분산 계산기는 데이터 세트 내 값들이 평균과 제곱 단위로 얼마나 떨어져 있는지를 측정하며, 데이터가 무엇을 의미하는지에 따라 표본 분산 또는 모집단 분산을 반환합니다. 쉼표, 공백 또는 줄 바바주로 구분된 값을 붙여넣으면, 계산기는 분산과 함께 제곱합, 평균, 그리고 모든 제곱 편차의 단계표를 반환합니다.
분산은 표준편차 내 제곱근 이하의 양입니다. 대부분의 수업은 둘 중 하나를 요구하며, 제곱 단위 결과와 그 결과를 산출한 단계를 모두 보여주는 것이 손 검사를 가능하게 합니다.
데이터 세트에서 분산을 계산합니다
분산은 단 하나의 질문에 답합니다: 이 값들이 평균(제곱 단위)을 중심으로 얼마나 넓게 흩어져 있는가? 분산이 작으면 점들이 밀집되어 있습니다. 분산이 크면 분산이 흩어집니다. 두 집합이 같은 평균을 공유하면서도 분산이 달라도 완전히 다른 상황을 설명할 수 있습니다.
값을 데이터 필드에 붙여넣으세요. 쉼표, 공백, 탭, 줄 바꿨 표시 모두 작동하므로, 스프레드시트에서 복사한 열은 재포맷이 필요 없습니다. 계산기는 필드 아래에 읽은 값 수를 보고합니다. 결과를 신뢰하기 전에 붙여넣은 값과 그 수를 확인하세요. 왜냐하면 틀린 답의 원인은 보통 글자가 빗나가는 경우가 되기 때문입니다.
숫자를 읽기 전에 표본이나 모집단을 선택하세요. 그 선택이 분모를 바꾸고, 작은 집합에서는 답 자체를 바꿉니다.
분산 공식을 적용하세요
두 공식 모두 처음 세 단계를 공유하며, 제곱의 합을 나눌 때만 발산됩니다. 평균을 구하고, 각 값에서 빼고, 편차를 제곱한 뒤, 모집단의 경우 N으로, 표본의 경우 n-1로 나누는 것입니다.
몫은 제곱 단위의 분산이며; 표준편차 계산기는 제곱근을 한 단계 더 계산합니다.
Population: σ² = Σ(x − x̄)² / N
Sample: s² = Σ(x − x̄)² / (n − 1)극복하기:
1. 평균을 구해. 모든 값을 더하고 개수로 나누어. 2. 각 편차를 찾아라. 각 값에서 평균을 빼라. 일부는 음수다. 3. 각 편차를 제곱한다. 음수는 사라진다. 열 합은 제곱의 합(SS)이다. 4. 나누어라. 모집단의 경우 N으로, 표본의 경우 n − 1로 나누는 것이다. 그 몫이 분산이다.
표준편차 계산기는 한 단계 더 나아갑니다: 제곱근입니다. 분산은 단계 4에서 멈추기 때문에 단위가 제곱됩니다. 표본과 모집단 선택과 베셀의 수정에 대해서는 해당 페이지를 참조하세요; 이 페이지는 제곱합 역학을 소유하고 있습니다.
제곱의 합을 읽어보세요
제곱합은 평균에서 벗어난 모든 제곱 편차의 합과 두 분산 공식의 분자의 합입니다. 평균이 같은 값에서 나올 때 제곱 이전의 원시 편차는 항상 0이 되며, 이는 빠른 산술 검증입니다. 제곱합 자체는 결코 음수가 아니며, 모든 값이 평균일 때만 0이 됩니다.
SS = Σ(x − x̄)²실제로는 두 가지 성질이 중요합니다. 첫째, 평균을 같은 값에서 계산할 때 원시 편차(제곱 이전)는 항상 합이 0이 됩니다. 그 열 합계는 빠른 산술 검증입니다. 둘째, SS 자체는 결코 음수가 되지 않습니다. 각 항이 제곱이기 때문입니다. SS는 모든 값이 평균과 같을 때만 0이 됩니다.
큰 크기의 데이터에서는 여기 제시된 2회 통과 방법(먼저 평균, 그 다음 편차)을 선호하며, 1회 통과 지름길 Σx² − (Σx)²/n보다 선호합니다. 이 지름기는 값이 크고 거의 같을 때 치명적으로 상쇄되는데, 이는 이론적 호기심이 아니라 알려진 수치적 실패 모드입니다.
