QuickCalculators reescribe una cuadrática completando el cuadrado, produciendo la forma canónica (vértice) y raíces opcionales a partir del cuadrado completado. Introduce los coeficientes de ax² + bx + c y lee los pasos de la mitad del coeficiente, el binomio al cuadrado y las coordenadas del vértice.
Completar el cuadrado es un método, no solo una respuesta. El panel de trabajo muestra cada etapa de sumar y restar para que el álgebra se pueda comprobar a mano.
Completar el cuadrado de una cuadrática
Completar el cuadrado convierte ax² + bx + c en una forma a(x − h)² + k (o (x − h)² + k cuando a = 1). QuickCalculators escala a un coeficiente principal de 1 cuando hace falta y luego construye el trinomio cuadrado perfecto a partir del término lineal.
La forma canónica hace legible el vértice (h, k) de un vistazo. La misma reescritura permite resolver aislando el binomio al cuadrado y tomando raíces cuadradas.
Seguir los pasos de completar el cuadrado
Para x² + bx + c con a = 1, toma la mitad de b, eleva esa mitad al cuadrado y suma y resta el cuadrado para que aparezca un trinomio cuadrado perfecto. QuickCalculators muestra la mitad de b, el cuadrado y el reagrupamiento en (x + b/2)² más una constante.
Esquema del ejemplo para x² + 6x + 5: la mitad de 6 es 3, y 3² es 9. Reescribe como x² + 6x + 9 − 9 + 5 = (x + 3)² − 4. Cuando a ≠ 1, factoriza primero a de los términos en x y luego completa el cuadrado dentro.
Hallar el vértice a partir de la forma canónica
En la forma canónica a(x − h)² + k, el vértice es (h, k). Si a > 0 la parábola se abre hacia arriba y (h, k) es un mínimo. Si a < 0 se abre hacia abajo y (h, k) es un máximo. QuickCalculators informa esas coordenadas a partir del cuadrado completado.
Para (x + 3)² − 4, h = −3 y k = −4, así que el vértice es (−3, −4). El cuidado con el signo importa: (x + 3) significa h = −3, no +3.
Resolver la cuadrática completando el cuadrado
Tras completar el cuadrado, aísla el binomio al cuadrado y toma raíces cuadradas en ambos lados. Las dos raíces (cuando existen sobre los reales) vienen del paso ±. QuickCalculators puede continuar desde la forma canónica hasta esas soluciones.
Desde (x + 3)² − 4 = 0, mueve la constante: (x + 3)² = 4, así que x + 3 = ±2, de ahí x = −1 o x = −5.
Comprobar en la cuadrática original confirma ambas raíces.
Completar el cuadrado de x² + 6x + 5
El ejemplo de referencia completa el cuadrado de x² + 6x + 5 en QuickCalculators.
- La mitad de 6 es 3; elevar al cuadrado da 9.
- Escribe x² + 6x + 9 − 9 + 5.
- Reagrupa como (x + 3)² − 4.
- Lee el vértice (−3, −4). Resolver (x + 3)² = 4 da x = −1 y x = −5.
Evitar este error habitual
Un error frecuente es olvidar equilibrar la constante al sumar (b/2)², lo que cambia el valor de la expresión. Completar el cuadrado suma y resta el mismo cuadrado, o distribuye con cuidado cuando a ≠ 1. Omitir la resta compensatoria inventa una cuadrática distinta. QuickCalculators mantiene visibles tanto el cuadrado sumado como el restado.
Preguntas frecuentes
¿Qué significa completar el cuadrado?
Completar el cuadrado reescribe una cuadrática para que aparezca un binomio cuadrado perfecto, produciendo normalmente la forma canónica a(x − h)² + k.
¿Cómo se completa el cuadrado de x² + 6x + 5?
La mitad de 6 es 3, y 3² es 9, así que la forma pasa a ser (x + 3)² − 4. Introducir esos coeficientes devuelve ese resultado de referencia.
¿Cómo se halla el vértice tras completar el cuadrado?
Lee (h, k) a partir de a(x − h)² + k. Para (x + 3)² − 4, el vértice es (−3, −4).
¿Puede completar el cuadrado resolver cualquier cuadrática?
Completar el cuadrado resuelve cualquier cuadrática con raíces reales o complejas. Los pasos de raíz cuadrada real requieren un lado derecho no negativo tras aislar el cuadrado; en caso contrario las raíces son complejas.
¿Cómo se relaciona completar el cuadrado con la fórmula cuadrática?
La fórmula cuadrática se obtiene completando el cuadrado de ax² + bx + c en forma general. Ambos métodos comparten el mismo núcleo algebraico.
¿Qué pasa si el coeficiente principal no es 1?
Factoriza primero a de los términos x² y x, completa el cuadrado dentro de los paréntesis y luego redistribuye a a través del binomio al cuadrado y la constante según haga falta.
Resumen
QuickCalculators reescribe cuadráticas completando el cuadrado en forma canónica y puede continuar hasta las raíces. Toma la mitad de b, eleva esa mitad al cuadrado y equilibra la constante. El ejemplo x² + 6x + 5 se convierte en (x + 3)² − 4 con vértice (−3, −4) y raíces −1 y −5.
Siempre suma y resta el mismo cuadrado para que el valor no cambie.