La Calculadora de combinaciones con repetición cuenta selecciones de r elementos entre n opciones disponibles cuando se permiten repeticiones y el orden no importa. La fórmula que aplica es C(n + r − 1, r), conocida como estrellas y barras, y la herramienta muestra la combinación desplazada junto al conteo final.
Contar selecciones que permiten repeticiones
Las combinaciones ordinarias prohíben elegir el mismo elemento dos veces; las combinaciones con repetición levantan esa restricción. Elegir 3 bolas de helado entre 5 sabores disponibles, donde cualquier sabor puede repetirse, es un problema de combinaciones con repetición, no de combinaciones simples, porque un cliente puede pedir tres bolas del mismo sabor.
El conteo es C(5 + 3 − 1, 3), que es C(7, 3), igual a 35 pedidos distintos.
Entender el método de estrellas y barras
El método de estrellas y barras convierte una selección con repetición en una combinación ordinaria insertando n − 1 divisores entre r elementos seleccionados. Imagina r estrellas que representan los elementos elegidos y n − 1 barras que los separan en n contenedores, un contenedor por opción.
Ordenar r estrellas y n − 1 barras en una fila tiene C(r + n − 1, r) arreglos totales, porque elegir cuáles de las r + n − 1 posiciones ocupan las estrellas determina todo el diseño.
Resolver el ejemplo de sabores paso a paso
Con n = 5 sabores y r = 3 bolas, la combinación desplazada es C(5 + 3 − 1, 3) = C(7, 3). Expande C(7, 3) como 7! / (3! × 4!), que es (7 × 6 × 5) / (3 × 2 × 1), igual a 210 / 6, o 35.
La Calculadora de combinaciones con repetición imprime esta expansión exacta, para que el paso de n y r a la combinación de trabajo C(7, 3) nunca quede oculto.
Comparar con combinaciones ordinarias
Las combinaciones ordinarias sin repetición para los mismos n = 5 y r = 3 serían C(5, 3), igual a 10, porque cada sabor solo puede elegirse una vez.
El conteo con repetición de 35 es siempre al menos tan grande como el conteo sin repetición para los mismos n y r, porque permitir repeticiones solo añade selecciones válidas, nunca elimina ninguna.
Resolver un ejemplo de selección más grande
Elegir 4 toppings entre 6 opciones disponibles, donde el mismo topping puede seleccionarse más de una vez y el orden no importa, usa n = 6 y r = 4: C(6 + 4 − 1, 4) = C(9, 4).
Expande C(9, 4) como 9! / (4! × 5!), que es (9 × 8 × 7 × 6) / (4 × 3 × 2 × 1), igual a 3024 / 24, o 126. La Calculadora de combinaciones con repetición muestra esta misma secuencia de desplazar y expandir para cualquier n y r introducidos.
Reconocer el lenguaje de repetición en un problema verbal
Los problemas verbales que permiten repeticiones suelen usar frases como "con repetición", "puede repetirse", "con reemplazo" o describir un escenario como pedir comida donde el mismo artículo puede elegirse más de una vez.
Detectar este lenguaje antes de elegir una fórmula evita ir por defecto a la fórmula de combinación simple, porque esa fórmula asume en silencio que cada elemento puede elegirse como máximo una vez.
Evitar este error habitual
El error más común aplica la fórmula de combinación simple C(n, r) a un problema con repetición, subcontando el número verdadero de selecciones.
Otro error frecuente desplaza n y r al revés, calculando C(n + r − 1, n) en lugar de C(n + r − 1, r); ambas expresiones son numéricamente iguales por la simetría de las combinaciones, así que este desliz concreto aún funciona, pero confundir qué valor va en la posición superior (r o n − 1) no es correcto.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la fórmula de las combinaciones con repetición?
La fórmula de las combinaciones con repetición es C(n + r − 1, r), donde n es el número de opciones disponibles y r es el número de elementos seleccionados, con repeticiones permitidas y sin que importe el orden.
¿De cuántas formas se pueden elegir 3 bolas entre 5 sabores con repeticiones?
Elegir 3 bolas entre 5 sabores con repeticiones permitidas da C(5 + 3 − 1, 3) = C(7, 3), que es igual a 35 combinaciones distintas.
¿Cuál es la diferencia entre combinaciones con y sin repetición?
Las combinaciones sin repetición prohíben seleccionar el mismo elemento dos veces y usan C(n, r), mientras que las combinaciones con repetición permiten repeticiones y usan la fórmula desplazada C(n + r − 1, r), que siempre devuelve un resultado al menos tan grande.
¿Qué es el método de estrellas y barras?
El método de estrellas y barras modela una selección con repetición como r estrellas divididas en n grupos por n − 1 barras, convirtiendo el problema de conteo en una combinación ordinaria C(n + r − 1, r) de posiciones de estrellas y barras.
¿Importa el orden en las combinaciones con repetición?
El orden no importa en las combinaciones con repetición; seleccionar 2 manzanas y 1 plátano cuenta como un resultado sin importar el orden en que se eligieron. Cuando el orden sí importa y se permiten repeticiones, el conteo usa n elevado a la potencia r.
¿Puede r ser mayor que n en combinaciones con repetición?
R puede ser mayor que n en combinaciones con repetición, a diferencia de las combinaciones ordinarias, porque las repeticiones permiten seleccionar más elementos de los que hay opciones distintas. Elegir 10 bolas entre 3 sabores es válido y se calcula como C(3 + 10 − 1, 10) = C(12, 10) = 66.
¿De cuántas formas se pueden elegir 4 toppings entre 6 con repeticiones?
Elegir 4 toppings entre 6 con repeticiones permitidas da C(6 + 4 − 1, 4) = C(9, 4), que es igual a 126 combinaciones distintas.
¿Qué frases de un problema verbal señalan combinaciones con repetición?
Frases como "puede repetirse", "con reemplazo", "repetición permitida" o un escenario que describe seleccionar la misma opción varias veces, como pedir varias bolas del mismo sabor de helado, señalan que se necesitan combinaciones con repetición, no la fórmula de combinación simple.
Resumen
La Calculadora de combinaciones con repetición aplica C(n + r − 1, r) para contar selecciones que permiten elementos repetidos cuando el orden no importa, usando el método de estrellas y barras para justificar la fórmula desplazada.
Introduce el número de opciones n y el tamaño de selección r para obtener el conteo exacto, con el desplazamiento a C(n + r − 1, r) y su expansión factorial mostrados en el panel de trabajo.