왜 편차가 제곱되는지 이해하세요
제곱이 없으면 양과 음의 편차가 상쇄된다. 점의 절반에서 평균보다 3단위 높고 나머지 절반에서 3단위 아래에 있는 집합은 전체 편차가 0으로 보고되며, 이는 전혀 확산이 없는 것처럼 간주된다.
절대값도 상쇄를 멈추게 하며, 평균 절대 편차는 실제 대안 측정 수단이다. 제곱은 고전 통계학에서 두 가지 실용적인 이유로 선호된다. 큰 편차를 작은 편차보다 더 크게 벌점한다: 평균에서 3단위 떨어진 점이 1단위 떨어진 점보다 9배 더 크게 기여한다. 그리고 제곱 함수는 미분 가능하여, 분산이 최소 제곱 회귀와 많은 추론 방법의 기초가 된다.
이 패널티 때문에 분산(및 표준편차)이 이상치에 강하게 반응하는 이유이기도 합니다. 한 가지 극단적인 관측이 SS를 지배할 수 있습니다. 박스플롯이나 원시 값 분석은 보고하려는 분산 옆에 두어야 합니다.
4, 6, 6, 6, 7, 7, 9, 11의 분산을 계산합니다
이 8개 값 집합은 모집단 분산을 정확히 4, 표본 분산을 4.571로 제공합니다. 아래의 모든 단계는 수작업으로 확인할 수 있습니다. (표준 편차 계산기 예제와는 다른 데이터 세트를 사용해 두 페이지가 동일한 공략을 중복하지 않습니다.)
⟦숫자0⟧. 평균을 찾아라. 4 + 6 + 6 + 6 + 7 + 7 + 9 + 11 = 56 56 ÷ 8 = 7
2. 각 편차를 찾아서 제곱해라.
| x | x − x̄ | (x − x̄)² |
|---|---|---|
| 4 | −3 | 9 |
| 6 | −1 | 1 |
| 6 | −1 | 1 |
| 6 | −1 | 1 |
| 7 | 0 | 0 |
| 7 | 0 | 0 |
| 9 | 2 | 4 |
| 11 | 4 | 16 |
| Σ = 0 | Σ = 32 |
⟦숫자0⟧. 나눠 먹어.
인구: 32 ÷ 8 = 4 샘플: 32 ÷ 7 = 4.571
편차는 합쳐야 하듯 0이 됩니다. 값 11만이 32 총합의 16를 기여하며, 이는 8개 중 하나의 관측값 중 제곱 합의 절반에 해당합니다. 이것이 단일 행에서의 제곱 페널티입니다.
분산 단위를 이해하세요
분산은 원본 데이터의 제곱 단위로 표현됩니다. 측정값이 100에서 벗어난 표시라면, 분산은 제곱 표시로 표시됩니다. 센티미터일 경우 분산은 제곱센티미터 단위입니다. 이 단위들은 단일 관측값과 직접 비교할 수 없기 때문에, 실무자들은 보통 표준편차를 보고합니다.
제곱근을 취하면 단위 문제를 되돌립니다:
σ = √σ² and s = √s²작업 예제에서, √4 = 2 그리고 √4.571 ≈ 2.138. 같은 스프레드지만 다른 포장. 공식에서 분산을 요구할 때(ANOVA, 많은 회귀 산출, 일부 금융 모델) 분산을 사용하세요. 원시 측정값 옆에 읽기 표시가 가능한 수치가 필요할 때는 표준편차를 사용하세요.
이후 공식에서의 분산
ANOVA, 많은 회귀 결과, 일부 위험 모델은 표준편차 대신 분산을 직접 소비합니다. 공식이 시그마 제곱으로 표기할 때는 결과를 제곱 단위로 남겨두세요. 보고서에 원시 측정값과 비교할 수 있는 수치가 필요할 때는 제곱근을 취해 표준편차를 보고한다고 명시하세요.
두 페이지를 연결하는 것은 베셀의 수정 내용을 중복하지 않도록 의도적으로 사용한다. 표본과 모집단의 차이는 여전히 분산에 중요하다; 표준편차 계산기의 해석 섹션은 왜 n -1가 나타나는지에 대한 더 깊은 설명으로 남아 있다.
