반감기 계산기는 일정 시간 후 방사성 샘플이 얼마나 남는지 계산하고, 반감기, 평균 수명, 붕괴 상수 간 변환을 수행합니다. 동위원소 프리셋을 선택하거나 맞춤형 반감기를 입력할 수 있습니다; 이 도구는 지수 붕괴 법칙을 적용하여 붕괴 곡선에서 50%,, 25%, 12.5% 점을 표시할 수 있습니다.
반감기는 샘플 내 핵의 절반이 붕괴하는 시간입니다. 반감기가 한 번 지나면 절반이 남고; 두 반감기가 지나면 4분의 1; 3이 지나면 8분의 1이 됩니다. 근본적인 과정은 선형이 아니라 지수적입니다.
일정 시간 후 남은 양을 계산하세요
남은 양은 초기 양에 반감기를 곱한 반감기 수에 곱한 값입니다. N₀, t1/2, t를 입력합니다; 계산기는 N(t)을 반환합니다. 동일한 입력값은 반감기가 지나간 시간도 결정합니다: n = t / t1/2.
| 상징 | 수량 | 부대 |
|---|---|---|
| N₀ | 초기 양 | N과 동일(개수, 질량, 활동 단위) |
| N(t) | 시간 t에서의 양 | N₀와 동일한 유닛 |
| t½ | 반감기 | 초, 또는 일정한 시간 단위 |
| t | 경과 시간 | T1/2와 동일한 유닛 |
| λ | 감쇠 상수 | 1 / 시간 |
| τ | 평균 수명 | T1/2와 동일한 유닛 |
N₀는 핵 수, 동위원소 질량, 또는 활도 수치일 수 있지만, N(t)이 동일한 단위를 사용하는 한 가능합니다. 지수 인자는 무차원입니다.
시간 단위는 반드시 일치해야 합니다: 연도와 연도, 일과 일. 반감기 연도와 경과 초를 섞어 변환하지 않으면 무의미해집니다.
반감기 공식을 적용하세요
방사성 붕괴는 지수 법칙을 따릅니다: 동일한 시간 구간마다 남은 양에 같은 인자를 곱합니다. 그 구간이 반감기가 1일 때, 인자는 정확히 1/2가 되어 대부분의 동위원소 표와 연대 측정 문제에서 사용되는 콤팩트 2의 거듭제곱 형태를 만듭니다.
N(t) = N₀ × (1/2)^(t / t½)
N(t) = N₀ × e^(−λt)λ = ln(2) / t1/2 이면 두 식은 동일합니다. 계산기는 t1/2가 주어진 핵 데이터일 때 반감기를 사용하며, 이는 동위원소 표가 일반적으로 발표되는 방식입니다.
정확히 반감기가 한 번 지나면 N = N₀/2. 정확히 두 번째 반감기가 지나면 N = N₀/4. 정수가 아닌 반감기는 괜찮다: t / t1/2 = 1.5는 N = N₀ / (2^1.5) ≈ 0.3536 N₀을 만든다.
반감기, 평균 수명, 감쇠 상수 간의 변환
핵 데이터 시트에는 반감기, 평균 수명 또는 붕괴 상수를 기재할 수 있습니다. 이 세 가지 모두 동일한 지수 속도를 나타내며, 자연 로그 2의 인수를 통해 변환됩니다. 반감기와 평균 수명을 혼합하고 변환하지 않는 것은 잘못된 남은 분수의 자주 발생합니다.
λ = ln(2) / t½ ≈ 0.693 / t½
τ = 1 / λ = t½ / ln(2) ≈ 1.443 × t½
t½ = ln(2) / λ ≈ 0.693 / λ탄소-14 t1/2 = 5,730 년의 경우:
τ ≈ 5,730 / ln(2) ≈ 8,266.6 해
λ ≈ ln(2) / 5,730 ≈ 0.000121 / 연도
t1/2, τ 또는 λ 중 하나를 입력하면 계산기가 나머지 두 개를 채웁니다. 남은 양 경로는 여전히 비율 외에도 N₀와 t가 필요합니다.
11, 460 후 남은 탄소-14를 계산합니다
탄소-14의 반감기는 5, 730 년이므로, 11, 460 년이 정확히 두 개의 반감기를 의미합니다. 초기 양인 100 단위의 C-14에서 시작하여, 경과 후 남은 양은 25 단위이며, 이것이 남은 양의 엔진 시험 고정장치입니다.
1. 알려진 것을 나열하세요. N₀ = 100, t1/2 = 5,730 y, t = 11,460 y.
