QuickCalculators löser ax i kvadrat plus bx plus c lika med noll med kvadratformeln, märker diskriminantfallet och skriver exakta rötter när radikaler förenklas. Ange koefficienterna a, b och c, läs sedan de två rötterna, diskriminantvärdet och den komplexa eller upprepade formen när det fallet gäller.
Lös en andragradsekvation med kvadratformeln
En andragradsekvation är ett polynom av grad två satt lika med noll. kvadratformeln returnerar rötterna för vilket a som helst skilt från noll genom att kombinera koefficienterna i ett uttryck under en kvadratrot. QuickCalculators sätter in de angivna a, b och c, rapporterar sedan rötterna i decimal- och exakt form när radikalen förenklas rent.
Formeln gäller oavsett om parabeln skär x-axeln två gånger, en gång eller inte alls bland de reella. Komplexa konjugerade rötter syns när diskriminanten är negativ. En upprepad rot syns när diskriminanten är noll. Arbetspanelen visar varje insatt värde så att aritmetiken förblir kontrollerbar.
Tillämpa kvadratformeln
kvadratformeln är x lika med minus b plus eller minus kvadratroten av b i kvadrat minus 4ac, allt över 2a. Termen minus b sitter i täljaren med plus-eller-minus-kvadratroten, och hela bråket divideras med två gånger a. QuickCalculators utvärderar diskriminanten först, delar sedan i plusgrenen och minusgrenen.
Räkneregler spelar roll: kvadrera b, multiplicera 4ac, subtrahera, ta kvadratroten av det resultatet, kombinera sedan med minus b innan division med 2a. Att hoppa över den absoluta grupperingen runt täljaren ger fel tecken. Kalkylatorn håller de stegen i följd i visa-arbete-listan.
Läs diskriminanten
Diskriminanten är b i kvadrat minus 4ac. En positiv diskriminant ger två distinkta reella rötter. En noll-diskriminant ger en upprepad reell rot. En negativ diskriminant ger ett konjugerat par av komplexa rötter skrivna med den imaginära enheten. QuickCalculators skriver ut diskriminantvärdet och namnger det fallet bredvid rötterna.
För a lika med 1, b lika med minus 5 och c lika med 6 är diskriminanten 25 minus 24, eller 1, så två reella rötter finns. För a lika med 1, b lika med 2 och c lika med 5 är diskriminanten 4 minus 20, eller minus 16, så rötterna är komplexa. Den fallmärkningen förhindrar att en negativ kvadratrot behandlas som ett tomt resultat.
Hantera reella och komplexa rötter
Reella rötter inkluderar förenklade radikaler som 1 plus eller minus kvadratroten av 3 från x i kvadrat minus 2x minus 2 lika med 0. Komplexa rötter använder den imaginära enheten, som i minus 1 plus eller minus 2i från x i kvadrat plus 2x plus 5 lika med 0. QuickCalculators skriver konjugerade par så att båda medlemmarna syns.
Upprepade rötter listar samma reella värde två gånger, i linje med dubbelroten av ett perfekt kvadratiskt trinom. Exakta radikalformer föredras när diskriminanten faktoriseras till en perfekt kvadrat gånger en kvadratfri del. Decimalapproximationer sitter bredvid de exakta strängarna för grafning eller kalkylatorkontroller.
Lös x i kvadrat minus 5x plus 6 lika med 0
Det genomarbetade fallet använder a lika med 1, b lika med minus 5 och c lika med 6. Diskriminanten är 1. Rötterna är 2 och 3, som faktoriseras som (x minus 2)(x minus 3) lika med noll och matchar motorfixturen på QuickCalculators.
- Beräkna diskriminanten: 25 minus 24 lika med 1.
- Tillämpa plus eller minus: (5 plus 1) / 2 lika med 3, och (5 minus 1) / 2 lika med 2.
- Rapportera rötterna x lika med 2 och x lika med 3.