자주 묻는 질문
분산이란 무엇인가요?
분산은 평균에서 제곱된 편차의 평균이다. 모집단 분산은 제곱의 합을 N으로 나누고; 표본 분산은 n − 1로 나눈다. 결과는 원래 데이터의 제곱 단위로 나뉘므로, 센티미터 단위로 측정된 집합에서 4의 분산은 4 제곱센티미터의 확산을 의미하며, 4 센티미터가 아니다.
표본 분산을 사용해야 할까요, 아니면 모집단 분산을 사용해야 할까요?
데이터가 설명하는 그룹의 모든 구성원을 포함할 때는 모집단 분산을 사용하고 N로 나누세요. 데이터가 더 큰 그룹을 나타내는 부분집합일 때는 표본 분산을 사용하고, n − 1로 나누세요. 실제로는 표본이 일반적인 경우입니다. 교과서 문제는 거의 항상 원하는 형태를 명시합니다.
분산은 표준편차와 어떻게 다른가요?
분산은 평균된 제곱 편차이며; 표준편차는 그 제곱근입니다. 두 가지 모두 같은 스프레드를 나타냅니다. 표준편차는 원래 단위로 돌아가며 대부분의 사람들이 보고하는 수치입니다. 분산은 제곱 단위로 유지되며 다른 공식 안에 나타납니다.
왜 편차가 제곱되었나요?
제곱하지 않으면 양과 음의 편차가 상쇄되어 스프레드아웃 집합이 스프레드가 없는 것처럼 보일 수 있습니다. 제곱은 부호를 제거하고 큰 편차에 더 큰 가중치를 부여하며, 회귀분석이나 분화분석(ANOVA)과 같은 후속 공식에서 깨끗하게 작동하는 양을 생성합니다.
분산이 음수일 수 있나요?
아니요. 분산은 제곱의 평균이므로 0 아래로 떨어질 수 없습니다. 집합의 모든 값이 동일할 때만 0이 됩니다. 음수 결과는 산술 오류, 보통 제곱 전의 부호 오류입니다.
제곱의 합이란 무엇인가요?
제곱합(SS)은 Σ(x − x̄)²로, 평균에서 벗어난 모든 제곱 편차의 합입니다. 이는 두 분산 공식의 분자입니다. 위의 예제에서 SS = 32입니다.
왜 표본 분산이 n − 1로 나누어지나요?
표본 평균이 동일한 값에서 추정되기 때문에, 모든 편차는 체계적으로 조금씩 너무 작다. n으로 나누면 모집단 분산이 과소평가된다. n − 1(베셀 보정)로 나누면 보정된다. 표준편차 계산기가 이 보정값을 더 자세히 다룬다.
엑셀에서 분산을 어떻게 계산하나요?
표본에는 =VAR.S(range)를, 모집단에는 =VAR.P(range)를 사용하세요. 오래된 =VAR()는 VAR.S처럼 동작합니다. 과제가 어떤 형태를 기대하는지 확인하세요. 두 개념은 작은 데이터 세트에서는 서로 다르기 때문입니다.
분산이 클수록 항상 데이터 세트가 더 나쁜 것을 의미하나요?
단독으로는 그렇지 않습니다. 분산은 제곱 단위를 나타내며 데이터의 척도에 대해 읽어야 합니다. 7 근처의 값에서 4의 분산은 상당한 차이입니다; 700 근처의 값에서 같은 분산은 자명합니다. "좋음" 또는 "나쁨"을 판단하기 전에 평균과 비교하거나 표준편차 계산기의 변동 계수로 바꾸세요.
요약
분산 계산기는 붙여넣은 데이터 세트에서 표본 또는 모집단 분산을 제곱합, 평균, 그리고 완전한 편차 표와 함께 반환합니다. 두 공식 모두 평균에서 벗어난 각 편차를 제곱하고 나누며; 표본의 경우 n − 1, 모집단의 경우 N으로 나누는 방식만 다릅니다.
분산은 제곱 단위로 존재하기 때문에, 해석을 위해 보통 제곱근(표준편차)이 보고됩니다. 제곱합 계산은 이 페이지를 참고하세요; 질문에서 원래 단위의 확산이나 베셀의 심층 보정을 요구할 때는 표준편차 계산기를 사용하세요.