⟦숫자0⟧. 반감기를 세어라. t / t1/2 = 11,460 / 5,730 = 2
3. 공식을 적용해. N = 100 × (1/2)² = 100 × 1/4 = 25
동일한 동위원소의 평균 수명은 τ ≈ 8,266.6 년이다. 이 수치는 남은 양 단계에는 필요하지 않지만, 문제가 반감기가 아닌 평균 수명을 묻는 경우에는 올바른 τ이다.
3년의 반감기(17,190년 후)에 남은 시간은 12.5가 됩니다. 4년 후에는 6.25입니다. 계산기는 t1/2의 정수배뿐만 아니라 모든 양의 t를 받아들입니다.
동위원소 프리셋을 선택합니다
프리셋은 공개된 반감기를 로드하므로, 탄소-14, 요오드-131 또는 우라늄-238 같은 이름을 가진 문제는 별도의 데이터 조회가 필요하지 않습니다. 행을 선택하면 공유 참조 테이블에서 t1/2가 채워집니다; 초기 수량과 경과 시간이 사용자가 입력할 수 있도록 남습니다.
| 동위원소 | 반감기 | 일반적인 용도 |
|---|---|---|
| 탄소-14 | 5,730 년 | 방사성 탄소 연대 측정 결과 ~50,000 연대 측정 |
| 우라늄-238 | ⟦수만⟧ 조 년 | 가장 오래된 암석; 지구의 나이 |
| 우라늄-235 | ⟦숫자 0⟧ 백만 년 | 핵연료; 지질학적 연대 측정 |
| 칼륨-40 | ⟦수만⟧ 조 년 | 화산암의 칼륨-아르곤 연대 측정 |
| 요오드-131 | 8.02 일즈 | 갑상선 영상 및 치료 |
| 테크네튬-99m | ⟦숫자0⟧ 시간 | 의료 영상 추적기 |
| 코발트-60 | 5.27 년 | 방사선 치료; 산업 방사선 촬영 |
| 세슘-137 | 30.17 년 | 원자력 사고 후 오염물질 |
| 스트론튬-90 | 28.79 년 | 낙진 산물; 뼈에 축적된다 |
| 라돈-222 | 3.82 일즈 | 토양가스로 인한 실내 공기 위험 |
| 플루토늄-239 | 24,110 년 | 핵연료 및 무기 물질 |
| 삼중수소 (H-3) | 12.32 년 | 자기 발광 기호; 핵융합 연구 |
단명한 의료용 동위원소는 시간 단위로 몇 시간 또는 며칠이 필요합니다. 지질학적 동위원소는 수백만 또는 수십억 년이 필요합니다. t의 단위를 t1/2의 단위로 맞추세요.
요오드-131의 경우, λ ≈ 0.0864 /day가 t1/2 = 8.02일 때, 이는 엔진 시험에서의 변환 고정 장치와 일치합니다.
감쇠 곡선을 읽어보세요
지수 감소는 처음에는 빠르게 감소하다가 유한한 시간 내에 0에 도달하지 못한 상태로 평탄하게 가깝습니다. 1, 2, 3 반감기의 마커는 N₀의 50%, 25%, 12.5% 위치에 있습니다. 계산기는 현재 N₀와 t1/2에서 그려진 곡선에 이 마커들을 배치할 수 있습니다.
| 경과 반감기 | 남은 분율 |
|---|---|
| 0 | 100% |
| 1 | 50% |
| 2 | 25% |
| 3 | 12.5% |
| 4 | 6.25% |
| 5 | 3.125% |
그래프에서 곡선은 정확히 0에 도달하지 않습니다; 반감기가 10일 때는 약 0.1%가 남습니다. 활동도(초당 붕괴)는 검출 효율이 일정할 때 동일한 지수 계수를 따릅니다.
N과 t의 선형 그래프는 아래로 굽습니다. ln N과 t의 그래프는 기울기 −λ의 직선으로, 이것이 종종 count 데이터에서 반감기를 추출하는 방법입니다.
방사성탄소 연대 측정법 이해하기
방사성탄소 연대 측정은 유기체가 대기와 탄소 교환을 중단한 이후 어느 정도의 탄소-14가 안정된 탄소에 비해 얼마나 남아있는지 측정하여 추정합니다. 물리적 붕괴 단계는 5,730 반감기를 사용합니다; 전체 고고학적 연대는 과거 대기 C-14 수준에 대한 보정 곡선도 적용합니다.
실질적인 한계는 약 50,000 년, 대략 8 또는 9 반감기이며, 그 이후에는 C-14가 너무 적어 측정 불확실성이 지배적이다. 나이테 및 기타 기록에 대한 보정은 대기 C-14의 과거 변화를 조정한다; 이 페이지의 단순 지수는 물리적 붕괴 단계이며, 완전한 고고학적 연대 보고서는 아니다.