Det paret är referenslösningen för den här sidan.
Jämför formeln med att komplettera till kvadrat
Att komplettera till kvadrat skriver om samma andragradsekvation genom att addera och subtrahera en konstant så att en perfekt kvadrat syns, ta sedan kvadratrötter. kvadratformeln packar de algebrastegen i ett enda plug-in-uttryck. Båda metoderna returnerar samma rötter för samma koefficienter.
QuickCalculators fokuserar på formelvägen på den här sidan. Att komplettera till kvadrat förblir en syskonmetod för samma problemtyp och syns i undervisningsanteckningar utan att kräva en separat live-länk här. Använd den metod uppdraget namnger; de numeriska rötterna ska stämma.
Undvik denna vanliga missuppfattning
Missuppfattningen "dividera bara med 2, inte med 2a" tar bort koefficienten a från nämnaren. När a inte är 1 förskjuter den genvägen båda rötterna. Dividera alltid med två gånger a efter att täljaren kombinerats. Arbetspanelen visar 2a uttryckligen så att det felet är svårare att missa.
Vanliga frågor
Vad är kvadratformeln?
kvadratformeln är x lika med minus b plus eller minus kvadratroten av b i kvadrat minus 4ac, allt över 2a. Den löser ax i kvadrat plus bx plus c lika med noll för a skilt från noll. QuickCalculators utvärderar det uttrycket för de angivna koefficienterna.
Hur löser man en andragradsekvation med kvadratformeln?
För att lösa med kvadratformeln, identifiera a, b och c, beräkna diskriminanten, utvärdera sedan både plus- och minusgrenarna över 2a. Kalkylatorn utför de substitutionerna och listar stegen. Ange de tre koefficienterna i formulärfälten för att köra samma väg.
Vad säger diskriminanten dig?
Diskriminanten säger om rötterna är två reella tal, ett upprepat reellt tal eller ett komplext konjugerat par. Positiva, noll och negativa värden mappar till de tre fallen i ordning. Resultatpanelen namnger fallet bredvid diskriminantvärdet.
Vilka är rötterna till x i kvadrat minus 5x plus 6 lika med 0?
Rötterna till x i kvadrat minus 5x plus 6 lika med 0 är 2 och 3. Diskriminanten är 1, och båda grenarna över 2a landar på de heltalen. Att ange a lika med 1, b lika med minus 5 och c lika med 6 returnerar samma par.
Kan kvadratformeln ge komplexa rötter?
kvadratformeln kan ge komplexa rötter när diskriminanten är negativ. Kvadratroten av ett negativt tal skrivs med den imaginära enheten, och rötterna bildar ett konjugerat par som minus 1 plus eller minus 2i. QuickCalculators skriver den a plus eller minus bi-formen för det komplexa fallet.
När finns det bara en lösning?
Det finns bara en distinkt reell lösning när diskriminanten är noll. Den upprepade roten uppfyller fortfarande ekvationen två gånger i algebraisk mening. Kalkylatorn märker fallet med upprepad rot och visar det enda reella värdet.
Varför måste a vara skilt från noll?
Koefficienten a måste vara skild från noll eftersom en noll-ledande term skulle göra ekvationen linjär, inte andragrad, och formeln dividerar med 2a. Att ange a lika med 0 returnerar ett fel i stället för en falsk andragradslösning. Använd en linjär lösningsväg när graden sjunker.
Sammanfattning
QuickCalculators löser ax i kvadrat plus bx plus c lika med noll med kvadratformeln och rapporterar diskriminantfall för reella, upprepade och komplexa rötter. Exakta former inkluderar 1 plus eller minus kvadratroten av 3, och minus 1 plus eller minus 2 gånger den imaginära enheten.
Fixturen x i kvadrat minus 5x plus 6 lika med 0 ger rötterna 2 och 3. Dividera alltid med 2a, och behandla en noll-ledande koefficient som ogiltig för denna formel.