대체 계산기와의 조합은 반복이 허용되고 순서가 중요하지 않은 경우 n개의 사용 가능한 옵션에서 r개 항목의 선택을 계산합니다. 적용되는 공식은 일반적으로 별과 막대라고 불리는 C(n + r − 1, r)이며, 도구는 최종 개수와 함께 이동된 조합을 표시합니다.
반복을 허용하는 선택 항목 수 계산
일반적인 조합에서는 동일한 항목을 두 번 선택하는 것이 금지됩니다. 교체 리프트와의 조합으로 인해 제한이 발생합니다. 어떤 맛이든 반복될 수 있는 5 사용 가능한 맛 중에서 3 아이스크림 한 스쿱을 선택하는 것은 고객이 동일한 맛을 세 스쿱 주문할 수 있기 때문에 단순한 조합 문제가 아니라 대체 조합 문제입니다.
개수는 C(5 + 3 − 1, 3)이며 이는 C(7, 3)이며 35 고유 순서와 동일합니다.
별과 막대 방법 이해
별표 및 막대 방법은 선택된 r개 항목에 n − 1 구분선을 삽입하여 대체 항목 선택을 일반 조합으로 변환합니다. 선택한 항목을 나타내는 r개의 별과 이를 n개의 저장소(옵션당 하나의 저장소)로 구분하는 n − 1 막대를 그려보세요.
r개의 별과 n − 1 막대를 연속적으로 배열하면 C(r + n − 1, r)개의 전체 배열이 됩니다. r + n − 1 위치 중 별이 유지되는 위치를 선택하면 전체 레이아웃이 결정되기 때문입니다.
단계별로 플레이버 예제를 살펴보세요
n = 5 맛과 r = 3 스쿱의 경우 이동된 조합은 C(5 + 3 − 1, 3) = C(7, 3)입니다. C(7, 3)를 7로 확장하세요! / (3! × 4!), 이는 (7 × 6 × 5) / (3 × 2 × 1)이며, 210와 같습니다. / 6 또는 35.
대체 계산기와의 조합은 이 정확한 확장을 인쇄하므로 n과 r에서 작업 조합 C(7, 3)로의 전환은 결코 숨겨진 단계가 아닙니다.
일반 조합과 비교
동일한 n = 5 및 r = 3에 대한 대체가 없는 일반적인 조합은 C(5, 3)가 되며, 각 맛은 한 번만 선택할 수 있으므로 10과 같습니다.
35의 대체 포함 개수는 항상 동일한 n 및 r에 대한 비대체 개수만큼 큽니다. 반복을 허용하면 더 많은 유효한 선택 항목만 추가되고 어떤 항목도 제거되지 않기 때문입니다.
더 큰 선택 예제를 통해 작업
동일한 토핑을 두 번 이상 선택할 수 있고 순서는 중요하지 않은 6 사용 가능한 옵션에서 4 토핑을 선택하려면 n = 6 및 r = 4을 사용합니다. C(6 + 4 − 1, 4) = C(9, 4).
C(9, 4)를 9로 확장하세요! / (4! × 5!), 즉 (9 × 8 × 7 × 6) / (4 × 3 × 2 × 1), 3024 / 24 또는 126와 같습니다. 대체 계산기와의 조합은 입력된 n 및 r에 대해 이와 동일한 이동 및 확장 순서를 보여줍니다.
단어 문제에서 대체 언어 인식
반복을 허용하는 단어 문제는 일반적으로 "반복 있음", "반복 가능", "교체 포함"과 같은 문구를 사용하거나 동일한 항목을 두 번 이상 선택할 수 있는 음식 주문과 같은 시나리오를 설명합니다.
수식을 선택하기 전에 이 언어를 발견하면 기본적으로 일반 조합 수식에 도달하는 것을 피할 수 있습니다. 일반 수식은 모든 항목을 최대 한 번 선택할 수 있다고 자동으로 가정하기 때문입니다.
