Les combinaisons avec la calculatrice de remplacement comptent les sélections de r éléments parmi n options disponibles lorsque les répétitions sont autorisées et que l’ordre n’a pas d’importance. La formule appliquée est C(n + r − 1, r), communément appelée étoiles et barres, et l’outil montre la combinaison décalée en même temps que le compte final.
Compter les sélections qui permettent des répétitions
Les combinaisons ordinaires interdisent de choisir deux fois le même objet; Les combinaisons avec le remplacement lèvent cette restriction. Choisir 3 boules de glace parmi 5 saveurs disponibles, où n’importe quelle saveur peut se répéter, est un problème de combinaison avec remplacement, pas de combinaison simple, car un client peut commander trois boules de la même saveur.
Le décompte est C(5 + 3 − 1, 3), soit C(7, 3), égal à 35 ordres distincts.
Comprenez la méthode des étoiles et barres
La méthode étoiles et barres convertit une sélection avec remplacement en une combinaison ordinaire en insérant n − 1 séparateurs parmi r éléments sélectionnés. Image r étoiles représentant les objets choisis et n − 1 barres les séparant en n bacs, un bac par option.
Disposer r étoiles et n − 1 barres d’affilée a des arrangements totaux C(r + n − 1, r), car choisir laquelle des r + n − 1 positions contient des étoiles détermine toute la disposition.
Travaillez l’exemple de saveur étape par étape
Avec n = 5 saveurs et r = 3 cuillères, la combinaison décalée est C(5 + 3 − 1, 3) = C(7, 3). Développez C(7, 3) en 7! / (3! × 4!), ce qui est (7 × 6 × 5) / (3 × 2 × 1), soit 210 / 6, soit 35.
Les combinaisons avec la calculatrice de remplacement affichent exactement cette expansion, donc le passage de n et r à la combinaison fonctionnelle C(7, 3) n’est jamais une étape cachée.
Comparer avec des combinaisons ordinaires
Les combinaisons ordinaires sans remplacement pour le même n = 5 et r = 3 seraient C(5, 3), égal à 10, puisque chaque saveur ne peut être choisie qu’une seule fois.
Le nombre de remplacements de 35 est toujours au moins aussi grand que le nombre sans remplacement pour les mêmes n et r, car permettre des répétitions n’ajoute que plus de sélections valides, sans jamais en supprimer.
Travaillez à travers un exemple de sélection plus large
Choisir 4 garnitures parmi 6 options disponibles, où la même garniture peut être sélectionnée plusieurs fois et que l’ordre n’a pas d’importance, utilise n = 6 et r = 4: C(6 + 4 − 1, 4) = C(9, 4).
Développez C(9, 4) en 9! / (4! × 5!), ce qui est (9 × 8 × 7 × 6) / (4 × 3 × 2 × 1), soit 3024 / 24, soit 126. Les combinaisons avec la calculatrice de remplacement montrent cette même séquence de décalage et d’expansion pour tout n et r entrés.
Reconnaître le langage avec remplacement dans un problème de mots
Les problèmes de mots qui permettent des répétitions utilisent généralement des expressions comme « avec répétition », « peut répéter », « avec remplacement », ou décrivent un scénario comme commander de la nourriture où le même article peut être choisi plusieurs fois.
Repérer ce langage avant de choisir une formule évite par défaut de recourir à la formule de combinaison simple, puisque la formule simple suppose silencieusement que chaque élément peut être choisi au plus une fois.
Éviter cette erreur courante
L’erreur la plus courante applique la formule de combinaison simple C(n, r) à un problème de remplacement avec remplacement, en sous-comptant le nombre réel de sélections.
Une autre erreur fréquente est le déplacement de n et de la mauvaise direction, calculant C(n + r − 1, n) au lieu de C(n + r − 1, r); Les deux expressions sont numériquement égales par la symétrie des combinaisons, donc ce glissement particulier fonctionne toujours, mais confondre quelle valeur va en position supérieure (r ou n − 1) ne fonctionne pas.
Questions fréquentes
Quelle est la formule pour les combinaisons avec remplacement?
La formule des combinaisons avec remplacement est C(n + r − 1, r), où n est le nombre d’options disponibles et r le nombre d’éléments sélectionnés, les répétitions étant autorisées et l’ordre n’ayant pas d’importance.
Combien de façons peut-on choisir 3 cuillères parmi 5 saveurs, avec des répétitions autorisées?
Choisir 3 cuillères parmi 5 saveurs avec des répétitions autorisées donne C(5 + 3 − 1, 3) = C(7, 3), ce qui équivaut à 35 combinaisons distinctes.
Quelle est la différence entre les combinaisons avec et sans remplacement?
Les combinaisons sans remplacement interdisent de sélectionner deux fois le même élément et d’utiliser C(n, r), tandis que les combinaisons avec remplacement permettent des répétitions et utilisent la formule décalée C(n + r − 1, r), qui donne toujours un résultat au moins aussi grand.
Quelle est la méthode des étoiles et barres?
La méthode des étoiles et barres modélise une sélection avec remplacement lorsque r étoiles se divisent en n groupes par n − 1 barres, convertissant le problème de comptage en une combinaison ordinaire C(n + r − 1, r) de positions étoile et barre.
L’ordre compte-t-il en combinaison avec le remplacement?
L’ordre n’a pas d’importance en combinaisons avec le remplacement; Choisir 2 pommes et 1 banane compte comme un seul résultat, quel que soit l’ordre dans lequel les objets ont été choisis. Lorsque l’ordre compte et que les répétitions sont autorisées, le compte utilise plutôt n élevé à la puissance r.
R peut-il être plus grand que n en combinaison avec remplacement?
R peut être plus grand que n en combinaisons avec remplacement, contrairement aux combinaisons ordinaires, car les répétitions permettent de sélectionner plus d’éléments qu’il n’y a d’options distinctes. Choisir 10 cuillères parmi 3 saveurs est valide et se calcule comme C(3 + 10 − 1, 10) = C(12, 10) = 66.
Combien de façons peut-on choisir 4 garnitures parmi 6, avec des répétitions autorisées?
Choisir 4 garnitures parmi 6 avec des répétitions autorisées donne C(6 + 4 − 1, 4) = C(9, 4), ce qui équivaut à 126 combinaisons distinctes.
Quelles phrases dans un problème de mots signifient des combinaisons de remplacement?
Des expressions comme « peut répéter », « avec remplacement », « répétition autorisée », ou un scénario décrivant le fait de sélectionner plusieurs fois la même option, comme commander plusieurs boules de la même saveur de glace, indiquent toutes que des combinaisons avec remplaçant, et non la formule de combinaison simple, sont nécessaires.
Résumé
Les combinaisons avec la calculatrice de remplacement appliquent C(n + r − 1, r) pour compter les sélections qui permettent de répéter les éléments lorsque l’ordre n’a pas d’importance, en utilisant la méthode des étoiles et barres pour justifier la formule décalée.
Entrez le nombre d’options n et la taille de sélection r pour obtenir le compte exact, avec le décalage vers C(n + r − 1, r) et son expansion factorielle tous deux affichés dans le panneau de travail.