QuickCalculators löser en kubisk ekvation ax³ + bx² + cx + d = 0 för dess rötter och rapporterar hur många reella rötter diskriminantmönstret innebär. Ange de fyra koefficienterna och läs sedan rötterna med en Vieta-kontroll av summor och produkter när verifiering visas.
En kubisk har alltid tre rötter räknat med multiplicitet i de komplexa talen. Den här sidan betonar de reella rötter elever vanligtvis behöver och noterar komplexa partners när de syns.
Lös en kubisk ekvation
Att lösa en kubisk betyder att hitta alla x-värden som gör ax³ + bx² + cx + d lika med noll, med a ≠ 0. QuickCalculators använder en stabil kubisk lösningsväg och presenterar rötter med multipliciteter när upprepade rötter förekommer. Depresserade-kubiska reduktioner och Cardano-stil-steg kan synas i arbetsrutan för undervisningsbyggen; de numeriska rötterna förblir den primära utdata.
Håll alltid a nollskilt.
Hitta rötterna till en kubisk
En kubisk har antingen tre reella rötter (räknat med multiplicitet) eller en reell rot och två komplexa konjugerade rötter när koefficienterna är reella. QuickCalculators listar varje rot och märker reella kontra komplexa fall tydligt.
Exempelfixtur x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 faktoriseras som (x − 1)(x − 2)(x − 3) = 0, så rötterna är 1, 2 och 3.
Multipla rötter delar samma värde med multiplicitet större än ett.
Förstå diskriminanten för en kubisk
Den kubiska diskriminanten skiljer tre distinkta reella rötter, en multipel reell rot, eller en reell rot med ett komplext konjugerat par. QuickCalculators kan sammanfatta det fallet utan att kräva att eleven expanderar det fulla diskriminantpolynomet för hand. En positiv diskriminant för den vanliga reellkoefficientkubiska motsvarar tre distinkta reella rötter.
En noll diskriminant signalerar minst en upprepad rot. En negativ diskriminant signalerar en reell rot och två komplexa konjugat. Exakt tröskelformulering följer motorns diskriminantdefinition på sidan.
Kontrollera rötterna med Vietas formler
Vietas formler relaterar elementära symmetriska summor av rötterna till koefficienterna. För ax³ + bx² + cx + d = 0 är summan av rötter lika med −b/a, och produkten av rötter lika med −d/a (med teckenkonventioner som matchar den moniska formen). QuickCalculators kan visa de kontrollerna efter att ha listat rötter.
För rötterna 1, 2 och 3 av x³ − 6x² + 11x − 6 är summan 6 = −(−6)/1 och produkten 6 = −(−6)/1. Misslyckade Vieta-kontroller betyder ett listningsfel för rötter.
Lös x³ − 6x² + 11x − 6 = 0
Fixturen löser x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 på QuickCalculators.
- Ange a = 1, b = −6, c = 11, d = −6.
- Erhåll rötterna 1, 2 och 3.
- Verifiera: (1)(2)(3) = 6 och 1 + 2 + 3 = 6 matchar Vieta för denna moniska kubiska.
- Expandera (x − 1)(x − 2)(x − 3) för att återfå det ursprungliga polynomet.
Undvik den här vanliga missuppfattningen
En vanlig tro är att varje kubisk har tre distinkta reella rötter. Med reella koefficienter kan en kubisk ha bara en reell rot medan de andra två är komplexa konjugat. Grafiskt betyder det en reell x-skärning. QuickCalculators anger den reella-kontra-komplexa-uppdelningen så att tre reella listningar inte antas.
Vanliga frågor
Vad är en kubisk ekvation?
En kubisk ekvation är en polynomekvation av grad 3, typiskt skriven ax³ + bx² + cx + d = 0 med a ≠ 0.
Vad är rötterna till x³ − 6x² + 11x − 6 = 0?
Rötterna är 1, 2 och 3. Att ange de koefficienterna returnerar den fixturen.
Hur många rötter har en kubisk?
En kubisk har tre rötter räknat med komplexa rötter och multiplicitet. Antalet distinkta reella rötter kan vara ett eller tre (räknat en trippel eller dubbel som upprepade reella).
Vad är Vietas formel för en kubisk?
För ax³ + bx² + cx + d = 0 är summan av rötterna −b/a och produkten av rötterna −d/a under standardtecknade konventioner för den formen.
Kan en kubisk ha upprepade rötter?
Ja. En upprepad rot har multiplicitet större än ett och gör diskriminanten noll. Grafen är tangent till x-axeln vid den roten.
Hur kontrollerar man kubiska rötter?
Sätt in varje rot i polynomet, eller använd Vieta summa- och produktkontroller mot koefficienterna.
Sammanfattning
QuickCalculators löser ax³ + bx² + cx + d = 0 och rapporterar reella och komplexa rötter med Vieta-kontroller. Fixturen x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 har rötterna 1, 2 och 3. Inte varje reell kubisk visar tre distinkta reella rötter; en reell rot med ett konjugerat par är vanligt.
Håll a ≠ 0 och verifiera med substitution eller Vieta.