Metabeskrivning (156): Ange valfritt tre: förskjutning, starthastighet, sluthastighet, acceleration och tid. Kinematikkalkylatorn väljer rätt ekvation och visar varför den gäller.
Kinematikräknaren löser rörelseproblem under konstant acceleration med hjälp av de fyra kinematiska ekvationerna. Ange tre av de fem variablerna: förskjutning, starthastighet, sluthastighet, acceleration och tid, och räknaren hittar de återstående två, tillstånd i vilken ekvation den använde, och förklarar varför den ekvationen passade.
Den sista delen är poängen. Att välja rätt ekvation är den färdighet som lärs ut i varje introduktionskurs i mekanik, och en kalkylator som returnerar ett tal utan att namnge ekvationen lär ingenting.
Lös vilket kinematikproblem som helst från tre kända värden
Rörelse med konstant acceleration beskrivs av fem storheter, och att känna till tre av dem fixar de andra två. Det är hela ämnets struktur, och det är därför varje läroboksproblem ger dig exakt tre tal.
| Symbol | Kvantitet | SI-enhet |
|---|---|---|
| s | Deplacement | meter (m) |
| u | Initial hastighet | meter per sekund (m/s) |
| v | Sluthastighet | meter per sekund (m/s) |
| a | Acceleration | meter per sekund i kvadrat (m/s²) |
| t | Tid | sekunder (s) |
Fyll i de tre du kan och lämna de andra tomma. Kalkylatorn löser för båda okända, ibland i ett steg och ibland i två, och visar varje steg med den ekvation den använde.
Varje fält har sin egen enhetsväljare, så ett problem angivet i kilometer per timme med tid i sekunder behöver ingen manuell omvandling. Vetenskaplig notation fungerar i formen 3.45e9.
Om du matar in fler än tre värden löser kalkylatorn från tre och kontrollerar resten mot resultatet. När de är oense säger den det, vilket oftast betyder ett stavfel snarare än ett fysikfel.
Välj rätt kinematisk ekvation
Fyra ekvationer beskriver konstant accelerationsrörelse, och varje ekvation utelämnar exakt en av de fem variablerna. Den enda observationen är hela urvalsregeln.
| Ekvation | Utelämnar | Använd när du inte har |
|---|---|---|
| v = u + at | s | Deplacement |
| s = ut + ½at² | v | Sluthastighet |
| s = ½(u + v)t | a | Acceleration |
| v² = u² + 2as | t | Tid |
Så metoden är: identifiera variabeln du varken känner till eller behöver, och använd ekvationen som utelämnar den.
Givet starthastighet, acceleration och tid har du ingen förskjutning, så v = u + at gäller. Givet initial hastighet, acceleration och förskjutning utan tillgänglig tid gäller v² = u² + 2as. Ekvationen är inget val, den följer av det som står på sidan framför dig.
Kalkylatorn anger denna motivering för varje uppgift du matar in, i panelen ovanför inmatningarna. Läs igenom den några gånger och regeln blir automatisk, vilket är snabbare än att ta fram en miniräknare alls.
Använd de fyra kinematiska ekvationerna
Varje ekvation löser för vilken variabel som helst den innehåller, och omarrangemangen är värda att ha till hands. v = u + at `` v = u + at u = v − at a = (v − u)/t t = (v − u)/a ``
s = ut + 1/2at² `` s = ut + ½at² u = (s − ½at²)/t a = 2(s − ut)/t² ``
Att lösa denna för t kräver den kvadratiska formeln, eftersom t visas kvadratiskt: `` t = [−u ± √(u² + 2as)] / a ``
Två rötter kommer ur det, och båda kan vara fysiskt verkliga. En boll som kastas uppåt passerar en given höjd två gånger, en gång uppåt, en gång nedåt, så två positiva gånger är rätt svar, inte ett fel. Kalkylatorn rapporterar båda och säger vilken som är vilken. Negativa rötter kastas bort, med en anteckning som förklarar varför.
s = 1/2(u + v)t `` s = ½(u + v)t u = 2s/t − v v = 2s/t − u t = 2s/(u + v) ``
v² = u² + 2as `` v = √(u² + 2as) u = √(v² − 2as) a = (v² − u²)/(2s) s = (v² − u²)/(2a) ``
När mängden under kvadratroten blir negativ når objektet aldrig den förskjutningen. En boll som kastas upp vid 10 m/s kan inte nå 20 m, och räknaren säger det istället för att returnera ett imaginärt tal.
Lös för sluthastigheten givet u, a och t
En bil kör iväg vid 5 m/s och accelererar vid 2 m/s² i 3 sekunder. Dess sluthastighet är 11 m/s. 1. Lista vad som är känt. u = 5 m/s, a = 2 m/s², t = 3 s. Förskjutning ges eller efterfrågas.
