Metabeskrivning (154): Ange initial kvantitet, halveringstid och förfluten tid för att hitta det som återstår. Konvertera halveringstid, medellivslängd och sönderfallskonstant. Isotopförinställningar inkluderade.
Halveringstidskalkylatorn hittar hur mycket av ett radioaktivt prov som återstår efter en given tid, och omvandlar mellan halveringstid, medellivslängd och sönderfallskonstant. Välj en isotopförinställning eller ange en anpassad halveringstid; verktyget tillämpar den exponentiella sönderfallslagen och kan markera 50%, 25% och 12.5%-punkterna på sönderfallskurvan.
Halveringstid är tiden för hälften av kärnorna i ett prov att sönderfalla. Efter en halveringstid återstår hälften; efter två, en fjärdedel; efter tre, en åttondel. Den underliggande processen är exponentiell, inte linjär.
Beräkna mängden som återstår efter en tid
Återstående kvantitet är lika med den initiala kvantiteten multiplicerat med hälften upphöjt till antalet förflutna halveringstider. Ange N₀, t1/2 och t; kalkylatorn returnerar N(t). Samma indata avgör också hur många halveringstider som passerat: n = t / t1/2.
| Symbol | Kvantitet | Enhet |
|---|---|---|
| N₀ | Initial mängd | samma som N (räkning, massa, aktivitetsenheter) |
| N(t) | kvantitet vid tidpunkt t | samma enheter som N₀ |
| t½ | Halveringstid | sekunder, eller någon konsekvent tidsenhet |
| t | Förfluten tid | Samma enhet som T1/2 |
| λ | Sönderfallskonstant | 1 / tid |
| τ | Medellivslängd | Samma enhet som T1/2 |
N₀ kan vara en kärnräkning, en isotopmassa eller en aktivitetssiffra, så länge N(t) använder samma enhet. Den exponentiella faktorn är dimensionslös.
Tidsenheter måste stämma överens: år med år, dagar med dagar. Att blanda år av halveringstid med sekunder av förfluten tid utan omvandling ger nonsens.
Tillämpa halveringstidsformeln
Radioaktivt sönderfall följer en exponentiell lag: varje lika tidsintervall multiplicerar den återstående storheten med samma faktor. När det intervallet är en halveringstid är faktorn exakt en halv, vilket ger den kompakta potens-av-två-formen som används i de flesta isotoptabeller och dateringsproblem.
N(t) = N₀ × (1/2)^(t / t½)
N(t) = N₀ × e^(−λt)Med λ = ln(2) / t1/2 är de två uttrycken identiska. Kalkylatorn använder halveringslivsformen när t1/2 är den givna kärndatan, vilket är hur isotoptabeller vanligtvis publiceras.
Efter exakt en halveringstid är N = N₀/2. Efter exakt två är N = N₀/4. Icke-heltalstal av halveringstider är bra: t / t1/2 = 1.5 ger N = N₀ / (2^1.5) ≈ 0.3536 N₀.
Konvertera mellan halveringstid, medellivslängd och sönderfallskonstant
Kärndata kan ange halveringstid, medellivslängd eller sönderfallskonstant beroende på fält. Alla tre beskriver samma exponentialhastighet och omvandlar genom faktorer av den naturliga logaritmen av två. Att blanda halveringstid med medellivslängd utan omvandling är en vanlig källa till felaktiga kvarvarande fraktioner.
λ = ln(2) / t½ ≈ 0.693 / t½
τ = 1 / λ = t½ / ln(2) ≈ 1.443 × t½
t½ = ln(2) / λ ≈ 0.693 / λFör kol-14 med t1/2 = 5,730 år:
τ ≈ 5,730 / ln(2) ≈ 8,266.6 år
λ ≈ ln(2) / 5,730 ≈ 0.000121 / år
Ange någon av t1/2, τ eller λ och kalkylatorn fyller i de andra två. Vägen för återstående kvantiteter behöver fortfarande N₀ och t utöver hastigheten.
Beräkna återstående kol-14 efter 11,460 år
Kol-14s halveringstid på 5,730 år ger 11,460 år exakt två halveringstider. Utgående från en initial mängd 100-enheter av C-14 är den återstående mängden efter den förflutna perioden 25-enheter, vilket är motorns testfixtur för återstående mängd.
