Combinations with Replacement Calculator conta seleções de r itens de n opções disponíveis quando repetições são permitidas e a ordem não importa. A fórmula usada é C(n + r − 1, r), conhecida como método estrelas e barras, e a ferramenta mostra a combinação deslocada ao lado da contagem final.
Contar seleções que permitem repetições
Combinações ordinárias proíbem escolher o mesmo item duas vezes; combinações com repetição removem essa restrição. Escolher 3 bolas de sorvete de 5 sabores, onde qualquer sabor pode repetir, é problema de combinações com repetição, não de combinações simples, porque o cliente pode pedir três bolas do mesmo sabor.
A contagem é C(5 + 3 − 1, 3), ou seja, C(7, 3), igual a 35 pedidos distintos.
Entender o método estrelas e barras
O método estrelas e barras converte seleção com repetição em combinação ordinária inserindo n − 1 divisores entre r itens escolhidos. Imagine r estrelas representando os itens escolhidos e n − 1 barras separando-os em n compartimentos, um por opção.
Arranjar r estrelas e n − 1 barras em fila tem C(r + n − 1, r) arranjos totais, porque escolher quais posições entre r + n − 1 contêm estrelas determina todo o layout.
Exemplo passo a passo com sabores
Com n = 5 sabores e r = 3 bolas, a combinação deslocada é C(5 + 3 − 1, 3) = C(7, 3). Expanda C(7, 3) como 7! / (3! × 4!), ou seja, (7 × 6 × 5) / (3 × 2 × 1), igual a 210 / 6, ou 35.
Combinations with Replacement Calculator imprime essa expansão exata, para que o passo de n e r para a combinação operacional C(7, 3) nunca fique oculto.
Comparar com combinações ordinárias
Combinações ordinárias sem repetição para os mesmos n = 5 e r = 3 seriam C(5, 3), igual a 10, porque cada sabor só pode ser escolhido uma vez.
A contagem com repetição de 35 é sempre pelo menos tão grande quanto a sem repetição para os mesmos n e r, porque permitir repetições só adiciona seleções válidas, nunca remove.
Exemplo com seleção maior
Escolher 4 coberturas de 6 opções, onde a mesma cobertura pode ser selecionada mais de uma vez e a ordem não importa, usa n = 6 e r = 4: C(6 + 4 − 1, 4) = C(9, 4).
Expanda C(9, 4) como 9! / (4! × 5!), ou seja, (9 × 8 × 7 × 6) / (4 × 3 × 2 × 1), igual a 3024 / 24, ou 126. Combinations with Replacement Calculator mostra a mesma sequência deslocar-e-expandir para qualquer n e r inseridos.
Reconhecer linguagem com repetição em problema com texto
Problemas que permitem repetições costumam usar frases como "com repetição," "pode repetir," "com substituição," ou descrevem cenário como pedir comida onde o mesmo item pode ser escolhido mais de uma vez.
Identificar essa linguagem antes de escolher fórmula evita usar por padrão a fórmula de combinações simples, que assume silenciosamente que cada item pode ser escolhido no máximo uma vez.
Evitar este erro comum
O erro mais comum é usar a fórmula de combinações simples C(n, r) em problema com repetição, subestimando o número real de seleções.
Outro erro frequente desloca n e r do jeito errado, calculando C(n + r − 1, n) em vez de C(n + r − 1, r); ambas as expressões são numericamente iguais por simetria de combinações, mas confundir qual valor vai no topo (r ou n − 1) não ajuda.
Perguntas frequentes
Qual é a fórmula para combinações com repetição?
A fórmula para combinações com repetição é C(n + r − 1, r), onde n é o número de opções disponíveis e r o número de itens selecionados, com repetições permitidas e ordem irrelevante.
De quantas formas escolher 3 bolas de 5 sabores com repetições?
Escolher 3 bolas de 5 sabores com repetições dá C(5 + 3 − 1, 3) = C(7, 3), igual a 35 combinações distintas.
Qual a diferença entre combinações com e sem repetição?
Combinações sem repetição proíbem selecionar o mesmo item duas vezes e usam C(n, r), enquanto combinações com repetição permitem repetições e usam C(n + r − 1, r), que sempre retorna resultado pelo menos tão grande quanto o outro.
O que é o método estrelas e barras?
O método estrelas e barras modela seleção com repetição como r estrelas divididas em n grupos por n − 1 barras, convertendo a contagem em combinação ordinária C(n + r − 1, r) de posições estrela-e-barra.
A ordem importa em combinações com repetição?
A ordem não importa em combinações com repetição; selecionar 2 maçãs e 1 banana conta como um único resultado independentemente da ordem de escolha. Quando a ordem importa e repetições são permitidas, a contagem usa n elevado a r.
r pode ser maior que n em combinações com repetição?
r pode ser maior que n em combinações com repetição, diferente de combinações ordinárias, porque repetições permitem selecionar mais itens do que opções distintas existem. Escolher 10 bolas de 3 sabores é válido e dá C(3 + 10 − 1, 10) = C(12, 10) = 66.
De quantas formas escolher 4 coberturas de 6 com repetições?
Escolher 4 coberturas de 6 com repetições dá C(6 + 4 − 1, 4) = C(9, 4), igual a 126 combinações distintas.
Quais frases em problema com texto sinalizam combinações com repetição?
Frases como "pode repetir," "com substituição," "repetição permitida," ou cenário descrevendo selecionar a mesma opção várias vezes, como pedir várias bolas do mesmo sabor de sorvete, sinalizam combinações com repetição, não a fórmula de combinações simples.
Resumo
Combinations with Replacement Calculator usa C(n + r − 1, r) para contar seleções que permitem itens repetidos quando a ordem não importa, justificando a fórmula deslocada com o método estrelas e barras.
Insira o número de opções n e o tamanho da seleção r para obter a contagem exata, com o deslocamento para C(n + r − 1, r) e sua expansão fatorial ambos visíveis no painel de trabalho.