Değiştirme Hesaplayıcılı Kombinasyonlar, tekrarlara izin verildiğinde ve sıra önemli olmadığında, n mevcut seçenek arasından r öğenin seçimlerini sayar. Uyguladığı formül, genellikle yıldızlar ve çubuklar olarak adlandırılan C(n + r − 1, r) formülüdür ve araç, son sayımla birlikte kaydırılan kombinasyonu gösterir.
Tekrarlara izin veren seçimleri sayın
Sıradan kombinasyonlar aynı öğenin iki kez seçilmesini yasaklar; değiştirme ile kombinasyonlar bu kısıtlamayı kaldırır. Herhangi bir lezzetin tekrarlayabileceği mevcut 5 tatlar arasından 3 kaşık dondurma seçmek, düz bir kombinasyon sorunu değil, değiştirme ile kombinasyon problemidir çünkü bir müşteri aynı lezzetten üç kaşık sipariş edebilir.
Sayım C(5 + 3 − 1, 3) olup, C(7, 3), 35 farklı sıralara eşittir.
Yıldızlar ve çubuklar yöntemini anlama
Yıldızlar ve çubuklar yöntemi, seçilen r öğe arasına n − 1 bölücüler ekleyerek, değiştirmeli seçimi sıradan bir kombinasyona dönüştürür. Resim, seçilen öğeleri temsil eden r yıldızları ve bunları seçenek başına bir kutu olmak üzere n bölmeye ayıran n − 1 çubukları.
r yıldızları ve n − 1 çubuklarını arka arkaya düzenlemek C(r + n − 1, r) toplam düzenlemeye sahiptir, çünkü r + n − 1 konumlarından hangisinin yıldızları tuttuğunu seçmek tüm düzeni belirler.
Lezzet örneğini adım adım inceleyin
n = 5 tatlar ve r = 3 kaşıklarla, kaydırılan kombinasyon C(5 + 3 − 1, 3) = C(7, 3) olur. C(7, 3)'yi 7 olarak genişletin! / (3! × 4!), yani (7 × 6 × 5) / (3 × 2 × 1), 210'a eşit / 6 veya 35.
Değiştirme Hesaplayıcılı Kombinasyonlar bu genişlemeyi tam olarak yazdırır, dolayısıyla n ve r'den C(7, 3) çalışma kombinasyonuna geçiş hiçbir zaman gizli bir adım değildir.
Sıradan kombinasyonlarla karşılaştırın
Aynı n = 5 ve r = 3 için değiştirme yapılmayan sıradan kombinasyonlar C(5, 3) olur ve 10'ye eşit olur, çünkü her çeşit yalnızca bir kez seçilebilir.
35'nin değiştirmeli sayısı her zaman en az aynı n ve r için değiştirmesiz sayım kadar büyüktür, çünkü tekrarlara izin vermek yalnızca daha fazla geçerli seçim ekler, hiçbir zaman hiçbirini kaldırmaz.
Daha büyük bir seçim örneği üzerinde çalışın
Aynı üst malzemenin birden fazla kez seçilebildiği ve sıranın önemli olmadığı 6 mevcut seçeneklerden 4 üst malzemeleri seçmek, n = 6 ve r = 4 kullanır: C(6 + 4 − 1, 4) = C(9, 4).
C(9, 4)'yi 9 olarak genişletin! / (4! × 5!), yani (9 × 8 × 7 × 6) / (4 × 3 × 2 × 1), eşittir 3024 / 24 veya 126. Değiştirme Hesaplayıcılı Kombinasyonlar, girilen herhangi bir n ve r için aynı kaydırma ve genişletme sırasını gösterir.
Bir kelime probleminde yerine geçen dili tanıma
Tekrarlara izin veren kelime problemleri genellikle "tekrarlı", "tekrar edebilir", "değiştirilebilir" gibi ifadeler kullanır veya aynı öğenin birden fazla seçilebildiği yemek siparişi gibi bir senaryoyu tanımlar.
Bir formül seçmeden önce bu dili fark etmek, varsayılan olarak düz kombinasyon formülüne ulaşmayı engeller çünkü düz formül sessizce her öğenin en fazla bir kez seçilebileceğini varsayar.
Bu yaygın hatadan kaçının
En yaygın hata, düz kombinasyon formülü C(n, r)'yi, seçimlerin gerçek sayısını eksik sayarak, değiştirme problemine uygular.