1. Lista vad som är känt. N₀ = 100, t1/2 = 5,730 y, t = 11,460 y.
2. Räkna halveringstider. t / t1/2 = 11,460 / 5,730 = 2
3. Applicera formeln. N = 100 × (1/2)² = 100 × 1/4 = 25
Medellivslängden för samma isotop är τ ≈ 8,266.6 år. Den siffran behövs inte för steget för återstående kvantitet, men den är korrekt τ om ett problem efterfrågar medellivslängd istället för halveringstid.
Efter tre halveringstider (17,190 år) skulle det återstående beloppet vara 12.5. Efter fyra, 6.25. Kalkylatorn accepterar alla positiva t, inte bara heltalsmultiplar av t1/2.
Välj en isotopförinställning
Förinställningar laddar publicerade halveringstider, så ett problem som namnger kol-14, jod-131 eller uran-238 kräver inte en separat datauppslagning. Att välja en rad fyller t1/2 från den delade referenstabellen; initial mängd och förfluten tid återstår för användaren att mata in.
| Isotop | Halveringstid | Typisk användning |
|---|---|---|
| Kol-14 | 5,730 år | Radiokol-14-datering till ~50,000 år |
| Uran-238 | 4.468 miljarder år | Äldsta bergarter; jordens ålder |
| Uran-235 | 703.8 miljoner år | Kärnbränsle; geologisk datering |
| Kalium-40 | 1.248 miljarder år | Kalium-argon-datering av vulkanisk bergart |
| Jod-131 | 8.02 dagar | Sköldkörtelavbildning och behandling |
| Technetium-99m | 6.01 timmar | Medicinsk avbildningsspårare |
| Kobolt-60 | 5.27 år | Strålbehandling; industriell röntgenfotografi |
| Caesium-137 | 30.17 år | Förorening efter kärnkraftsolyckor |
| Strontium-90 | 28.79 år | Falloutprodukt; ackumuleras i ben |
| Radon-222 | 3.82 dagar | Inomhusluft från jordgas |
| Plutonium-239 | 24,110 år | Kärnbränsle och vapenmaterial |
| Tritium (H-3) | 12.32 år | Självlysande tecken; fusionsforskning |
Kortlivade medicinska isotoper behöver timmar eller dagar som tidsenhet. Geologiska isotoper behöver miljoner eller miljarder år. Matcha enheten t med enheten t1/2.
För jod-131 är λ ≈ 0.0864 /dag när t1/2 = 8.02 dagar, vilket matchar omvandlingsfixturen i motortesterna.
Läs sönderfallskurvan
Exponentiell avklingning faller snabbt först och planar sedan ut mot noll utan att nå den på begränsad tid. Markörer vid ett, två och tre halveringstider ligger vid 50%, 25% och 12.5% av N₀. Kalkylatorn kan placera dessa markörer på kurvan som ritas från den aktuella N₀ och t1/2.
| Halveringstider förflutna | Kvarvarande bråk |
|---|---|
| 0 | 100% |
| 1 | 50% |
| 2 | 25% |
| 3 | 12.5% |
| 4 | 6.25% |
| 5 | 3.125% |
Kurvan når aldrig exakt noll på diagrammet; vid tio halveringstider återstår cirka 0.1%. Aktiviteten (avtaganden per sekund) följer samma exponentiella faktor när detektionseffektiviteten är konstant.
En linjär graf av N mot t kurvor nedåt. En graf av ln N mot t är en rät linje med lutning −λ, vilket är hur halveringstider ofta extraheras från räknedata.
Förstå kol-14-datering
Kol-14-datering uppskattar tiden sedan en organism slutade utbyta kol med atmosfären genom att mäta hur mycket kol-14 som återstår i förhållande till stabilt kol. Det fysiska sönderfallssteget använder halveringstiden 5,730-år; fullständiga arkeologiska åldrar tillämpar också kalibreringskurvor för tidigare atmosfäriska C-14-nivåer.
Den praktiska gränsen är ungefär 50,000 år, ungefär åtta eller nio halveringstider, bortom vilka så lite C-14 återstår att mätosäkerheten dominerar. Kalibrering mot årsringar och andra register justerar för tidigare förändringar i atmosfärens C-14; den enkla exponentialen på denna sida är det fysiska sönderfallssteget, inte en fullständig arkeologisk åldersrapport.
