QuickCalculators は、3次方程式 ax³ + bx² + cx + d = 0 をその根について解き、判別パターンが意味する実根の数を報告します。 4 つの係数を入力し、検証が表示されたら、和と積の Vieta チェックを使用して根を読み取ります。
三次関数には、複素数の多重度を計算する 3 つの根が常にあります。このページでは、学生が通常必要とする本当のルーツを強調し、複雑なパートナーが出現した場合に注意します。
3次方程式を解く
3次関数を解くということは、 a ≠ 0 で ax³ + bx² + cx + d がゼロになるすべての x の値を見つけることを意味します。 QuickCalculators は安定した 3 次ソルバー パスを使用し、根が繰り返される場合に多重度で根を表示します。ディプレスト キュービック リダクションと Cardano スタイルのステップが、ティーチング ビルドの作業パネルに表示される場合があります。数値の根は主な出力のままです。
常にゼロ以外の値を維持してください。
立方体の根を求める
三次関数は、係数が実数の場合、3 つの実根 (多重度を数えます) または 1 つの実根と 2 つの複素共役根を持ちます。 QuickCalculators は各ルートをリストし、実際のケースと複雑なケースを明確にラベル付けします。
フィクスチャの例 x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 は (x − 1)(x − 2)(x − 3) = 0 として因数分解されるため、根は次のようになります。 1、2、3。
複数のルートは、多重度が 1 より大きい同じ値を共有します。
3 次の判別式を理解する
3 次判別式は、3 つの異なる実根、複数の実根、または複素共役ペアを持つ 1 つの実根を区別します。 QuickCalculators は、生徒が完全な判別多項式を手動で展開する必要なく、そのケースを要約できます。通常の実数係数 3 次の正の判別式は、3 つの異なる実根に対応します。
ゼロ判別式は、少なくとも 1 つの反復ルートを示します。負の判別式は、1 つの実根と 2 つの複素共役を示します。正確なしきい値の文言は、ページ上のエンジンの判別定義に従います。
Vieta の公式でルーツを確認する
Vieta の公式は、根の基本的な対称和を係数に関連付けます。 ax³ + bx² + cx + d = 0 の場合、根の合計は −b/a に等しく、根の積は −d/a に等しくなります (モニック形式に一致する符号規則を使用)。 QuickCalculators はルートをリストした後にそれらのチェックを表示できます。
x³ − 6x² + 11x − 6 の根 1、2、および 3 の場合、合計は 6 = −(−6)/1 となります。積は6 = −(−6)/1です。 Vieta チェックの失敗は、ルート リスト エラーを意味します。
x3 − 6x² + 11x − 6 = 0 を解きます。
このフィクスチャは、QuickCalculators で x3 − 6x² + 11x − 6 = 0 を解きます。
1。 a = 1、b = −6、c = 11、d = −6と入力します。 2。ルート 1、2、および 3 を取得します。 3。検証: (1)(2)(3) = 6 および 1 + 2 + 3 = 6 がこのモニック キュービックの Vieta と一致します。 4。 (x − 1)(x − 2)(x − 3) を展開して、元の多項式を復元します。
このよくある誤解を避けてください
一般に信じられているのは、すべての立方体には 3 つの異なる実根があるということです。実係数の場合、3次関数は実根を 1 つだけ持つことができ、他の 2 つは複素共役になります。グラフ的には、これは 1 つの実際の x 切片を意味します。 QuickCalculators は実数と複素数の分割を示しているため、3 つの実数リストは想定されていません。
よくある質問
3次方程式とは何ですか?
3 次方程式は次数 3 の多項方程式であり、通常は ax³ + bx² + cx + d = 0 と ≠ 0 で書かれます。
x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 の根は何ですか?
ルートは1、2、3です。これらの係数を入力すると、そのフィクスチャが返されます。
立方体には根が何本ありますか?
立方体には、複素根と多重度を数える 3 つの根があります。個別の実根の数は 1 または 3 です (3 倍または 2 倍を反復実数として数えます)。
ビエタの立方体の公式は何ですか?
ax³ + bx² + cx + d = 0 の場合、その形式の標準符号付き規則では、ルートの合計は −b/a で、ルートの積は −d/a です。
立方体は繰り返しルートを持つことができますか?
はい。根が繰り返されると多重度が 1 より大きくなり、判別式が 0 になります。グラフはその根元で x 軸に接しています。
立方根はどうやって調べるのですか？
各根を多項式に代入するか、係数に対して Vieta の合計と積のチェックを使用します。
まとめ
QuickCalculators は ax³ + bx² + cx + d = 0 を解き、Vieta チェックを使用して実根と複素根を報告します。フィクスチャ x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 には、ルート 1、2、3 があります。すべての実三次関数が 3 つの異なる実根を示すわけではありません。共役ペアを持つ 1 つの実根が一般的です。
≠ 0 を保持し、置換または Vieta で検証します。