Sık karşılaşılan başka bir hata, n ve r'yi yanlış yöne kaydırır; C(n + r − 1, n) yerine C(n + r − 1, r); kombinasyonların simetrisi açısından her iki ifade de sayısal olarak eşittir, dolayısıyla bu özel kayma hala işe yaramaktadır, ancak hangi değerin en üst konuma (r veya n − 1) gittiği kafa karıştırıcı değildir.
Sıkça sorulan sorular
Değiştirmeli kombinasyonların formülü nedir?
Değiştirmeli kombinasyonların formülü C(n + r − 1, r)'dir; burada n, mevcut seçeneklerin sayısıdır ve r, tekrarlara izin verilen ve sıranın önemli olmadığı, seçilen öğelerin sayısıdır.
Tekrarlara izin verilen 5 lezzetlerinden 3 kepçeleri kaç farklı şekilde seçebilirsiniz?
Tekrarlara izin verilen 5 tatlarından 3 kaşıkların seçilmesi, 35 farklı kombinasyonlara eşit olan C(5 + 3 − 1, 3) = C(7, 3) sonucunu verir.
Değiştirmeli ve değiştirmesiz kombinasyonlar arasındaki fark nedir?
Değiştirmesiz kombinasyonlar aynı öğenin iki kez seçilmesini yasaklar ve C(n, r) kullanır; değiştirmeli kombinasyonlar ise tekrarlara izin verir ve her zaman en az aynı büyüklükte sonuç veren kaydırılmış C(n + r − 1, r) formülünü kullanır.
Yıldızlar ve çubuklar yöntemi nedir?
Yıldızlar ve çubuklar yöntemi, r yıldızların n − 1 çubuklarla n gruba bölünmesiyle değiştirmeli bir seçim modelleyerek sayma problemini yıldız ve çubuk konumlarının sıradan bir C(n + r − 1, r) kombinasyonuna dönüştürür.
Değiştirme ile kombinasyonlarda sıra önemli midir?
Değiştirmeli kombinasyonlarda sıra önemli değildir; 2 elmalar ve 1 muz seçilmesi, öğelerin seçildiği sıraya bakılmaksızın tek bir sonuç olarak sayılır. Sıra önemli olduğunda ve tekrarlara izin verildiğinde, sayım bunun yerine n'nin r üssüne yükseltilmiş olarak kullanılır.
Yer değiştirme kombinasyonlarında r, n'den daha büyük olabilir mi?
Sıradan kombinasyonların aksine, değiştirmeli kombinasyonlarda R, n'den daha büyük olabilir çünkü tekrarlar, farklı seçeneklerden daha fazla öğenin seçilmesini mümkün kılar. 3 çeşitlerinden 10 kepçe seçimi geçerlidir ve C(3 + 10 − 1, 10) = C(12, 10) = 66 olarak hesaplanır.
Tekrarlara izin verilen 6 arasından 4 üst malzemelerini kaç farklı şekilde seçebilirsiniz?
Tekrarlara izin verilen 6'den 4 malzemeleri seçmek, C(6 + 4 − 1, 4) = C(9, 4) sonucunu verir, bu da 126 farklı kombinasyonlara eşittir.
Bir kelime problemindeki hangi ifadeler değiştirme ile kombinasyonlara işaret eder?
"Tekrar edebilir", "değiştirilerek", "tekrarlamaya izin verilir" gibi ifadeler veya aynı dondurma aromasından birden fazla kepçe sipariş etmek gibi aynı seçeneği birden çok kez seçmeyi açıklayan bir senaryo, bunların tümü düz kombinasyon formülüne değil, değiştirme içeren kombinasyonlara ihtiyaç duyulduğunun sinyalini verir.
Özet
Değiştirme Hesaplayıcılı Kombinasyonlar, kaydırılan formülü doğrulamak için yıldızlar ve çubuklar yöntemini kullanarak, sıra önemli olmadığında tekrarlanan öğelere izin veren seçimleri saymak için C(n + r − 1, r)'yi uygular.
Tam sayıyı elde etmek için seçenek sayısını n ve seçim boyutunu r girin; C(n + r − 1, r)'ye geçiş ve bunun faktöriyel genişlemesi çalışma panelinde gösterilir.