QuickCalculators przepisuje kwadratową formę, uzupełniając kwadrat, tworząc formę wierzchołków i opcjonalne pierwiastki z ukończonego kwadratu. Wprowadź współczynniki dla osi² + bx + c, następnie odczytaj kroki półwspółczynnika, kwadrat dwumianowy oraz współrzędne wierzchołkowe.
Uzupełnienie kwadratu to metoda, a nie tylko odpowiedź. Panel roboczy pokazuje każdy etap dodawania i odejmowania, dzięki czemu algebra pozostaje łatwa do sprawdzenia ręcznie.
Uzupełnij kwadrat kwadratu
Uzupełnienie kwadratu sprawia, że ax² + bx + c tworzy postać a(x − h)² + k (lub (x − h)² + k, gdy a = 1). QuickCalculators skaluje się do współczynnika wiodącego 1, gdy jest to potrzebne, a następnie buduje trynomal idealnego kwadratu z wyrazu liniowego.
Forma wierzchołkowa sprawia, że wierzchołek (h, k) jest czytelny na pierwszy rzut oka. Ta sama poprawka umożliwia rozwiązywanie przez wyizolowanie kwadratowego dwumianu i przyjmowanie pierwiastków kwadratowych.
Postępuj zgodnie z krokami ukończenia kwadratu
Dla x² + bx + c z a = 1, weź połowę b, kwadratuj tę połowę, dodaj i odejmij kwadrat, aby powstał trynomal o doskonałym kwadratie. QuickCalculators pokazuje połowę b, kwadrat, oraz przegrupowanie w (x + b/2)² plus stała.
Przykładowy konspekt dla x² + 6x + 5: połowa 6 to 3, a 3² to 9. Przepisz jako x² + 6x + 9 − 9 + 5 = (x + 3)² − 4. Gdy a ≠ 1, najpierw rozłóż a z x wyrazów, a następnie uzupełnij kwadrat wewnątrz.
Znajdź wierzchołek z formy wierzchołka
W formie wierzchołka a(x − h)² + k wierzchołek to (h, k). Jeśli > 0 parabola otwiera się w górę, a (h, k) jest minimum. Jeśli < 0 otwiera się w dół, a (h, k) jest maksimum. QuickCalculators raportuje te współrzędne z ukończonego kwadratu.
Dla (x + 3)² − 4, h = −3 oraz k = −4, więc wierzchołek to (−3, −4). Ostrożność znaków ma znaczenie: (x + 3) oznacza h = −3, a nie +3.
Rozwiąż kwadrat, uzupełniając kwadrat
Po ukończeniu kwadratu wyodrębn kwadratowy dwumian i bierz pierwiastki kwadratowe z obu stron. Dwa pierwiastki (gdy istnieją nad liczbami rzeczywistymi) pochodzą z kroku ±. QuickCalculators może kontynuować od formy wierzchołkowej do tych rozwiązań.
Z (x + 3)² − 4 = 0, przesuń stałą: (x + 3)² = 4, więc x + 3 = ±2, stąd x = −1 lub x = −5.
Sprawdzenie oryginalnej kwadratowej potwierdza oba pierwiastki.
Uzupełnij kwadraturę x² + 6x + 5
Fixture uzupełnia pole dla x² + 6x + 5 na QuickCalculators.
- Połowa 6 to 3; kwadrat, aby otrzymać 9.
- Zapisz x² + 6x + 9 − 9 + 5.
- Przegrupuj jako (x + 3)² − 4.
- Odczytaj wierzchołek (−3, −4). Rozwiązując (x + 3)² = 4 otrzymuje x = −1 oraz x = −5.
Unikaj tego powszechnego błędnego przekonania
Częstym błędem jest zapominanie o wyważeniu stałej przy dodawaniu (b/2)², co zmienia wartość wyrażenia. Uzupełnienie kwadratu dodaje i odejmuje ten sam kwadrat lub rozdziela ostrożnie, gdy ≠ 1. Usunięcie kompensacyjnego odejmowania tworzy inny kwadrat. QuickCalculators utrzymuje widoczny zarówno dodany, jak i odejmowany kwadrat.
Często zadawane pytania
Co oznacza ukończenie kwadratu?
Uzupełnienie kwadratu przepisuje kwadrat tak, aby powstał dwumian o idealnym kwadratzie, zwykle tworząc postać wierzchołkowa a(x − h)² + k.
Jak uzupełnić pole dla x² + 6x + 5?
Połowa 6 to 3, a 3² to 9, więc forma staje się (x + 3)² − 4. Wpisując te współczynniki, zwraca się ten element.
Jak znaleźć wierzchołek po ukończeniu kwadratu?
Odczytaj (h, k) z a(x − h)² + k. Dla (x + 3)² − 4, wierzchołek to (−3, −4).
Czy uzupełnienie kwadratu może rozwiązać dowolny kwadrat?
Uzupełnienie kwadratu rozwiązuje dowolny kwadrat z pierwiastkami rzeczywistymi lub zespolonymi. Rzeczywiste kroki z pierwiastkiem kwadratowym wymagają nieujemnej prawej strony po wyizolowaniu kwadratu; w przeciwnym razie pierwiastki są zespolone.
Jak uzupełnienie kwadratu odnosi się do wzoru kwadratowego?
Wzór kwadratowy wyprowadza się przez uzupełnienie kwadratu na osi² + bx + c w formie ogólnej. Obie metody dzielą ten sam rdzeń algebraiczny.
Co jeśli współczynnik wiodący nie jest 1?
Najpierw rozłóż a z wyrazów x² i x, uzupełnij kwadrat wewnątrz nawiasów, a następnie rozłóż a z powrotem na kwadrat dwumianu i stałą w razie potrzeby.
Podsumowanie
QuickCalculators przepisuje kwadraty, uzupełniając kwadrat w formę wierzchołkową i może kontynuować do pierwiastków. Połowę b, kwadrat tej połowy i zrównoważenie stałej. Element x² + 6x + 5 staje się (x + 3)² − 4 z wierzchołkiem (−3, −4) i pierwiastkami −1 i −5.
Zawsze dodawaj i odejmuj ten sam kwadrat, aby wartość się nie zmieniała.