N₀를 100%(또는 초기 활동)로, t를 남은 백분율을 볼 나이로 입력한다. 측정된 남은 비율에서 t를 푸는 것은 연대 방향이다: t = t1/2 × log₂(N₀/N).
우라늄과 칼륨 시스템은 탄소 14가 오래전에 사라진 지질학적 시간 척도에서 암석의 연대 측정을 합니다.
자주 묻는 질문
반감기가 무엇인가요?
반감기는 시료 내 방사성 핵의 절반이 붕괴하는 데 걸리는 시간입니다. 반감기가 한 번 지나면 절반이 남고; 두 번째 반감기가 지나면 4분의 1이 남습니다. 이는 일반 조건에서 각 동위원소의 고정된 특성입니다.
남은 수량은 어떻게 계산하나요?
N(t) = N₀ × (1/2)^(t/t1/2)를 사용한다. N₀ = 100, t1/2 = 5, 730 년, t = 11, 460 년, 정확히 두 개의 반감기가 경과되고 N = 25.
반감기와 평균 수명의 차이는 무엇인가요?
평균 수명 τ = t1/2 / ln(2) ≈ 1.443 × t1/2. 이는 붕괴 전까지 핵의 평균 수명입니다. 반감기는 더 짧습니다. C-14의 경우, t1/2 = 5, 730 y, τ ≈ 8,266.6 y.
반감기와 붕괴 상수는 어떻게 관련이 있나요?
λ = ln(2) / t1/2. 짧은 반감기는 큰 감쇠 상수와 가파른 지수적 변화를 의미합니다. 계산기는 어느 쪽이든 변환합니다.
어떤 동위원소 프리셋을 선택해야 할까요?
문제에 명시된 동위원소 또는 적용에 맞는 동위원소를 선택하세요: 유기 연대 측정에는 탄소-14, 핵의학에는 테크네튬-99m 또는 요오드-131, 심기 시간에는 우라늄 동위원소. 핵종이 목록에 없을 때는 맞춤형 반감기가 제공됩니다.
왜 남은 금액이 0에 도달하지 않는 걸까요?
지수 붕괴는 반감기마다 절반씩 곱해집니다. 이 곱은 t가 성장함에 따라 0에 가까워지지만 유한한 시간에 0에 도달하지는 않습니다. 실제로는 반감기가 충분히 지속되면 남은 활도가 검출 이하로 떨어집니다.
방사성 탄소 연대 측정은 반감기를 어떻게 사용하나요?
죽은 후 유기물 내 C-14는 t1/2 = 5,730 년에 붕괴하지만, 안정 탄소는 그렇지 않습니다. 남은 C-14 분획을 초기 분율과 비교하면 사망 이후 약 50,000 년까지 추정되며, 과거 대기 수준을 보정합니다.
경과 시간을 풀 수 있을까요?
네. N과 N₀에서 t = t1/2 × log₂(N₀/N) = t1/2 × ln(N₀/N) / ln(2). 계산기 모드에서 시간을 풀 수 있을 때 n₀, N, t1/2를 입력하여 t를 복원합니다.
화학 결합이 핵 반감기를 바꾸나요?
이 계산기에서 실용적으로는 아니오. 핵 반감기는 핵에 의해 결정된다. 여기 나열된 동위원소의 일반 온도와 화학은 t1/2를 바꾸지 않는다.
활동이란 무엇을 의미할까요?
활도는 단위 시간당 붕괴 횟수로, 종종 베크렐(초당 한 번의 붕괴) 단위입니다. 주어진 동위원소에 대해 활성도는 붕괴하지 않은 핵의 수에 비례하므로, N(t)와 동일한 지수 계수를 따릅니다. 검출 효율이 변하지 않을 때 N을 반으로 줄이면 활도가 절반으로 줄어듭니다.
거의 아무것도 남지 않을 때까지 몇 번의 반감기가 있을까요?
10개의 반감기가 지나면 원래 양의 약 0.1% (1/1024)가 남습니다. 20회 후에는 약 백만 분의 1이 남습니다. "거의 아무것도"는 검출기와 시작 양에 따라 달라집니다; 수학적으로는 유한한 시간에 정확히 0에 도달하지 않습니다.
요약
반감기 계산기는 N(t) = N₀ × (1/2)^(t/t1/2)를 적용하고, 반감기, 평균 수명, 붕괴 상수를 ln(2)의 인수로 변환합니다. 탄소-14 t1/2 = 5,730 년은 11, 460 후 25 초기인 25를 남기며, 평균 수명은 약 8,266.6 년을 가집니다.
동위원소 프리셋은 연대, 의학 및 교육 문제에 대한 공유 참조 표에서 반감기를 채웁니다. 붕괴 곡선은 50%, 25%, 12.5% 세 차례의 연속적인 절반을 표시합니다.