2. Välj ekvationen. Ingen förskjutning, så ekvationen som utelämnar s gäller: v = u + at.
3. Ersättare. v = 5 + (2 × 3)
4. Lös. v = 5 + 6 = 11 m/s
Kalkylatorn returnerar också den femte variabeln. Med u, a, t och nu v alla kända, följer förskjutningen från s = ½(u + v)t:
s = 1/2(5 + 11) × 3 = 1/2 × 16 × 3 = 24 m
Så bilen täcker 24 meter samtidigt som den når 11 m/s. Båda okända lösta, två ekvationer, och den andra använde svaret från den första.
Lös ett tvåstegsproblem
Många problem kräver två ekvationer i följd, och det är här handberäkningen går fel, folk väljer en ekvation, upptäcker att de saknar ett värde och börjar om istället för att lösa det först. En cyklist bromsar från 27 m/s till 9 m/s vid −2 m/s².
Hur långt reser de, och hur lång tid tar det?
Steg 1: hitta tid. Känd: u = 27, v = 9, a = −2. Ingen förskjutning, så använd v = u + at omarrangerad för t:
t = (v − u)/a = (9 − 27)/(−2) = (−18)/(−2) = 9 s
Steg 2: hitta förskjutning. Nu är u, v, a och t alla kända. Använd s = ½(u + v)t:
s = 1/2(27 + 9) × 9 = 1/2 × 36 × 9 = 162 m
Observera att de två negativa avfärdarna i steg 1. En negativ acceleration med avtagande hastighet ger en positiv tid, som den måste. Om en tid blir negativ har ett tecken gått fel någonstans i uppställningen.
Kalkylatorn kedjar automatiskt dessa steg och visar båda, så ett två-ekvationsproblem kräver inte mer inmatning än ett en-ekvation-problem.
Läs rörelsegraferna
Tre grafer beskriver samma rörelse, och varje grafs form följer av ekvationerna. Kalkylatorn hämtar alla tre från dina lösta värden. Förskjutning mot tiden. Vid konstant acceleration är detta en parabel, eftersom s beror på t². Dess gradient vid varje punkt är hastigheten vid det ögonblicket, brantsare innebär att kurvan ökar hastigheten.
Hastighet mot tiden. En rak linje, eftersom v = u + at är linjär i t. Dess gradient är accelerationen, och dess vertikala skärningspunkt är starthastigheten.
Acceleration mot tiden. En horisontell linje, eftersom accelerationen är konstant. Det är antagandet som hela ämnet vilar på.
Relationen värd att känna till: arean under hastighets-tidsgrafen är lika med förskjutningen. För konstant acceleration är den arean en trapets med parallella sidor u och v och bredd t, och dess area är ½(u + v)t, vilket är en av de fyra ekvationerna. Grafen och ekvationen är samma påstående.
Kalkylatorn skuggar det området på hastighets-tidsdiagrammet. Det är en standardfråga och lättare att se en gång än att memorera.
Förstå jämnt accelererad rörelse
Dessa fyra ekvationer gäller endast när accelerationen är konstant. Det är vad "jämnt accelererad" betyder, och det är en verklig begränsning snarare än en teknikalitet.
Konstant acceleration täcker en stor del av introduktionsproblem: ett objekt i fritt fall nära jordytans yta där luftmotståndet försummas, ett fordon som bromsar i en jämn takt, en puck som glider på is med konstant friktion.
I varje fall förändras inte kraften som ger accelerationen under rörelsen.
Den täcker inte rörelse där accelerationen varierar. En bil vars förare släpper gasen, en fjäderdriven svängning där kraften beror på förskjutningen, ett fallande föremål där luftmotståndet ökar med hastigheten, inget av detta kan lösas med SUVAT. De kräver analys, eller så måste problemet delas upp i segment där accelerationen är ungefär konstant.
En användbar kontroll: om problemet beskriver en kraft som förändras under rörelsen gäller inte de fyra ekvationerna. Om kraften är stabil, gör de det.
Använd standardgravitation för fritt fall
Fritt fall-problem sätter accelerationen till g, accelerationen på grund av jordens gravitation, som definieras som exakt 9.80665 m/s². De flesta läroböcker är ungefär 9.81 eller 9.8, och någon av de tre är okej för kursarbete så länge du är konsekvent.
Tecknet beror på din konvention. Att ta upp som positiv ger g negativ vid −9.80665 m/s²; att ta ner som positiv gör det positivt. Båda fungerar. Det viktiga är att varje storhet i problemet använder samma konvention, och att du anger vilken du valde.
Ett föremål som faller från vila faller med dig = 0. Efter 3 sekunder, noteras som positivt:
s = ut + 1/2at² = 0 + 1/2 × 9.80665 × 3² = 1/2 × 9.80665 × 9 = 44.13 m
Två saker detta ignorerar. Luftmotstånd, som är viktigt för allt lätt eller snabbt, en fjäder och en hammare faller ihop bara i vakuum, och en fallskärmshoppare når terminalhastighet just för att luftmotståndet ökar tills vikten balanseras. Och lokal variation i g, som varierar från ungefär 9.764 till 9.834 m/s² över jordens yta med latitud och höjd. Inget av det spelar någon roll för ett läroboksproblem; båda är viktiga för verklig mätning.
