольких шариков мороженого с одним и тем же вкусом,, все это сигнализирует о том, что необходимы комбинации с заменой, а не простая формула комбинации.
Краткое резюме
Комбинации с калькулятором замены применяют C(n + r − 1, r) для подсчета выборок, которые допускают повторение элементов, когда порядок не имеет значения, используя метод звездочек и полос для обоснования смещенной формулы.
Введите количество вариантов n и размер выбора r, чтобы получить точное количество, со сдвигом на C(n + r − 1, r) и его факториальным разложением, которые показаны на рабочей панели.