QuickCalculators réécrit une quadratique en complétant le carré, produisant la forme de sommet et les racines optionnelles à partir du carré complété. Entrez les coefficients pour ax² + bx + c, puis lisez les pas des demi-coefficients, le binomial au carré et les coordonnées des sommets.
Compléter la case est une méthode, pas seulement une réponse. Le panneau de travail montre chaque étape d’addition-soustraite afin que l’algèbre reste vérifiable à la main.
Complétez le carré d’une quadratique
Compléter le carré transforme ax² + bx + c en une forme a(x − h)² + k (ou (x − h)² + k lorsque a = 1). QuickCalculators évolue à un coefficient principal de 1 lorsque nécessaire, puis construit le trinôme du carré parfait à partir du terme linéaire.
La forme de sommet rend le sommet (h, k) lisible d’un coup d’œil. La même réécriture permet de résoudre en isolant le binôme carré et en prenant des racines carrées.
Suivez les étapes de complément du carré
Pour x² + bx + c avec a = 1, on prend la moitié de b, on carre cette moitié, et on ajoute et soustrait le carré pour obtenir un trinôme au carré parfait. QuickCalculators montre la moitié de b, le carré, et le regroupement en (x + b/2)² plus une constante.
Exemple de plan pour x² + 6x + 5: la moitié de 6 fait 3, et 3² est 9. Réécrire en x² + 6x + 9 − 9 + 5 = (x + 3)² − 4. Quand un ≠ 1, factoriser a à partir des x termes d’abord, puis compléter le carré à l’intérieur.
Trouver le sommet à partir de la forme de sommet
Sous la forme de sommet a(x − h)² + k, le sommet est (h, k). Si un > 0, la parabole s’ouvre vers le haut et (h, k) est un minimum. Si un < 0, il s’ouvre vers le bas et (h, k) est un maximum. QuickCalculators rapporte ces coordonnées à partir de la case complétée.
Pour (x + 3)² − 4, h = −3 et k = −4, donc le sommet est (−3, −4). La prudence des signes compte: (x + 3) signifie h = −3, pas +3.
Résoudre la quadratique en complétant le carré
Après avoir terminé le carré, isolez le binomial carré et prenez des racines carrées des deux côtés. Les deux racines (lorsqu’elles existent au-dessus des réels) proviennent de la ± étape. QuickCalculators peut continuer de la forme de sommet vers ces solutions.
À partir de (x + 3)² − 4 = 0, on déplace la constante: (x + 3)² = 4, donc x + 3 = ±2, donc x = −1 ou x = −5.
Vérifier dans la quadratique originale confirme les deux racines.
Compléter le carré de x² + 6x + 5
Le luminaire complète la case pour x² + 6x + 5 sur QuickCalculators.
- La moitié de 6 fait 3; À égalité pour obtenir 9.
- Écrire x² + 6x + 9 − 9 + 5.
- Regroupez comme (x + 3)² − 4.
- Sommet de lecture (−3, −4). Résoudre (x + 3)² = 4 donne x = −1 et x = −5.
Éviter cette idée fausse courante
Une erreur fréquente consiste à oublier d’équilibrer la constante lors de l’ajout de (b/2)², ce qui modifie la valeur de l’expression. Compléter la case ajoute et soustrait la même case, ou distribue soigneusement lorsqu’une ≠ 1. Supprimer la soustraction compensatrice invente une autre quadratique. QuickCalculators garde visible à la fois le carré additionné et le carré soustrait.
Questions fréquentes
Que signifie compléter la case?
Compléter le carré réécrit une quadratique de sorte qu’un binomial au carré parfait apparaît, produisant généralement la forme de sommet a(x − h)² + k.
Comment compléter la case pour x² + 6x + 5?
La moitié de 6 vaut 3, et 3² est 9, donc la forme devient (x + 3)² − 4. Entrer ces coefficients permet de rendre cet exemple de référence.
Comment trouver le sommet après avoir terminé le carré?
Lisez (h, k) à partir de a(x − h)² + k. Pour (x + 3)² − 4, le sommet est (−3, −4).
Est-ce que compléter le carré peut résoudre n’importe quelle quadratique?
Compléter le carré résout toute quadratique avec des racines réelles ou complexes. Les pas à racine carrée réelle nécessitent un côté droit non négatif après avoir isolé le carré; sinon, les racines sont complexes.
Comment compléter le carré se rapporte-t-il à la formule quadratique?
La formule quadratique est obtenue en complétant le carré sur ax² + bx + c sous forme générale. Les deux méthodes partagent le même noyau algébrique.
Que se passe-t-il si le coefficient principal n’est pas 1?
Factoriser a à partir des termes x² et x d’abord, compléter le carré entre parenthèses, puis distribuer un arrière sur le carré binomial et la constante selon les besoins.
Résumé
QuickCalculators réécrit la quadratique en complétant le carré en forme de sommet et peut continuer jusqu’aux racines. La moitié de b, carrer cette moitié, et équilibrer la constante. Le fixation x² + 6x + 5 devient (x + 3)² − 4 avec sommet (−3, −4) et racines −1 et −5.
Ajoutez et soustrayez toujours la même case pour que la valeur ne change pas.