Vanliga frågor
Vad är SUVAT:s ekvationer?
SUVAT är en minnesregel för de fem variablerna i konstant accelerationsrörelse: förskjutning (s), starthastighet (u), sluthastighet (v), acceleration (a) och tid (t). Fyra ekvationer länkar dem, var och en utelämnar en variabel. Att känna till tre låter dig hitta de andra två, vilket är anledningen till att varje läroboksproblem ger exakt tre.
Vilken kinematisk ekvation ska jag använda?
Identifiera variabeln du varken känner till eller behöver, använd sedan ekvationen som utelämnar den. Utan förskjutning, använd v = u + at. Utan sluthastighet, använd s = ut + ½at². Utan acceleration, använd s = ½(u + v)t. Utan tid, använd v² = u² + 2as. Kinematikräknaren namnger ekvationen och orsaken till varje problem som matas in.
Vad är enhetligt accelererad rörelse?
Jämnt accelererad rörelse är rörelse där accelerationen är konstant under hela perioden. Fritt fall med försummat luftmotstånd, stadig bromsning och konstant kraftrörelse kvalificerar alla. Rörelse där kraften ändras under intervallet, en fjäder som oscillerar, ett objekt som når terminalhastighet, gör det inte, och de fyra kinematiska ekvationerna kan inte tillämpas på det.
Fungerar de kinematiska ekvationerna för fritt fall?
Ja. Fritt fall nära jordens yta har en konstant acceleration på 9.80665 m/s², så alla fyra ekvationerna gäller med a satt till g. Välj en teckenkonvention och håll den: att ta upp som positiv gör g negativt. Ekvationerna bortser från luftmotstånd, så de är korrekta för täta kompakta objekt över korta fall och inexakta för lätta eller snabba.
Varför behöver jag tre värden för att lösa ett problem?
De fyra ekvationerna innehåller var och en fyra av de fem variablerna, så varje enskild ekvation behöver tre kända för att lösa sin fjärde. Med tre kända variabler kan kalkylatorn alltid hitta en till, och med fyra kan den hitta den femte. Två värden lämnar mer än ett okänt i varje ekvation och systemet har ingen unik lösning.
Kan acceleration vara negativ?
Ja, och det betyder oftast inbromsning. Acceleration är en vektor, så dess tecken registrerar riktning i förhållande till din valda positiva axel. Ett objekt som saktar ner medan det rör sig i positiv riktning har negativ acceleration. Ett objekt som ökar farten i negativ riktning har också negativ acceleration. Tecknet beskriver riktningen, inte om något ökar hastigheten.
Vad händer om objektet ändrar riktning?
Ekvationerna hanterar det korrekt så länge accelerationen förblir konstant och tecknen är konsekventa. En boll som kastas uppåt har positiv hastighet, sedan noll upptill, och sedan negativ på vägen ner, med g negativ genom hela vägen. Dess förskjutning när den fångas är noll, medan den tillryggalagda sträckan är dubbelt så hög som toppen, vilket är anledningen till att de två storheterna inte är utbytbara.
Tar dessa ekvationer hänsyn till luftmotståndet?
Nej. De kinematiska ekvationerna förutsätter konstant acceleration, och luftmotståndet ökar med hastigheten, så ett objekt som upplever det accelererar inte jämnt. Resultaten är korrekta för täta kompakta objekt över korta avstånd och alltmer felaktiga för lätta objekt, höga hastigheter eller långa fall. En fallskärmshoppare som når terminalhastighet är det tydligaste fallet där de misslyckas helt.
Varför ger det ibland två svar att lösa för tid?
Eftersom s = ut + ½at² är kvadratisk i t, och en projektil passerar en given höjd två gånger, en gång stigande, en gång fallande. Båda positiva rötter är fysiskt verkliga och kalkylatorn rapporterar båda, och märker vilket motsvarar uppåtgående passage. Negativa rötter beskriver tiderna innan rörelsen började och kastas bort.
Sammanfattning
Kinematikkalkylatorn löser konstant acceleration från alla tre av förskjutning, starthastighet, sluthastighet, acceleration och tid, och returnerar de återstående två tillsammans med ekvationen den använde och anledningen till att ekvationen gäller.
Fyra ekvationer beskriver denna rörelse och varje utelämnar exakt en variabel, så urvalsregeln är helt enkelt att använda ekvationen som utelämnar den kvantitet du varken känner till eller behöver.
Problem som kräver två ekvationer kedjas automatiskt samman. Ekvationerna gäller endast när accelerationen är konstant, vilket täcker fritt fall med försummat luftmotstånd och stadig bromsning men exkluderar fjädrar, drag begränsade fall och rörelse där kraften ändras under intervallet.