Ange N₀ som 100% (eller som en initial aktivitet) och t som åldern för att se den återstående procentandelen. Att lösa för t från en uppmätt kvarvarande fraktion är dateringsriktningen: t = t1/2 × log₂(N₀/N).
Uran- och kaliumsystem daterar bergarter på geologiska tidsskalor där kol-14 är borta sedan länge.
Vanliga frågor
Vad är halveringstid?
Halveringstid är den tid som krävs för att hälften av de radioaktiva kärnorna i ett prov ska sönderfalla. Efter en halveringstid återstår hälften; efter två återstår en fjärdedel. Det är en fast egenskap hos varje isotop under vanliga förhållanden.
Hur beräknar jag den återstående mängden?
Använd N(t) = N₀ × (1/2)^(t/t1/2). För N₀ = 100, t1/2 = 5,730 år och t = 11,460 år, exakt två halveringstider förfaller och N = 25.
Vad är skillnaden mellan halveringstid och medellivslängd?
Medellivslängd τ = t1/2 / ln(2) ≈ 1.443 × t1/2. Det är den genomsnittliga livslängden för en kärna före sönderfall. Halveringstiden är kortare. För C-14 är t1/2 = 5,730 y och τ ≈ 8,266.6 y.
Hur hänger halveringstid och konstant förfall ihop?
λ = ln(2) / t1/2. En kort halveringstid betyder en stor avklingningskonstant och en brant exponentiell faktor. Kalkylatorn omvandlar åt båda hållen.
Vilken isotopförinställning ska jag välja?
Välj isotopen som är namngiven i problemet, eller den som matchar tillämpningen: kol-14 för organisk datering, technetium-99m eller jod-131 för nukleärmedicin, uranisotoper för djup tid. Anpassade halveringstider finns tillgängliga när nukliden inte är listad.
Varför når det återstående beloppet aldrig noll?
Exponentiell avklingning multipliceras med hälften av varje halveringstid. Den produkten närmar sig noll när t växer men når inte noll vid en ändlig tid. I praktiken, efter tillräckligt många halveringstider, faller den återstående aktiviteten under detektering.
Hur använder kol-14-datering halveringstid?
Efter döden sönderfaller C-14 i organiskt material med t1/2 = 5,730 år medan stabilt kol inte gör det. Jämförelse av den återstående C-14-fraktionen med den ursprungliga fraktionen uppskattar tiden sedan döden, upp till cirka 50,000 år, med kalibrering för tidigare atmosfäriska nivåer.
Kan jag lösa för den förflutna tiden?
Ja. Från N och N₀ = t = t1/2 × log₂(N₀/N) = t1/2 × ln(N₀/N) / ln(2). Ange N₀, N och t1/2 för att återställa t när kalkylatorläget tillåter lösning för tid.
Förändrar kemiska bindningar kärnans halveringstid?
För praktiska ändamål i denna kalkylator, nej. Kärnans halveringstider bestäms av kärnan. Vanlig temperatur och kemi ändrar inte t1/2 för isotoperna som listas här.
Vad betyder aktivitet?
Aktivitet är antalet sönderfall per tidsenhet, ofta i becquerel (ett sönderfall per sekund). För en given isotop är aktiviteten proportionell mot antalet icke-sönderfallna kärnor, så den följer samma exponentiala faktor som N(t). Att halvera N halverar aktiviteten när detektionseffektiviteten är oförändrad.
Hur många halveringstider finns det innan nästan ingenting finns kvar?
Efter tio halveringstider återstår ungefär 0.1% av den ursprungliga mängden (1/1024). Efter tjugo återstår ungefär en del av en miljon. "Nästan ingenting" beror på detektorn och startmängden; matematiken når aldrig exakt noll vid ändlig tid.
Sammanfattning
Halveringstidskalkylatorn tillämpar N(t) = N₀ × (1/2)^(t/t1/2) och omvandlar mellan halveringstid, medellivslängd och sönderfallskonstant med faktorer av ln(2). Kol-14 vid t1/2 = 5,730 år lämnar 25 av en initial 100 efter 11,460 år, och har medellivslängd cirka 8,266.6 år.
Isotopförinställningar fyller halveringstider från den delade referenstabellen för datering, medicin och undervisningsproblem. Sönderfallskurvan markerar successiva halveringar vid 50%, 25% och 12.5%.