QuickCalculators resuelve una ecuación cúbica ax³ + bx² + cx + d = 0 para sus raíces e informa cuántas raíces reales implica el patrón del discriminante. Introduce los cuatro coeficientes y lee las raíces con una comprobación de Vieta sobre sumas y productos cuando se muestra la verificación.
Una cúbica siempre tiene tres raíces contando multiplicidad en los números complejos. Esta página enfatiza las raíces reales que el alumnado suele necesitar y señala las parejas complejas cuando aparecen.
Resolver una ecuación cúbica
Resolver una cúbica significa hallar todos los valores de x que hacen ax³ + bx² + cx + d igual a cero, con a ≠ 0. QuickCalculators usa un camino estable de resolución cúbica y presenta las raíces con multiplicidades cuando hay raíces repetidas. Las reducciones a cúbica deprimida y los pasos estilo Cardano pueden aparecer en el panel de trabajo en versiones didácticas; las raíces numéricas siguen siendo la salida principal.
Mantén siempre a distinto de cero.
Hallar las raíces de una cúbica
Una cúbica tiene o bien tres raíces reales (contando multiplicidad) o una raíz real y dos raíces conjugadas complejas cuando los coeficientes son reales. QuickCalculators enumera cada raíz y etiqueta con claridad los casos reales frente a los complejos.
El ejemplo de referencia x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 se factoriza como (x − 1)(x − 2)(x − 3) = 0, así que las raíces son 1, 2 y 3.
Las raíces múltiples comparten el mismo valor con multiplicidad mayor que uno.
Entender el discriminante de una cúbica
El discriminante cúbico distingue tres raíces reales distintas, una raíz real múltiple, o una raíz real con un par conjugado complejo. QuickCalculators puede resumir ese caso sin exigir que el estudiante expanda a mano el polinomio discriminante completo. Un discriminante positivo para la cúbica habitual de coeficientes reales corresponde a tres raíces reales distintas.
Un discriminante cero señala al menos una raíz repetida. Un discriminante negativo señala una raíz real y dos conjugadas complejas. La redacción exacta de umbrales sigue la definición de discriminante del motor en la página.
Comprobar las raíces con las fórmulas de Vieta
Las fórmulas de Vieta relacionan las sumas simétricas elementales de las raíces con los coeficientes. Para ax³ + bx² + cx + d = 0, la suma de las raíces es igual a −b/a, y el producto de las raíces es igual a −d/a (con convenciones de signo que coinciden con la forma mónica). QuickCalculators puede mostrar esas comprobaciones tras listar las raíces.
Para las raíces 1, 2 y 3 de x³ − 6x² + 11x − 6, la suma es 6 = −(−6)/1 y el producto es 6 = −(−6)/1. Las comprobaciones de Vieta fallidas significan un error en el listado de raíces.
Resolver x³ − 6x² + 11x − 6 = 0
El ejemplo de referencia resuelve x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 en QuickCalculators.
- Introduce a = 1, b = −6, c = 11, d = −6.
- Obtén las raíces 1, 2 y 3.
- Verifica: (1)(2)(3) = 6 y 1 + 2 + 3 = 6 coinciden con Vieta para esta cúbica mónica.
- Expande (x − 1)(x − 2)(x − 3) para recuperar el polinomio original.
Evitar este error habitual
Una creencia común es que toda cúbica tiene tres raíces reales distintas. Con coeficientes reales, una cúbica puede tener solo una raíz real mientras las otras dos son conjugadas complejas. Gráficamente eso significa una sola intersección real con el eje x. QuickCalculators plantea la división real-complejo para que no se asuman tres listados reales.
Preguntas frecuentes
¿Qué es una ecuación cúbica?
Una ecuación cúbica es una ecuación polinómica de grado 3, típicamente escrita ax³ + bx² + cx + d = 0 con a ≠ 0.
¿Cuáles son las raíces de x³ − 6x² + 11x − 6 = 0?
Las raíces son 1, 2 y 3. Introducir esos coeficientes devuelve ese resultado de referencia.
¿Cuántas raíces tiene una cúbica?
Una cúbica tiene tres raíces contando raíces complejas y multiplicidad. El número de raíces reales distintas puede ser uno o tres (contando una triple o doble como reales repetidas).
¿Cuál es la fórmula de Vieta para una cúbica?
Para ax³ + bx² + cx + d = 0, la suma de las raíces es −b/a y el producto de las raíces es −d/a bajo las convenciones con signo estándar para esa forma.
¿Puede una cúbica tener raíces repetidas?
Sí. Una raíz repetida tiene multiplicidad mayor que uno y hace cero el discriminante. La gráfica es tangente al eje x en esa raíz.
¿Cómo se comprueban las raíces cúbicas?
Sustituye cada raíz en el polinomio, o usa las comprobaciones de suma y producto de Vieta frente a los coeficientes.
Resumen
QuickCalculators resuelve ax³ + bx² + cx + d = 0 e informa raíces reales y complejas con comprobaciones de Vieta. El ejemplo x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 tiene raíces 1, 2 y 3. No toda cúbica real muestra tres raíces reales distintas; una raíz real con un par conjugado es habitual.
Mantén a ≠ 0 y verifica con sustitución o Vieta.