이런 흔한 실수를 피하세요
가장 일반적인 오류는 일반 조합 공식 C(n, r)을 대체 문제에 적용하여 실제 선택 수를 과소계산하는 것입니다.
또 다른 빈번한 실수는 C(n + r − 1, r) 대신 C(n + r − 1, n)을 계산하여 n과 r을 잘못된 방향으로 이동시키는 것입니다. 두 표현식은 조합의 대칭성에 의해 수치적으로 동일하므로 이 특정 실수는 여전히 작동하지만 어떤 값이 맨 위 위치에 있는지 혼동하지 않습니다(r 또는 n − 1).
자주 묻는 질문
대체 조합의 공식은 무엇입니까?
대체 조합의 공식은 C(n + r − 1, r)입니다. 여기서 n은 사용 가능한 옵션 수이고 r은 선택한 항목 수이며 반복이 허용되며 순서는 중요하지 않습니다.
반복이 허용되는 5 맛 중에서 3 스쿱을 선택할 수 있는 방법은 몇 가지입니까?
반복이 허용되는 5 맛에서 3 스쿱을 선택하면 C(5 + 3 − 1, 3) = C(7, 3)가 되며, 이는 35 별개와 같습니다. 조합.
교체가 있는 조합과 교체가 없는 조합의 차이점은 무엇입니까?
대체가 없는 조합은 동일한 항목을 두 번 선택하는 것을 금지하고 C(n, r)을 사용하는 반면, 대체가 있는 조합은 반복을 허용하고 이동 공식 C(n + r − 1, r)를 사용하여 항상 최소한 큰 결과를 반환합니다.
별과 막대 방법이란 무엇입니까?
별과 막대 방법은 r개의 별이 n − 1 막대로 n 그룹으로 분할되는 대체 선택을 모델링하여 계산 문제를 별과 막대 위치의 일반적인 조합 C(n + r − 1, r)로 변환합니다.
교체와 함께 주문이 중요합니까?
교체와 결합하여 순서는 중요하지 않습니다. 2 사과와 1 바나나를 선택하면 항목이 선택된 순서에 관계없이 하나의 결과로 계산됩니다. 순서가 중요하고 반복이 허용되는 경우 개수는 대신 n의 r 거듭제곱을 사용합니다.
치환과 결합하여 r이 n보다 클 수 있나요?
R은 일반적인 조합과 달리 대체 조합에서 n보다 클 수 있습니다. 반복을 사용하면 고유한 옵션보다 더 많은 항목을 선택할 수 있기 때문입니다. 3 맛에서 10 스쿱을 선택하는 것은 유효하며 C(3 + 10 − 1, 10) = C(12, 10) = 66로 계산됩니다.
반복이 허용되는 6에서 4 토핑을 선택할 수 있는 방법은 몇 가지입니까?
반복이 허용되는 6에서 4 토핑을 선택하면 C(6 + 4 − 1, 4) = C(9, 4)가 되며, 이는 126 별개와 같습니다. 조합.
단어 문제에서 어떤 문구가 교체와 결합을 의미합니까?
"반복 가능", "교체 포함", "반복 허용"과 같은 문구 또는 동일한 아이스크림 맛을 여러 스쿱 주문하는 등 동일한 옵션을 여러 번 선택하는 것을 설명하는 시나리오는 모두 일반 조합 공식이 아닌 대체 조합이 필요하다는 신호입니다.
요약
대체 계산기와의 조합은 C(n + r − 1, r)를 적용하여 순서가 중요하지 않을 때 반복 항목을 허용하는 선택 항목을 계산하고 별표 및 막대 방법을 사용하여 이동된 수식을 정당화합니다.
옵션 수 n과 선택 크기 r을 입력하여 정확한 수를 얻으세요. C(n + r − 1, r)로의 이동과 해당 계승 확장은 모두 작업 패널에 표시됩니다.